高等數(shù)學(xué)備課教案：第三章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 第一節(jié)中值定理

第三章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用從第二章第一節(jié)的前言中已經(jīng)知道,導(dǎo)致微分學(xué)產(chǎn)生的第三類問題是“求最大值和最小值”. 此類問題在當(dāng)時(shí)的生產(chǎn)實(shí)踐中具有深刻的應(yīng)用背景,例如,求炮彈從炮管里射出后運(yùn)行的水平距離(即射程),其依賴于炮筒對(duì)地面的傾斜角(即發(fā)射角). 又如,在天文學(xué)中,求行星離開太陽(yáng)的最遠(yuǎn)和最近距離等. 一直以來(lái),導(dǎo)數(shù)作為函數(shù)的變化率,在研究函數(shù)變化的性態(tài)中有著十分重要的意義,因而在自然科學(xué)、工程技術(shù)以及社會(huì)科學(xué)等領(lǐng)域中得到廣泛的應(yīng)用.在第二章中,我們介紹了微分學(xué)的兩個(gè)基本概念導(dǎo)數(shù)與微分及其計(jì)算方法. 本章以微分學(xué)基本定理微分中值定理為基礎(chǔ),進(jìn)一步介紹利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性態(tài),例如判斷函數(shù)的單調(diào)性和凹凸性,求函數(shù)的極限、極值、最大(小)值以及函數(shù)作圖的方法,最后還討論了導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用.第一節(jié) 中值定理中值定理揭示了函數(shù)在某區(qū)間的整體性質(zhì)與該區(qū)間內(nèi)部某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系,因而稱為中值定理. 中值定理既是用微分學(xué)知識(shí)解決應(yīng)用問題的理論基礎(chǔ),又是解決微分學(xué)自身發(fā)展的一種理論性模型, 因而稱為微分中值定理.分布圖示 費(fèi)馬引理 羅爾定理 例1 例2 例3 例4 例5 例6 拉格朗日中值定理 例7 例8 例9 例10 柯西中值定理 例11 例12 內(nèi)容小結(jié) 課堂練習(xí) 習(xí)題3-1 返回內(nèi)容要點(diǎn)一、羅爾定理：在閉區(qū)間a, b上連續(xù)；在開區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo)；在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值相等, 即 結(jié)論：在(a, b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)使得 注：羅爾定理的三個(gè)條件是十分重要的,如果有一個(gè)不滿足,定理的結(jié)論就可能不成立. 分別舉例說(shuō)明之. 羅爾定理中這個(gè)條件是相當(dāng)特殊的,它使羅爾定理的應(yīng)用受到限制. 拉格朗日在羅爾定理的基礎(chǔ)上作了進(jìn)一步的研究,取消了羅爾定理中這個(gè)條件的限制,但仍保留了其余兩個(gè)條件,得到了在微分學(xué)中具有重要地位的拉格朗日中值定理.二、拉格朗日中值定理：在閉區(qū)間a, b上連續(xù)；在開區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo). 結(jié)論：在(a, b)內(nèi)至少存在一點(diǎn) 使得拉格朗日中值公式反映了可導(dǎo)函數(shù)在上整體平均變化率與在內(nèi)某點(diǎn)處函數(shù)的局部變化率的關(guān)系. 若從力學(xué)角度看,公式表示整體上的平均速度等于某一內(nèi)點(diǎn)處的瞬時(shí)速度. 因此,拉格朗日中值定理是聯(lián)結(jié)局部與整體的紐帶.拉格朗日終值定理可改寫為 稱為有限增量公式.拉格朗日中值定理在微分學(xué)中占有重要地位,有時(shí)也稱這個(gè)定理為微分中值定理. 在某些問題中,當(dāng)自變量取得有限增量而需要函數(shù)增量的準(zhǔn)確表達(dá)式時(shí),拉格朗日中值定理就突顯出其重要價(jià)值.推論1 如果函數(shù)在區(qū)間I上的導(dǎo)數(shù)恒為零, 那末在區(qū)間I上是一個(gè)常數(shù). 