麥克斯韋速度分布.ppt

2 4麥克斯韋速度分布 前面已指出 麥克斯韋是先導(dǎo)出速度分布 然后再?gòu)乃俣确植嫉玫剿俾史植嫉?本節(jié)中介紹麥克斯韋速度分布 為了說明速度分布的含義 先介紹速度空間的概念 2 4 1速度空間 一 速度矢量 速度空間中的代表點(diǎn) 1 速度矢量 要描述氣體分子的速度大小和方向 需引入速度矢量這一概念 速度矢量的方向和大小恰與此瞬時(shí)該分子速度的大小 方向一致 一個(gè)分子僅有一個(gè)速度矢量 1 速度空間中的代表點(diǎn) 把分子的速度矢量沿x y z方向的投影vx vy vz作直角坐標(biāo)圖 把所有分子速度矢量的起始點(diǎn)都平移到公共原點(diǎn)O上 在平移時(shí) 矢量的大小 方向都不變 平移后 僅以矢量的箭頭端點(diǎn)的點(diǎn)來表示這一矢量 而把矢量符號(hào)抹去 這樣的點(diǎn)稱為代表點(diǎn) 如圖中的P點(diǎn)所示 以直角坐標(biāo)表示的速度空間 以速度分量vx vy vz為坐標(biāo)軸 以從原點(diǎn)向代表點(diǎn)所引矢量來表示分子速度方向和大小的坐標(biāo)稱為速度空間 速度空間是人們想像中的空間坐標(biāo) 所描述的不是分子的空間位置 而是速度的大小與方向 二 速度空間中代表點(diǎn)的分布 若把某一瞬時(shí)所有分子所對(duì)應(yīng)的速度矢量代表點(diǎn)都標(biāo)在速度空間中 就構(gòu)成代表點(diǎn)在速度空間中的一種分布圖形 如圖所示 速度空間中代表點(diǎn)分布與靶板上靶點(diǎn)分布類似 前面已指出 在圖2 2 a 中 靶點(diǎn)位于x到x dx y到y(tǒng) dy范圍內(nèi)的概率是以f x y dxdy來表示的 其中dxdy為這一區(qū)域大小 f x y 是黑點(diǎn)分布的概率密度 1 速度空間中小立方體dvxdvydvz中的概率 在三維速度空間中 在vx到vx dvx vy到vy dvy vz到vz dvz區(qū)間內(nèi)劃出一個(gè)體積為dvxdvydvz的微分元 如圖所示 數(shù)出在這微分元中的代表點(diǎn)的數(shù)目dN vx vy vz 并把 稱為坐標(biāo)為vx vy vz處的麥克斯韋速度分布概率密度 它表示在dvxdvydvz小體積元中代表點(diǎn)的相對(duì)密集程度 我們可以這樣來求出dN vx vy vz 2 速度空間中厚為dvx無限大平板中的概率 首先問 在N個(gè)分子中速度x分量落在vx到vx dvx范圍內(nèi)而vy vz在任意的范圍內(nèi)的分子數(shù)dN vx 是多少 在速度空間中劃出一個(gè)垂直于vx軸的厚度為dvx的無窮大平板 如圖所示 不管速度的y z分量如何 只要速度x分量在vx到vx dvx范圍內(nèi) 則所有這些分子的代表點(diǎn)都落在此很薄的無窮大平板中 若設(shè)此平板中代表點(diǎn)數(shù)為dN vx 則dN vx N表示分子的速度處于vx到vx dvx而vy vz為任意值范圍內(nèi)的概率 顯然這一概率與板的厚度dvx成比例 并有dN vx N f vx dvx稱分子x方向速度分量概率分布函數(shù) 同樣可分別求出垂直于vy軸及vz軸的無窮大薄平板中代表點(diǎn)數(shù)dN vy 及dN vZ 則 dN vy N f vy dvydN vz N f vz dvz分別表示y及z方向速度分量的概率分布函數(shù) 根據(jù)處于平衡態(tài)的氣體的分子混沌性假設(shè) 分子速度沒有擇優(yōu)取向 故f vx f vy f vz 應(yīng)具有相同形式 速度空間中一根截面積為dvxdvy的無窮長(zhǎng)的方條中的概率 2 進(jìn)一步問 分子速率介于vx到vx dvx vy到vy dvy 而vz在任意的范圍內(nèi)的分子數(shù)dN vx vy 是多少 顯然這些分子的代表點(diǎn)都落在一根平行于vz軸 截面積為dvxdvy的無窮長(zhǎng)的方條中 因?yàn)榉肿勇湓诖怪庇赿vx軸的平板內(nèi)的概率是f vx dvx 分子落在垂直于vy軸的平板內(nèi)的概率是f vy dvy 由相互獨(dú)立的同時(shí)事件概率相乘法則可知 分子落在方柱體內(nèi)的概率為方柱體內(nèi)代表點(diǎn)數(shù)dN vx vy 與總分子數(shù)N的比值 3 最后要問 分子速度分量處于vx到vx dvx vy到vy dvy vz到vz dvz范圍內(nèi)的概率是多少 只需在圖中再作一垂直于vz軸的 厚度為dvz的無窮大薄平板 平板與柱體相交截得一體積為dvxdvydvz的小立方體 計(jì)算出在小立方體中的代表點(diǎn)數(shù)dN vx vy vz 而dN vx vy vz N就是所要求的概率 因?yàn)関x vy vz相互獨(dú)立 故dN vx vy vz N f vx dvx f vy dvy f vz dvz 顯然 速度分布概率密度f vx vy vz 是分子分別按速度的x y z方向分量分布的概率密度f vz f vy f vz 的乘積 分子處于速度空問任一微小范圍dvxdvydvz內(nèi)的概率是f vx vy vz 