高等數(shù)學(xué)備課教案：第三章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 第八節(jié) 方程的近似解

第八節(jié) 方程的近似解高次代數(shù)方程或其他類型的方程求精確根一般比較困難希望尋求方程近似根的有效計(jì)算方法.分布圖示 問題的提出 二分法 切線法 例1 例2 內(nèi)容小結(jié) 習(xí)題3-8 返回內(nèi)容要點(diǎn) 一、求近似實(shí)根的步驟：（1）確定根的大致范圍-根的隔離（2） 以根的隔離區(qū)間的端點(diǎn)作為根的初始近似值,逐步改善根的近似值的精確度,直至求得滿足精確度要求的近似實(shí)根. 二、二分法和切線法(牛頓法).例題選講例1 用二分法求方程的實(shí)根的近似值,使誤差不超過解 令顯然在內(nèi)連續(xù).故在內(nèi)單調(diào)增加, 至多有一個(gè)實(shí)根.在內(nèi)有唯一的實(shí)根.取即是一個(gè)隔離區(qū)間.故故故故故故故若0.670 作為根的不足近似值, 0.671作為根的過剩近似值，則其誤差都小于例2 用切線法求方程的實(shí)根的近似值,使誤差不超過解 令因故是一個(gè)隔離區(qū)間.在上,與同號(hào),令用切線法計(jì)算得:計(jì)算停止.所得根的近似值為0.671，其誤差都小于牛頓 (Newton , lsaac, 16431727)自然和自然規(guī)律隱藏在黑夜里,上帝說“降生牛頓”.于是世界就充滿光明.Newtan墓志銘數(shù)學(xué)和科學(xué)中的巨大進(jìn)展 , 幾乎總是建立在作出一點(diǎn)一點(diǎn)滴貢獻(xiàn)的許多人的工作之上.需要一個(gè)人來走那最高和最后的一步,這個(gè)人要能夠敏銳地從紛亂的猜測和說明中清理出前人的有價(jià)值的想法,有足夠的想象力把這些碎片重新組織起來,并且足夠大膽地制定一個(gè)宏偉的計(jì)劃.在微積分中,這個(gè)人就是牛頓.牛頓(1642-1727)生于英格蘭烏爾斯托帕的一個(gè)小村莊里,父親是在他出生前兩個(gè)月去世的,母親管理著丈夫留下的農(nóng)莊,母親改嫁后,是由外祖母把他撫養(yǎng)大.并供他上學(xué).他從小在低標(biāo)準(zhǔn)的地方學(xué)校接受教育,除對(duì)機(jī)械設(shè)計(jì)有興趣外,是個(gè)沒有什么特殊的青年人,1661年他進(jìn)入劍橋大學(xué)的三一學(xué)院學(xué)習(xí),大學(xué)期間除了巴羅(Barrow)外,他從他的老師那里只得到了很少的一點(diǎn)鼓舞,他自己做實(shí)驗(yàn)并且研究當(dāng)時(shí)一些數(shù)學(xué)家的著作,如Descartes的幾何，Galileo,Kepler等的著作。大學(xué)課和剛結(jié)束，學(xué)校因?yàn)閭惗氐貐^(qū)鼠疫流行而關(guān)閉。他回到家鄉(xiāng)，渡過了1665年和1666年，并在那里開始了他在機(jī)械、數(shù)學(xué)和光學(xué)上偉大的工作，這時(shí)他意識(shí)到了引力的平方反比定律（曾早已有人提出過），這是打開那無所不包的力學(xué)科學(xué)的鑰匙。他獲得了解決微積分問題的一般方法，并且通過光學(xué)實(shí)驗(yàn)，作出了劃時(shí)代的發(fā)現(xiàn)，即象太陽光那樣的白光，實(shí)際上是從紫到紅的各種顏色混合而成的。“所有這些”牛頓后來說：“是在1665和1666兩個(gè)鼠疫年中做的，因?yàn)樵谶@此日子里，我正處在發(fā)現(xiàn)力最旺盛的時(shí)期，而且對(duì)于數(shù)學(xué)和（自然）哲學(xué)的關(guān)心，比其他任何時(shí)候都多”。關(guān)于這些發(fā)現(xiàn)，牛頓什么也沒有說過，1667年他回到劍橋獲得碩士學(xué)位，并被選為三一學(xué)院的研究員。1669年他的老師巴羅主動(dòng)宣布牛頓的學(xué)識(shí)已超過自己，把“路卡斯（Lucas）教授”的職位讓給了年僅26歲的牛頓，這件事成了科學(xué)史上的一段佳話。牛頓并不是一個(gè)成功的教員，他提出的獨(dú)創(chuàng)性的材料也沒有受到同事們的注意。起初牛頓并沒有公布他的發(fā)現(xiàn)，人們說他有一種變態(tài)的害怕批評(píng)的心理。在1672年和1675年發(fā)表光學(xué)方面的兩篇論文遭到暴風(fēng)般的批評(píng)后，他決心死后才公開它的成果，雖然，后來不是發(fā)表了自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理、光學(xué)和普遍的算術(shù)等有限的一些成果。牛頓是他那時(shí)代的世界著名的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家。牛頓工作的最大特點(diǎn)是辛勤勞動(dòng)和獨(dú)立思考。他有時(shí)不分晝夜地工作，常常好幾個(gè)星期一直在實(shí)驗(yàn)室里渡過。他總是不滿中自己的成就，是個(gè)非常謙虛的人。他說：“我不知道，在別人看來，我是什么樣的人。但在自己看來，我不過就象是一個(gè)在海濱玩耍的小孩，為不時(shí)發(fā)現(xiàn)比尋常更為光滑的一塊卵石或比尋常更為美麗的一片貝殼而沾沾自喜，而對(duì)于展現(xiàn)在我面前的浩瀚的真理的海洋，卻全然沒有發(fā)現(xiàn)”。牛頓對(duì)于科學(xué)的興趣要比對(duì)于數(shù)學(xué)的興趣大的多。在當(dāng)了35處的教授后，他決定放棄研究，并于1695年擔(dān)任了倫敦的不列顛造幣廠的監(jiān)察。1703年成為皇家學(xué)會(huì)會(huì)長，一直到逝世，1705年被授予爵士稱號(hào)。關(guān)于微積分，牛頓總結(jié)了已經(jīng)由許多人發(fā)展了的思想，建立起系統(tǒng)和成熟的方法，其最重要的工作是建立了微積分基本定理，指出微分與積分互為逆運(yùn)算。從而溝通了前述幾個(gè)主要科學(xué)問題之間的內(nèi)在聯(lián)系，至此，才算真正建立了微積分這門學(xué)科。因此，恩格斯在論述微積分產(chǎn)生過程時(shí)說，微積分“是由牛頓和萊布尼茨大體上完成的，但不是由他們發(fā)明的”。在他寫于1671年但直到1736年他死后才出版的書流數(shù)法和無窮級(jí)數(shù)中清楚地陳述了微積分的基本問題。