《兩個(gè)重要極限》PPT課件.ppt

二 兩個(gè)重要極限 一 函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系及夾逼準(zhǔn)則 第六節(jié) 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 極限存在準(zhǔn)則及 兩個(gè)重要極限 第一章 一 函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系及夾逼準(zhǔn)則 1 函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系 定理1 Heine定理 有定義 為確定起見 僅討論 的情形 有 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 定理1 有定義 且 設(shè) 即 當(dāng) 有 有定義 且 對(duì)上述 時(shí) 有 于是當(dāng) 時(shí) 故 可用反證法證明 略 有 證 當(dāng) 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 定理1 有定義 且 有 說明 此定理常用于判斷函數(shù)極限不存在 法1找一個(gè)數(shù)列 不存在 法2找兩個(gè)趨于 的不同數(shù)列 及 使 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 例1 證明 不存在 證 取兩個(gè)趨于0的數(shù)列 及 有 由定理1知 不存在 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 2 數(shù)列極限存在的夾逼準(zhǔn)則 P49 證 由條件 2 當(dāng) 時(shí) 當(dāng) 時(shí) 令 則當(dāng) 時(shí) 有 由條件 1 即 故 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 例2 證明 證 利用夾逼準(zhǔn)則 且 由 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 3 函數(shù)極限存在的夾逼準(zhǔn)則 準(zhǔn)則1 定理2 且 利用定理1及數(shù)列的夾逼準(zhǔn)則可證 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 4 單調(diào)有界數(shù)列必有極限 準(zhǔn)則2 P52 證明略 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 故極限存在 例3 設(shè) 且 求 解 設(shè) 則由遞推公式有 數(shù)列單調(diào)遞減有下界 故 利用極限存在準(zhǔn)則 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 圓扇形AOB的面積 二 兩個(gè)重要極限 證 當(dāng) 即 亦即 時(shí) 顯然有 AOB的面積 AOD的面積 故有 注 注目錄上頁下頁返回結(jié)束 當(dāng) 時(shí) 注 例4 求 解 例5 求 解 令 則 因此 原式 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 例6 求 解 原式 例7 已知圓內(nèi)接正n邊形面積為 證明 證 說明 計(jì)算中注意利用 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 例8 設(shè) 證明數(shù)列 極限存在 P52 P54 證 利用二項(xiàng)式公式 有 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 大 大 正 又 比較可知 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 根據(jù)準(zhǔn)則2可知數(shù)列 記此極限為e e為無理數(shù) 其值為 即 有極限 原題目錄上頁下頁返回結(jié)束 又 例8 續(xù) 證 當(dāng) 時(shí) 設(shè) 則 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 當(dāng) 則 從而有 故 說明 此極限也可寫為 時(shí) 令 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 例9 求 解 令 則 說明 若利用 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 則 原式 例10 求 解 原式 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 的不同數(shù)列 內(nèi)容小結(jié) 1 函數(shù)極限與數(shù)列極限關(guān)系的應(yīng)用 1 利用數(shù)列極限判別函數(shù)極限不存在 2 數(shù)列 函數(shù) 極限存在的夾逼準(zhǔn)則 法1找一個(gè)數(shù)列 且 使 法2找兩個(gè)趨于 及 使 不存在 3 單調(diào)有界原理 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 4 兩個(gè)重要極限