第九講“牛吃草”問題

奧博教育培訓(xùn) 第九講 “牛吃草”問題有這樣的問題，如：牧場上有一片勻速生長的草地，可供27頭牛吃6周，或供23頭牛吃9周。那么它可供21頭牛吃幾周？這類問題稱為“牛吃草”問題。解答這類問題，困難在于草的總量在變，它每天、每周都在均勻地生長，時間越長，草的總量越多。草的總量是由兩部分組成的：（1）某個時間期限前草場上原有的草量；（2）這個時間期限后草場每天（周）生長而新增的草量。因此，必須設(shè)法找出這兩個量來。下面就用開頭的題目為例進(jìn)行分析。（見下圖） 從上面的線段圖可以看出23頭牛9周的總草量比27頭牛6周的總草量多，多出部分相當(dāng)于3周新生長的草量。為了求出一周新生長的草量，就要進(jìn)行轉(zhuǎn)化。27頭牛6周吃草量相當(dāng)于27×6=162頭牛一周吃草量（或一頭牛吃162周）。23頭牛9周吃草量相當(dāng)于23×9=207頭牛一周吃草量（或一頭牛吃207周）。這樣一來可以認(rèn)為每周新生長的草量相當(dāng)于（207162）÷（96）=15頭牛一周的吃草量。需要解決的第二個問題是牧場上原有草量是多少？用27頭牛6周的總吃草量減去6周新生長的草量（即15×6=90頭牛吃一周的草量）即為牧場原有的草量。所以牧場上原有草量為26×615×6=72頭牛一周的吃草量（或者為23×915×9=72）。牧場上的草21頭牛幾周才能吃完呢？解決這個問題相當(dāng)于把21頭牛分成兩部分。一部分看成專吃牧場上原有的草，另一部分看成專吃新生長的草。但是新生的草只能維持15頭牛的吃草量，且始終保持平衡（前面已分析過每周新生的草恰夠15頭牛吃一周）。故分出15頭牛吃新生長的草，另一部分2115=6頭牛去吃原有的草。所以牧場上的草夠吃72÷6=12周，也就是這個牧場上的草夠21頭牛吃12周。例2：一只船發(fā)現(xiàn)漏水時，已經(jīng)進(jìn)了一些水，水勻速進(jìn)入船內(nèi)。如果10人淘水，3小時淘完；如5人淘水8小時淘完。如果要求2小時淘完，要安排多少人淘水？分析與解答：這類問題，都有它共同的特點，即總水量隨漏水的延長而增加。所以總水量是個變量。而單位時間內(nèi)漏進(jìn)船的水的增長量是不變的。船內(nèi)原有的水量（即發(fā)現(xiàn)船漏水時船內(nèi)已有的水量）也是不變的量。對于這個問題我們換一個角度進(jìn)行分析。如果設(shè)每個人每小時的淘水量為“1個單位”，則船內(nèi)原有水量與3小時內(nèi)漏水總量之和等于每人每小時淘水量×時間×人數(shù)，即1×3×10=30。船內(nèi)原有水量與8小時漏水量之和為1×5×8=40。每小時的漏水量等于8小時與3小時總水量之差÷時間差，即（4030）÷（83）=2（即每小時漏進(jìn)水量為2個單位，相當(dāng)于每小時2人的淘水量）。船內(nèi)原有的水量等于10人3小時淘出的總水量3小時漏進(jìn)水量，3小時漏進(jìn)水量相當(dāng)于3×2=6人1小時淘水量。所以船內(nèi)原有水量為302×3=24。如果這些水（24個單位）要2小時淘完，則需24÷2=12人。但與此同時，每小時的漏進(jìn)水量又要安排2人淘出，因此共需要122=14人。從以上這兩個例題看出，不管從哪一個角度來分析問題，都必須求出原有的量及單位時間內(nèi)增加的量，這兩個量是不變的量。有了這兩個量，問題就容易解決了。例3：12頭牛28天可以吃完10公畝牧場上全部牧草，21頭牛63天可以吃完30公畝牧場上全部牧草。多少頭牛126天可以吃完72公畝牧場上全部牧草（每公畝牧場上原有草量相等，且每公畝牧場每天生長草量相等）？分析：解量的關(guān)鍵在于求出一公畝一天新生長的草量可供幾頭牛吃一天，一公畝原有的草量可供幾頭牛吃一天。12頭牛28天吃完10公畝牧場上的牧草，相當(dāng)于1公畝原來的牧草加上28天新生產(chǎn)的草可供33.6頭牛吃一天（12×28÷10=33.6）。21頭牛63天吃完30公畝牧場上的牧草，相當(dāng)于1公畝原有的草加上63天新生長的草可供44.1頭牛吃一天（63×21÷30=44.1）。