與dvxdvydvz的乘積 2 4 2麥克斯韋速度分布 Maxwellvelocitydistribution 麥克斯韋最早用概率統(tǒng)計(jì)的方法導(dǎo)出了理想氣體分子的速度分布 這一分布可表示為f vx vy vz dvxdvydvz 因?yàn)閒 vx vy vz f vx dvxdvx f vy dvy f vz dvz麥克斯韋速度分布有 其中i可分別代表x y z 欲求分子速度的x分量在vx到vx dvx內(nèi)而vy vz任意的分子數(shù)dN vx 這就是速度空間中垂直于x軸的無窮大薄平板中的代表點(diǎn)數(shù) 顯然可對(duì)vy vz積分后求出 利用定積分公式可知上式中的兩個(gè)積分都是1 故 的概率分布曲線如圖2 13所示 它對(duì)稱于縱軸 圖中打上斜線的狹條的面積即 最后說明 由于麥克斯韋在導(dǎo)出麥克斯韋速度分布律過程中沒有考慮到氣體分子間的相互作用 故這一速度分布律一般適用于平衡態(tài)的理想氣體 2 4 3相對(duì)于vp的 麥克斯韋 速度分量分布與速率分布誤差函數(shù) 附錄2 1中的定積分公式都是從0積分到無窮大 有時(shí)需要計(jì)算氣體分子速度分量 或速率v 在某給定范圍內(nèi)的分子數(shù)或概率 這時(shí)可把麥克斯韋速度分布式或速率分布式分別作變量變換 使之變換為相對(duì)于最概然速率的速度分量分布或速率分布的形式 一 相對(duì)于vp的速度分量 麥克斯韋 分布 令其中vx vp ux 其中vp為最概然速率 它可以變換為若要求出分子速度x方向分量小于某一數(shù)值的分子數(shù)所占的比率 則可對(duì)上式積分引入誤差函數(shù)erf x 誤差函數(shù)erf x 有表可查 例2 2 試求在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下氮?dú)夥肿铀俣鹊膞分量小于800m s 1的分子數(shù)占全部分子數(shù)的百分比 解 首先求出273K時(shí)氮?dú)夥肿?摩爾質(zhì)量Mm 0 028kg 的最概然速率 由表2 1查得erf 2 0 995 故這種分子所占百分比為 49 8 二 相對(duì)于的麥克斯韋速率分布 若令可將麥克斯韋速率分布表示為 利用 2 35 式可求得在某一速率附近微小范圍內(nèi)的氣體分子數(shù)所占的百分比率 再利用誤差函數(shù)可求得在0到v范圍內(nèi)的分子數(shù) 2 4 4從麥克斯韋速度分布導(dǎo)出速率分布 一 以極坐標(biāo)表示的射擊點(diǎn)分布 按極坐標(biāo)表示的射擊點(diǎn)分布 若用相等的 r為間隔 在靶板上畫出很多個(gè)同心圓 數(shù)出每個(gè)圓環(huán)中的黑點(diǎn)數(shù) N 以 N N r為縱坐標(biāo) r為橫坐標(biāo)畫出豎條 如右圖 令 r 0 得到光滑曲線 它表示離靶心不同距離處存在黑點(diǎn)的概率 二 氣體分子的速率分布 麥克斯韋速度分布 所有分子速率介于v到v dv范圍內(nèi)的分子的代表點(diǎn)都落在以原點(diǎn)為球心 v半徑 厚度為dv的一薄層球殼中 如圖所示 根據(jù)分子混沌性假設(shè) 氣體分子速度沒有擇優(yōu)取向 在各個(gè)方向上應(yīng)該是等概率的 說明代表點(diǎn)的數(shù)密度D是球?qū)ΨQ的 D僅是離開原點(diǎn)的距離v的函數(shù) 設(shè)代表點(diǎn)的數(shù)密度為D v 在球殼內(nèi)的代表點(diǎn)數(shù)dNv應(yīng)是D v 與球殼體積的乘積 在麥克斯韋速度分布中已指出 在速度空間中 在速度分量vx vy vz附近的代表點(diǎn)數(shù)密度是Nf vx vy vz 它就是這里的D v 故 將上式代入可以得到 這就是麥克斯韋速率分布 2 4 5絕對(duì)零度時(shí)金屬中自由電子的速度分布與速率分布費(fèi)米球 金屬自由電子模型指出 金屬中的價(jià)電子是無相互作用的自由電子 在T 0K時(shí) 自由電子的速度分布可表示為在速度空間中的一個(gè)費(fèi)米球 其球心位于速度空間的原點(diǎn) 球的半徑為vF 稱為費(fèi)米速率 是一個(gè)與金屬種類有關(guān)的常數(shù) 電子狀態(tài)位于速度空間中費(fèi)米球外的概率密度為零 位于球內(nèi)的概率密度為常數(shù) 設(shè)為De De可如下求出 4 3 vF3De 1 由歸一化條件知De 3 4 vF3 故 其速率分布可表示為v vFv vF 通常以來表示費(fèi)米球面的能量 其中me為電子質(zhì)量 稱為費(fèi)米能 不同金屬 EF值不同 一般它取eV的量級(jí) 例如 銅的EF 1 1 10 18J 而me 9 1 10 31kg 由此知T 0K時(shí)銅中自由電子平均速率說明即使在T 0K時(shí) 金屬中自由電子還在以106m s 1的數(shù)量級(jí)的平均速率在運(yùn)動(dòng)著 這是經(jīng)典理論無法解釋的 按照麥克斯韋分布 T 0K時(shí)的自由電子平均速率為零 這種運(yùn)動(dòng)稱為零點(diǎn)運(yùn)動(dòng)