三、柯西中值定理：在閉區(qū)間a, b上連續(xù)；在開區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo)；在(a, b)內(nèi)每一點(diǎn)處, . 結(jié)論：在(a, b)內(nèi)至少存在一點(diǎn) 使得顯然, 若取則因而柯西中值定理就變成拉格朗日中值定理(微分中值定理)了. 所以柯西中值定理又稱為廣義中值定理.例題選講羅爾定理的應(yīng)用例1 對(duì)函數(shù)在區(qū)間上驗(yàn)證羅爾定理的正確性.解 顯然在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且而在內(nèi)確存在一點(diǎn)使例2 (E01) 不求導(dǎo)數(shù), 判斷函數(shù)的導(dǎo)數(shù)有幾個(gè)零點(diǎn)及這些零點(diǎn)所在的范圍.解 因?yàn)樗栽陂]區(qū)間、上滿足羅爾定理的三個(gè)條件，從而，在內(nèi)至少存在一點(diǎn)使即是的一個(gè)零點(diǎn)；又在內(nèi)至少存在一點(diǎn)使即是的一個(gè)零點(diǎn)；又因?yàn)闉槎味囗?xiàng)式，最多只能有兩個(gè)零點(diǎn)，故恰好有兩個(gè)零點(diǎn)，分別在區(qū)間和內(nèi).例3 (E02) 證明方程有且僅有一個(gè)小于1的正實(shí)根.證 設(shè)則在上連續(xù)，且由介值定理, 存在使即為方程的小于1的正實(shí)根.設(shè)另有使因?yàn)樵谥g滿足羅爾定理的條件,所以至少存在一點(diǎn)(在之間)，使得但導(dǎo)致矛盾，故為唯一實(shí)根.例4 設(shè)為滿足的實(shí)數(shù)，試證明方程在內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)根.證 作輔助函數(shù)顯然在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),故由羅爾定理知,至少存在一點(diǎn)使即 從而題設(shè)方程在內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.拉格朗日中值定理的應(yīng)用例5 設(shè)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo), 且證明: 存在,使成立.證 從結(jié)論倒退分析知, 可引進(jìn)輔助函數(shù)由于 易知在上滿足羅爾定理?xiàng)l件,且因此, 在內(nèi)至少存在一點(diǎn)使即 因 所以例6 設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且若存在常數(shù)使得試證至少存在一點(diǎn),使得證 因故和同號(hào),不妨設(shè)又因?yàn)樗?幾何演示)在和連續(xù), 由于和異號(hào), 和異號(hào),所以,至少存在一點(diǎn)使至少存在一點(diǎn)使在區(qū)間上,顯然滿足羅爾定理的三個(gè)條件, 即在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo), 所以至少存在一點(diǎn)使例7驗(yàn)證函數(shù)在上滿足拉格朗日中值定理,并由結(jié)論求值.解在上連續(xù), 在可導(dǎo),故滿足拉格朗日中值定理的條件.則 即 故 例8(E03) 證明證 設(shè)又即 例9(E04) 證明當(dāng)時(shí),證 設(shè)則在上滿足拉格朗日定理的條件. 故 從而 又由即 例10 設(shè)是在上可導(dǎo)的函數(shù),且單調(diào)減少,試證:對(duì)于恒有證 當(dāng)時(shí),有故不等式成立.當(dāng)時(shí),在上應(yīng)用拉氏定理知, 使在上應(yīng)用拉氏定理知使單調(diào)減少, 所以 證畢.柯西中值定理的應(yīng)用例11 驗(yàn)證柯西中值定理對(duì)函數(shù)在區(qū)間上的正確性.解 函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且 于是滿足柯西中值定理的條件. 由于 令得 取 則等式成立. 這就驗(yàn)證了柯西中值定理對(duì)所給函數(shù)在所給區(qū)間上的正確性.例12 (E05)設(shè)函數(shù)在上連續(xù), 在內(nèi)可導(dǎo).