高等數(shù)學(xué)備課教案：第一章 函數(shù)、極限與連續(xù) 第七節(jié)極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限

第七節(jié) 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限分布圖示 夾逼準(zhǔn)則 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例10 單調(diào)有界準(zhǔn)則 例11 例12 例13 例14 例15 例16 例17 例18 例19 例20 例21-22 例23 例24 例25 例26 例27 柯西極限存在準(zhǔn)則 內(nèi)容小結(jié) 課堂練習(xí) 習(xí)題 1- 7 返回內(nèi)容要點(diǎn) 一、夾逼準(zhǔn)則：如果數(shù)列及滿足下列條件: （1）; （2）那末數(shù)列的極限存在, 且注：利用夾逼準(zhǔn)則求極限，關(guān)鍵是構(gòu)造出與, 并且與的極限相同且容易求. 二、單調(diào)有界準(zhǔn)則：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列必有極限.三、兩個(gè)重要極限：1. ； 2. 四、柯西（Cauchy）極限存在準(zhǔn)則例題選講夾逼準(zhǔn)則的應(yīng)用例1 (E01) 求 解 又由夾逼定理得例2 求 解 由易見(jiàn)對(duì)任意自然數(shù)有故而所以例3 求 解 設(shè)顯然，又由夾逼準(zhǔn)則知即例4 求 解 設(shè)則于是從而又因故得例5 求 解 其中因此而所以例6 (E02) 求 解 由易見(jiàn)又所以 例7 (E03) 求 解 令則因此 , 由于所以故例8 求證解 (1) 當(dāng)時(shí), 故(2) 當(dāng)時(shí),設(shè)顯然當(dāng)時(shí),由例3知所以(3) 當(dāng)時(shí)，總存在一個(gè)正數(shù)使得由(2)知所以綜合上述證明可知 例9 求極限 解 當(dāng)時(shí), ，因此，當(dāng)時(shí), 由夾逼定理可得當(dāng)時(shí)，有由夾逼定理可得從而例10 (E04) 求極限.解 因?yàn)?故由準(zhǔn)則,得, 即 例11 (E05) 設(shè)有數(shù)列 求.解 顯然是單調(diào)遞增的.下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明有界.因?yàn)榧俣▌t所以是有界的.從而存在.由遞推關(guān)系得故即解得(舍去). 所以例12 設(shè) 為常數(shù), 數(shù)列由下列定義: 其中為大于零的常數(shù), 求解 先證明數(shù)列的極限的存在性.由即由知因此即有下界. 又故數(shù)列單調(diào)遞減，由極限存在準(zhǔn)則知存在. 不妨設(shè)對(duì)式子兩邊取極限得:解之得即例13 (E06) 求 .解 例14 求 解 例15 (E07) 求 解 原式例16 (E08) 計(jì)算 解 例17 下列運(yùn)算過(guò)程是否正確： .解 這種運(yùn)算是錯(cuò)誤的.當(dāng)時(shí),本題所以不能應(yīng)用上述方法進(jìn)行計(jì)算.正確的作法如下：令則當(dāng)時(shí), 于是例18 計(jì)算 解 例19 計(jì)算 解 例20 求 .解 例21 (E09) 求 .解 例22 (E10) 求 解 例23 求 解 例24 (E11) 求 解 例25 求 解 例26 計(jì)算 解 例27 求極限 解 令則當(dāng)時(shí),又故課堂練習(xí)1. 求極限 2. 求極限柯西（Augustin Louis Cauchy，17891857）業(yè)績(jī)永存的數(shù)學(xué)大師19世紀(jì)初期，微積分已發(fā)展成一個(gè)龐大的分支，內(nèi)容豐富，應(yīng)用非常廣泛，與此同時(shí)，它的薄弱之處也越來(lái)越暴露出來(lái)，微積分的理論基礎(chǔ)并不嚴(yán)格。