高等數(shù)學(xué)備課教案：第一章 函數(shù)、極限與連續(xù) 第十節(jié)連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與性質(zhì)

第十節(jié) 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與性質(zhì)分布圖示 連續(xù)函數(shù)的算術(shù)運(yùn)算 反函數(shù)的連續(xù)性 復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性 例1 例2 例3 例4 初等函數(shù)的連續(xù)性 例5 冪指函數(shù)（例6） 最大值和最小值定理 零點(diǎn)定理與介值定理例7 例8 例9 例10 一致連續(xù)的概念 例11 例12 內(nèi)容小結(jié) 課堂練習(xí) 習(xí)題 1- 10 返回內(nèi)容要點(diǎn) 一、連續(xù)函數(shù)的算術(shù)運(yùn)算定理1 若函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù), 則在點(diǎn)處也連續(xù). 二、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理2 若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)增加（或單調(diào)減少）且連續(xù)，則它的反函數(shù)也在對(duì)應(yīng)的區(qū)間 ,上單調(diào)增加（或單調(diào)減少）且連續(xù).定理3 若, 函數(shù)在點(diǎn)a出連續(xù), 則有. (10.1)定理4 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)連續(xù), 且, 而函數(shù)在點(diǎn)連續(xù), 則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)也連續(xù). 三、初等函數(shù)的連續(xù)性：定理5 基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的.定理6 一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.注：定理6的結(jié)論非常重要，因?yàn)槲⒎e分的研究對(duì)象主要是連續(xù)或分段連續(xù)的函數(shù). 而一般應(yīng)用中所遇到的函數(shù)基本上是初等函數(shù)，其連續(xù)性的條件總是滿足的. 從而使微積分具有強(qiáng)大的生命力和廣闊的應(yīng)用前景. 四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：最大最小值定理 有界性定理 零點(diǎn)定理 介值定理 五、一致連續(xù)性的概念：一致連續(xù)性定理注: 一致連續(xù)性表明: 不論在區(qū)間I上的任何部分, 只要自變量的兩個(gè)數(shù)值接近到一定的程度, 就可使對(duì)應(yīng)的函數(shù)值達(dá)到所指定的接近程度.例題選講反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性例1 (E01) 求 .解 例2 (E02) 求 .解 例3 求 解 令則易見當(dāng)時(shí) , 所以例4 (E03) 求 .解 因?yàn)?所以初等函數(shù)的連續(xù)性例5 (E04) 求 .解 因?yàn)槭浅醯群瘮?shù)，且是其定義區(qū)間內(nèi)的點(diǎn)，所以在點(diǎn)處連續(xù)，于是 例6 (E05) 求 .解 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)例7 (E06) 證明方程在區(qū)間(0, 1)內(nèi)至少有一個(gè)根.證 令則在上連續(xù) .又由零點(diǎn)定理 , 使即方程在內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根例8 (E07) 設(shè)函數(shù)在區(qū)間a, b上連續(xù), 且證明: 存在, 使得 證 令則在上連續(xù) .而由零點(diǎn)定理 , 使即例9 證明方程 有分別包含于(1, 2), (2, 3) 內(nèi)的兩個(gè)實(shí)根.證 當(dāng)用乘方程兩端，得設(shè)則由零點(diǎn)定理知，在與內(nèi)至少各有一個(gè)零點(diǎn)，即原方程在與內(nèi)至少各有一個(gè)實(shí)根 .例10 設(shè) 在 上連續(xù), 且 證明: 在上至少有一點(diǎn), 使 證 只要能找到一點(diǎn)使便可對(duì)在上應(yīng)用零點(diǎn)定理 ，得到所需的結(jié)論.因故對(duì)存在當(dāng)時(shí)，有即取實(shí)數(shù)這樣而由零點(diǎn)定理知：在內(nèi)至少有一點(diǎn)使由于也就是說在內(nèi)至少有一點(diǎn)使一致連續(xù)性例11 (E08) 證明函數(shù)在內(nèi)是一致連續(xù)的.證 因?yàn)樗詫?duì)于任給只要取對(duì)內(nèi)的任意兩點(diǎn)當(dāng)時(shí)，就有因此在內(nèi)是一致連續(xù)的 .注：由一致連續(xù)的定義可以知道，如果函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù)，則在區(qū)間上必定連續(xù) .但是反過來不一定成立 . 例12 (E09) 試說明函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)的,但不是一致連續(xù)的.證 因?yàn)楹瘮?shù)是初等函數(shù)，它在區(qū)間上有定義，所以在上是連續(xù)的 .假設(shè)在上一致連續(xù)，應(yīng)該使得對(duì)于上的任意兩個(gè)值當(dāng)時(shí)，就有現(xiàn)在取原點(diǎn)附近的兩點(diǎn)顯然因故只要取得足夠大，總能使但這時(shí)有不符合一致連續(xù)的定義，所以在上不是一致連續(xù)的 .課堂練習(xí)1. 設(shè), 試研究復(fù)合函數(shù)與的連續(xù)性.2. 估計(jì)方程的根的位置.