試證明至少存在一點(diǎn)使分析結(jié)論可變形為證 作輔助函數(shù)則在上滿足柯西中值定理的條件, 故在內(nèi)至少存在一點(diǎn)使即 課堂練習(xí)1. 試舉例說(shuō)明拉格朗日中值定理的條件缺一不可.2. 若是上的整治可微分函數(shù), 則有點(diǎn)使 羅爾（Rolle，16521719）簡(jiǎn)介：羅爾是法國(guó)數(shù)學(xué)家。1652年4月21日生于昂貝爾特，1719年11月8日卒于巴黎。羅爾出生于小店家庭，只受過(guò)初等教育，且結(jié)婚過(guò)早，年輕時(shí)貧困潦倒，靠充當(dāng)公證人與律師抄錄員的微薄收入養(yǎng)家糊口，他利用業(yè)余時(shí)間刻苦自學(xué)代數(shù)與丟番圖的著作，并很有心得。1682年，他解決了數(shù)學(xué)家奧扎南提出一個(gè)數(shù)論難題，受到了學(xué)術(shù)界的好評(píng)，從而名身雀起，也使他的生活有了轉(zhuǎn)機(jī)，此后擔(dān)任初等數(shù)學(xué)教師和陸軍部行征官員。1685年進(jìn)入法國(guó)科學(xué)院，擔(dān)任低級(jí)職務(wù)，到1690年才獲得科學(xué)院發(fā)給的固定薪水。此后他一直在科學(xué)院供職，1719年因中風(fēng)去世。羅爾在數(shù)學(xué)上的成就主要是在代數(shù)方面，專長(zhǎng)于丟番圖方程的研究。羅爾所處的時(shí)代正當(dāng)牛頓、萊布尼茲的微積分誕生不久，由于這一新生事物不存在邏輯上的缺陷，從而遭受多方面的非議，其中也包括羅爾，并且他是反對(duì)派中最直言不諱的一員。1700年，在法國(guó)科學(xué)院發(fā)生了一場(chǎng)有關(guān)無(wú)窮小方法是否真實(shí)的論戰(zhàn)。在這場(chǎng)論戰(zhàn)中，羅爾認(rèn)為無(wú)窮小方法由于缺乏理論基礎(chǔ)將導(dǎo)致謬誤，并說(shuō)：“微積分是巧妙的謬論的匯集”。瓦里格農(nóng)、索弗爾等人之間，展開了異常激烈的爭(zhēng)論。約翰.貝努利還諷刺羅爾不懂微積分。由于羅爾對(duì)此問題表現(xiàn)得異常激動(dòng)，致使科學(xué)院不得不屢次出面干預(yù)。直到1706年秋天，羅爾才向瓦里格農(nóng)、索弗爾等人承認(rèn)他已經(jīng)放棄了自己的觀點(diǎn)，并且充分認(rèn)識(shí)到無(wú)窮小分析新方法價(jià)值。羅爾于1691年在題為任意次方程的一個(gè)解法的證明的論文中指出了：在多項(xiàng)式方程的兩個(gè)相鄰的實(shí)根之間，方程至少有一個(gè)根。一百多年后，即1846年，尤斯托.伯拉維提斯將這一定理推廣到可微函數(shù)，并把此定理命名為羅爾定理。拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange，17361813）簡(jiǎn)介：據(jù)拉格朗日本人回憶，幼年家境富裕，可能不會(huì)作數(shù)學(xué)研究，但到青年時(shí)代，在數(shù)學(xué)家F.A.雷維里（R-evelli）指導(dǎo)下學(xué)幾何學(xué)后，萌發(fā)了他的數(shù)學(xué)天才。17歲開始專攻當(dāng)時(shí)迅速發(fā)展的數(shù)學(xué)分析。他的學(xué)術(shù)生涯可分為三個(gè)時(shí)期：都靈時(shí)期（1766年以前）、柏林時(shí)期（17661786）、巴黎時(shí)期（17871813）。拉格朗日在數(shù)學(xué)、力學(xué)和天文學(xué)三個(gè)學(xué)科中都有重大歷史性的貢獻(xiàn)，但他主要是數(shù)學(xué)家，研究力學(xué)和天文學(xué)的目的是表明數(shù)學(xué)分析的威力。全部著作、論文、學(xué)術(shù)報(bào)告記錄、學(xué)術(shù)通訊超過(guò)500篇。拉格朗日的學(xué)術(shù)生涯主要在18世紀(jì)后半期。當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)、物理學(xué)和天文學(xué)是自然科學(xué)主體。數(shù)學(xué)的主流是由微積分發(fā)展起來(lái)的數(shù)學(xué)分析，以歐洲大陸為中心；物理學(xué)了主流是力學(xué)；天文學(xué)的主流是天體力學(xué)。