1公畝一天新生長的牧草可供0.3頭牛吃一天，即： (44.133.6)÷(6328) = 0.3（頭）1公畝原有的牧草可供25.2頭牛吃一天，即： 33.60.3×28=25.2（頭）72公畝原有牧草可供14.4頭牛吃126天，即： 72×25.2÷126=14.4（頭）72公畝每天新生長的草量可供21.6頭牛吃一天，即： 72×0.3=21.6（頭）所以72公畝牧場上的牧草可供36（=14.421.6）頭牛吃126天，問題得解。解：一公畝一天新生長草量可供多少頭牛吃一天？ （63×21÷3012×28÷10）÷（6328）=0.3（頭）一公畝原有牧草可供多少頭牛吃一天？ 12×28÷100.3×28=25.2（頭）72公畝的牧草可供多少頭牛吃126天？ 72×25.2÷12672×0.3= 36(頭)例4：一塊草地，每天生長的速度相同?，F(xiàn)在這片牧草可供16頭牛吃20天，或者供80只頭吃12天。如果一頭牛一天的吃草量等于4只羊一天的吃草量，那么10頭牛與60只羊一起吃可以吃多少天？分析：由于1頭牛每天的吃草量等于4只羊每天的吃草量，故60只羊每天的吃草量和15頭牛每天的吃草量相等，80只羊每天吃草量與20頭牛每天吃草量相等。解：60只羊每天吃草量相當(dāng)于多少頭牛每天的吃草量？ 60÷4=15（頭）草地原有草量與20天新生長草量可供多少頭牛吃一天？ 16×20=320（天）80只羊12天的吃草量可供多少頭牛吃一天？ 80÷4×12=240（頭）每天新生長的草量夠多少頭牛吃一天？ （320240）÷（2012）=10（頭）原有草量可夠多少頭牛吃一天？ 32020×10=120（頭）原有草量可供10頭牛與60只羊吃多少天？ 120÷（60÷41010）=8（天）例5：一水庫原有存水量一定，河水每天均勻入庫。5臺抽水機(jī)連續(xù)20天可抽干，6臺同樣的抽水機(jī)連續(xù)15天可抽干。若要求6天抽干，需要多少臺同樣的抽水機(jī)？解：水庫原有的水與20天流入水可供多少臺抽水機(jī)抽1天？ 20×5=100（臺）水庫原有水與15天流入的水可供多少臺抽水機(jī)抽1天？ 6×15=90（臺）每天流入的水可供多少臺抽水機(jī)抽1天？ （10090）÷（2015）=2（臺）原有的水可供多少臺抽水機(jī)抽1天？ 10020×2=60（臺）若6天抽完，共需抽水機(jī)多少臺？ 60÷62=12（臺）例6：有三片草場，每畝原有草量相同，草的生長速度也相同。三片草場的面積分別為畝、10畝和24畝。第一片草場可供12頭牛吃4周，第二片草場可供21頭牛吃9周。問：第三片草場可供多少頭牛吃18周？用方程解：解：設(shè)每畝草場原有的草量為a，每周每畝草場新生長草量為b。依題意第一片草場（畝）原有的草與4周新生長的草量之和為： （）a（4×）b每頭牛每周的吃草量為（第一片草場畝）：÷(12×4)= (1)第二片草場（10畝）原有的草與9周生長出來的草為： 10a(10×9)b每頭牛每周的吃草量為：（第二片草場） (2)由于每頭牛每周吃草量相等，列方程為： (3) 5a=60b a=12b（表示1畝草場上原有草量是每周新生長草量的12倍）將a=12b代入（3）的兩邊得到每頭牛每周吃草量為。設(shè)第三片草場（24畝）可供x頭牛吃18周吃完，則由每頭牛每周吃草量可列出方程為： (4) x=36答：第三片草場可供36頭牛18周食用。這道題列方程時引入a、b兩個輔助未知數(shù)，在解方程時不一定要求出其數(shù)值，在本題中只需求出它們的比例關(guān)系即可。習(xí) 題 九1 一場牧場長滿草，每天牧草都均勻生長。這片牧場可供10頭牛吃20天，可供15頭牛吃10天。問：可供25頭牛吃多少天？2 22頭牛吃33畝草地上的草，54天可以吃完；17頭牛吃28畝同樣的草地上的草，84天可以吃完。問：同樣的牧草40畝可供多少頭牛食用24天？（每畝草地原有草量相等，草生長速度相等）3 有一牧場，17頭牛30天可將草吃完；19頭牛則24天可以吃完?，F(xiàn)有若干頭牛吃了6天后，賣掉了4頭牛，余下的牛再吃兩天便將草吃完。問：原來有多少頭牛吃草（草均勻生長）？4 現(xiàn)欲將一池塘水全部抽干，但同時有水勻速流入池塘。若用8臺抽水機(jī)10天可以抽干；用6臺抽水機(jī)20天能抽干。問：若要5天抽干水，需多少臺同樣的抽水機(jī)來抽水？9