為解決新問(wèn)題并澄清微積分概念，數(shù)學(xué)家們展開(kāi)了數(shù)學(xué)分析嚴(yán)謹(jǐn)化的工作，在分析基礎(chǔ)的奠基工作中，做出卓越貢獻(xiàn)的要推偉大的數(shù)學(xué)定柯西。柯西1789年8月21日出生于巴黎。父親是一位精通古典文學(xué)的律師，與當(dāng)時(shí)法國(guó)的大數(shù)學(xué)家拉格朗日，拉普拉斯交往密切?？挛魃倌陼r(shí)代的數(shù)學(xué)才華頗受這兩位數(shù)學(xué)家的贊賞，并預(yù)言柯西日后必成大器。拉格朗日向其父建議“趕快給柯西一種堅(jiān)實(shí)的文學(xué)教育”，以便他的愛(ài)好不致反他引入岐途。父親加強(qiáng)了對(duì)柯西的文學(xué)教養(yǎng)，使他在詩(shī)歌方面也表現(xiàn)出很高的才華。1807年至1810年柯西在工學(xué)院學(xué)習(xí)。曾當(dāng)過(guò)交通道路工程師。由于身欠佳，接受拉格朗日和拉普拉斯的勸告，放棄工程師而致力于純數(shù)學(xué)的研究，柯西在數(shù)學(xué)上的最大貢獻(xiàn)是在微積分中引進(jìn)了極限概念，并以極限為基礎(chǔ)建立了邏輯清晰的分析體系。這是微積分發(fā)展史上的青華，也柯西對(duì)付類科學(xué)發(fā)展所作的巨大貢獻(xiàn)。1821年柯西提出極限定義的方法，把極限過(guò)程用不等式來(lái)刻劃，后經(jīng)維爾斯特拉斯改進(jìn)，成為現(xiàn)在所說(shuō)的柯西極限定義或叫定義。當(dāng)今所有微積分的教科書都還（至少是在本質(zhì)上）沿用著棲西等人關(guān)于極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、收斂等概念的定義。他對(duì)微積分的解釋被后人普遍采用。柯西對(duì)定分作了最系統(tǒng)的開(kāi)創(chuàng)性工作。他把定積分定義為和的“極限”。在定積分運(yùn)算之前，強(qiáng)調(diào)必須確立積分的存在性。他利用中值定理首先嚴(yán)格證明了微積分基本定理。通過(guò)柯西以及后來(lái)維爾斯特拉斯的艱苦工作，使數(shù)學(xué)分析的基本概念得到嚴(yán)格的論述。從而結(jié)束微積分二百年來(lái)思想上的混亂局面，把微積分及其推廣從對(duì)幾何概念，運(yùn)動(dòng)和直覺(jué)了解的完全依賴中解放出來(lái)，并使微積分發(fā)展成現(xiàn)代數(shù)學(xué)最基礎(chǔ)最龐大的數(shù)學(xué)學(xué)科。數(shù)學(xué)分析嚴(yán)謹(jǐn)化的工作一開(kāi)始就產(chǎn)生了很大的影響。在一次學(xué)術(shù)會(huì)議上柯西提出了級(jí)數(shù)收斂性理論。會(huì)后，拉普拉斯急忙趕回家中，根據(jù)棲西的嚴(yán)謹(jǐn)判別法，逐一檢查其巨著天體力學(xué)中所用到的級(jí)數(shù)是否都收斂。棲西在其它方面的研究成果也很豐富。復(fù)變函數(shù)的微積分理論就是由他創(chuàng)立的。在代數(shù)方面、理論物理、光學(xué)、彈性理論方面，也有突出貢獻(xiàn)?？挛鞯臄?shù)學(xué)成就不僅輝煌，而且數(shù)量驚人?？挛魅?7卷，其論著有800多篇。在數(shù)學(xué)史上是僅次于歐拉的多產(chǎn)數(shù)學(xué)家。他的光輝名字與許多定理、準(zhǔn)則一起銘記在當(dāng)今許多教材中。作為一位學(xué)者，他是思路敏捷，功績(jī)卓著。但他常忽視青年人的創(chuàng)造。例如，由于柯西“失落”了才華出眾的年輕數(shù)學(xué)家阿貝爾與伽羅華的開(kāi)創(chuàng)性的論文手稿，造成群論晚問(wèn)世約半個(gè)世記。1857年5月23日柯西在巴黎病逝。他臨終的一名名言“人總是要死的，但是，他們的業(yè)績(jī)永存”長(zhǎng)久地叩擊著一代又一代學(xué)子的心扉。