數(shù)學(xué)分析的發(fā)展使力學(xué)和天體力學(xué)深化，而力學(xué)和天體力學(xué)的課題又成為數(shù)學(xué)分析發(fā)展的動(dòng)力。當(dāng)時(shí)的自然科學(xué)代表人物都在此三個(gè)學(xué)科做出了歷史性重大貢獻(xiàn)。下面就拉格朗日的主要貢獻(xiàn)介紹如下：數(shù)學(xué)分析的開拓者1變分法 這是拉格朗日最早研究的領(lǐng)域，以歐拉的思路和結(jié)果為依據(jù)，但從純分析方法出發(fā)，得到更完善的結(jié)果。他的第一篇論文“極大和極小的方法研究”是他研究變分法的序幕；1760年發(fā)表的“關(guān)于確定不定積分式的極大極小的一種新方法”是用分析方法建立變分法制代表作。發(fā)表前寫信給歐拉，稱此文中的方法為“變分方法”。歐拉肯定了，并在他自己的論文中正式將此方法命名為“變分法”。變分法這個(gè)分支才真正建立起來(lái)。2微分方程早在都靈時(shí)期，拉格朗日就對(duì)變系數(shù)微分方程研究做工出了重大成果。他在降階過(guò)程中提出了以后所稱的伴隨方程，并證明了非齊次線性變系數(shù)方程的伴隨方程，就是原方程的齊次方程。在柏林期，他對(duì)常微分方程的奇解和特解做出歷史性貢獻(xiàn)，在1774年完成的“關(guān)于微分方程特解的研究”中系統(tǒng)地研究了奇解和通解的關(guān)系，明確提出由通解及其對(duì)積分常數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)消去常數(shù)求出奇解的方法；還指出奇解為原方程積分曲線族的包絡(luò)線。當(dāng)然，他的奇解理論還不完善，現(xiàn)代奇解理論的形式是由G.達(dá)布等人完成的。除此之外，他還是一階偏微分方程理論的建立者。3方程論拉格朗日在柏林的前十年，大量時(shí)間花在代數(shù)方程和超越方程的解法上。他把前人解三、四次代數(shù)方程的各種解法，總結(jié)為一套標(biāo)準(zhǔn)方法，而且還分析出一般三、四次方程能用代數(shù)方法解出的原因。拉格朗日的想法已蘊(yùn)含了置換群的概念，他的思想為后來(lái)的N.H.阿貝爾和E.伽羅瓦采用并發(fā)展,終于解決了高于四次的一般方程為何不能用代數(shù)方法求解的問題.此外,他還提出了一種格朗日極數(shù).4.數(shù)論著 拉格朗日在1772年把歐拉40多年沒有解決的費(fèi)馬另一猜想“一個(gè)正整數(shù)能表示為最多四個(gè)平方數(shù)的和”證明出來(lái)。后來(lái)還證明了著名的定理：n是質(zhì)數(shù)的充要條件為（n-1）!+1能被n整除。5函數(shù)和無(wú)窮級(jí)數(shù) 同18世紀(jì)的其他數(shù)學(xué)家一樣，拉格朗日也認(rèn)為函數(shù)可以展開為無(wú)窮級(jí)數(shù)，而無(wú)窮級(jí)數(shù)同是多項(xiàng)式的推廣。泰勒級(jí)數(shù)中的拉格朗日余項(xiàng)就是他在這方面的代表作之一。分析力學(xué)的創(chuàng)立者拉格朗日在這方面的最大貢獻(xiàn)是把變分原理和最小作用原理具體化，而且用純分析方法進(jìn)行推理，成為拉格朗日方法。天體力學(xué)的奠基者首先在建立天體運(yùn)動(dòng)方程上，他用他在分析力學(xué)中的原理，建議起各類天體的運(yùn)動(dòng)方程。其中特別是根據(jù)他在微分方程解法的任意常數(shù)變異法，建立了以天體橢圓軌道根數(shù)為基本變量的運(yùn)動(dòng)方程，現(xiàn)在仍稱作拉格朗日行星運(yùn)動(dòng)方程，并在廣泛作用。在天體運(yùn)動(dòng)方程解法中，拉格朗日的重大歷史性貢獻(xiàn)是發(fā)現(xiàn)三體問題運(yùn)動(dòng)方程的五個(gè)特解，即拉格朗日平動(dòng)解?？傊?，拉格朗日是18世紀(jì)的偉大科學(xué)家，在數(shù)學(xué)、力學(xué)和天文學(xué)三個(gè)學(xué)科中都有歷史性的重大貢獻(xiàn)。但主要是數(shù)學(xué)家，他最突出的貢獻(xiàn)是在把數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)脫離幾何與力學(xué)方面起了決定性的作用。使數(shù)學(xué)的獨(dú)立性更為清楚，而不僅是其他學(xué)科的工具。