高等數(shù)學(xué)備課教案：第一章 函數(shù)、極限與連續(xù) 第六節(jié)極限運(yùn)算法則

第六節(jié) 極限運(yùn)算法則本節(jié)要建立極限的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則. 在下面的討論中，記號(hào)“”下面沒有表明自變量的變化過程，是指對(duì)和以及單則極限均成立. 但在論證時(shí)，只證明了的情形.分布圖示 極限運(yùn)算法則 例1 例2 例3-4 例5 例6 例7 例8 例9 例10 例11 復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則 例12 例13 內(nèi)容小結(jié) 課堂練習(xí) 習(xí)題 1- 6內(nèi)容要點(diǎn) 一、 極限的四則運(yùn)算：定理1 推論1 推論2 二、 復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則：定理2例題選講極限的四則運(yùn)算例1(E01) 求 .解 注：設(shè)則有例2 (E02) 求 .解 注：設(shè)且則有 當(dāng)時(shí)，則商的法則不能應(yīng)用.例3 (E03) 求 .解 商的法則不能用.又由無窮大與無窮小的關(guān)系，得例4 (E04) 求 .解 時(shí)，分子和分母的極限都是零先約去不為零的無窮小因子后再求極限.（消去零因子法）例5 (E05) 計(jì)算解 時(shí)，分子和分母的極限都是無窮大(型).先用去除分子分母，分出無窮小，再求極限. (無窮小因子分出法)注：當(dāng)和為非負(fù)整數(shù)時(shí)，有 無窮小因子分出法：以分母中自變量的最高次冪除分子和分母，以分出無窮小，然后再求極限的方法. 例6 計(jì)算解 時(shí)，分子分母均趨于此類極限也不能直接用極限運(yùn)算法則，可把分子分母同除以絕對(duì)值最大的項(xiàng)，再用極限運(yùn)算法則.例7 (E06) 求解 本題考慮無窮多個(gè)無窮小之和.先變形再求極限例8 計(jì)算解 因分母的極限為0，故不能應(yīng)用極限運(yùn)算法則，而要先對(duì)函數(shù)做必要的變形，因分子中含有根式，通常用根式有理化，然后約去分子分母中的公因子.例9 計(jì)算解 時(shí)，與的極限均不存在，但不能認(rèn)為它們差的極限也不存在，要先用三角公式變形：最后這一步用了“有界量與無窮小的乘積為無窮小”的結(jié)論.例10 計(jì)算下列極限： 解 (1) 由于而是有界量，由“有界量與無窮小之積為無窮小”知 (2) 因?yàn)橛謴亩礊橛薪缌浚?例11 已知求解 先求因?yàn)?所以此外，易求得 例12 (E07) 求.解一 令則當(dāng)時(shí)，故原式 解二 例13 已知求之值.解 因故 解得課堂練習(xí)1. 求極限:(2) 2. 在某個(gè)過程中，若有極限，無極限，那么是否有極限？為什么？