同時(shí)在使天文學(xué)力學(xué)化、力學(xué)分析上也起了歷史性的作用，促使力學(xué)和天文學(xué)（天體力學(xué)）更深入發(fā)展。由于歷史的局限，嚴(yán)密性不夠妨礙著他取得更多成果?？挛鳎ˋugustin Louis Cauchy ，17891857）業(yè)績(jī)永存的數(shù)學(xué)大師19世紀(jì)初期，微積分已發(fā)展成一個(gè)龐大的分支，內(nèi)容豐富，應(yīng)用非常廣泛，與此同時(shí)，它的薄弱之處也越來(lái)越暴露出來(lái)，微積分的理論基礎(chǔ)并不嚴(yán)格。為解決新問題并澄清微積分概念，數(shù)學(xué)家們展開了數(shù)學(xué)分析嚴(yán)謹(jǐn)化的工作，在分析基礎(chǔ)的奠基工作中，做出卓越貢獻(xiàn)的要推偉大的數(shù)學(xué)定柯西?？挛?789年8月21日出生于巴黎。父親是一位精通古典文學(xué)的律師，與當(dāng)時(shí)法國(guó)的大數(shù)學(xué)家拉格朗日，拉普拉斯交往密切?？挛魃倌陼r(shí)代的數(shù)學(xué)才華頗受這兩位數(shù)學(xué)家的贊賞，并預(yù)言柯西日后必成大器。拉格朗日向其父建議“趕快給柯西一種堅(jiān)實(shí)的文學(xué)教育”，以便他的愛好不致反他引入岐途。父親加強(qiáng)了對(duì)柯西的文學(xué)教養(yǎng)，使他在詩(shī)歌方面也表現(xiàn)出很高的才華。1807年至1810年柯西在工學(xué)院學(xué)習(xí)。曾當(dāng)過(guò)交通道路工程師。由于身欠佳，接受拉格朗日和拉普拉斯的勸告，放棄工程師而致力于純數(shù)學(xué)的研究，柯西在數(shù)學(xué)上的最大貢獻(xiàn)是在微積分中引進(jìn)了極限概念，并以極限為基礎(chǔ)建立了邏輯清晰的分析體系。這是微積分發(fā)展史上的青華，也柯西對(duì)付類科學(xué)發(fā)展所作的巨大貢獻(xiàn)。1821年柯西提出極限定義的方法，把極限過(guò)程用不等式來(lái)刻劃，后經(jīng)維爾斯特拉斯改進(jìn)，成為現(xiàn)在所說(shuō)的柯西極限定義或叫定義。當(dāng)今所有微積分的教科書都還（至少是在本質(zhì)上）沿用著棲西等人關(guān)于極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、收斂等概念的定義。他對(duì)微積分的解釋被后人普遍采用?？挛鲗?duì)定分作了最系統(tǒng)的開創(chuàng)性工作。他把定積分定義為和的“極限”。在定積分運(yùn)算之前，強(qiáng)調(diào)必須確立積分的存在性。他利用中值定理首先嚴(yán)格證明了微積分基本定理。通過(guò)柯西以及后來(lái)維爾斯特拉斯的艱苦工作，使數(shù)學(xué)分析的基本概念得到嚴(yán)格的論述。從而結(jié)束微積分二百年來(lái)思想上的混亂局面，把微積分及其推廣從對(duì)幾何概念，運(yùn)動(dòng)和直覺了解的完全依賴中解放出來(lái)，并使微積分發(fā)展成現(xiàn)代數(shù)學(xué)最基礎(chǔ)最龐大的數(shù)學(xué)學(xué)科。數(shù)學(xué)分析嚴(yán)謹(jǐn)化的工作一開始就產(chǎn)生了很大的影響。在一次學(xué)術(shù)會(huì)議上柯西提出了級(jí)數(shù)收斂性理論。會(huì)后，拉普拉斯急忙趕回家中，根據(jù)棲西的嚴(yán)謹(jǐn)判別法，逐一檢查其巨著天體力學(xué)中所用到的級(jí)數(shù)是否都收斂。棲西在其它方面的研究成果也很豐富。復(fù)變函數(shù)的微積分理論就是由他創(chuàng)立的。在代數(shù)方面、理論物理、光學(xué)、彈性理論方面，也有突出貢獻(xiàn)?？挛鞯臄?shù)學(xué)成就不僅輝煌，而且數(shù)量驚人?？挛魅?7卷，其論著有800多篇。在數(shù)學(xué)史上是僅次于歐拉的多產(chǎn)數(shù)學(xué)家。他的光輝名字與許多定理、準(zhǔn)則一起銘記在當(dāng)今許多教材中。作為一位學(xué)者，他是思路敏捷，功績(jī)卓著。但他常忽視青年人的創(chuàng)造。例如，由于柯西“失落”了才華出眾的年輕數(shù)學(xué)家阿貝爾與伽羅華的開創(chuàng)性的論文手稿，造成群論晚問世約半個(gè)世記。1857年5月23日柯西在巴黎病逝。他臨終的一名名言“人總是要死的，但是，他們的業(yè)績(jī)永存”長(zhǎng)久地叩擊著一代又一代學(xué)子的心扉。