精編高中數(shù)學(xué)北師大版選修23教學(xué)案：第一章 1 分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理 Word版含解析

精編北師大版數(shù)學(xué)資料§1分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理分類加法計(jì)數(shù)原理1李娜為了備戰(zhàn)2014年澳大利亞網(wǎng)球會(huì)開賽，需要從北京到A地進(jìn)行封閉式訓(xùn)練，每天有7次航班，5列動(dòng)車問題1：李娜從北京到A城的方法可分幾類？提示：兩類，即乘飛機(jī)、乘動(dòng)車問題2：這幾類方法都能完成“從北京到A城”這件事嗎？提示：都能問題3：李娜從北京到A城共有多少種不同的方法？提示：7512(種)2若你班有男生26人，女生24人，從中選一名同學(xué)擔(dān)任班長問題4：不同的選法的種數(shù)為多少？提示：262450.分類加法計(jì)數(shù)原理(加法原理)完成一件事，可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種方法，在第二類辦法中有m2種方法，在第n類辦法中有mn種方法那么，完成這件事共有Nm1m2mn種方法.分步乘法計(jì)數(shù)原理1李娜從北京到A城需在B城停留，若從北京到B城有7次航班，從B城到A城有5列動(dòng)車問題1：李娜從北京到A城需要經(jīng)歷幾個(gè)步驟？提示：兩個(gè)，即從北京到B城，從B城到A城問題2：這幾個(gè)步驟中的某一步能完成“從北京到A城”這件事嗎？提示：不能必須“從北京到B城”“從B城到A城”這兩步都完成后才能完成“從北京到A城”這件事問題3：李娜從北京到A城共有多少種不同的方法？提示：7×535(種)2若你班有男生26人，女生24人，從中選一名男生和一名女生擔(dān)任班長問題4：不同的選法的種數(shù)為多少？提示：26×24624.分步乘法計(jì)數(shù)原理(乘法原理)完成一件事需要經(jīng)過n個(gè)步驟，缺一不可，做第一步有m1種方法，做第二步有m2種方法，做第n步有mn種方法那么，完成這件事共有Nm1×m2××mn種方法1分類加法計(jì)數(shù)原理中的每一種方法都可以完成這件事情，而分步乘法計(jì)數(shù)原理的每一個(gè)步驟都是完成這件事情的中間環(huán)節(jié)，都不能獨(dú)立完成這件事情2分類加法計(jì)數(shù)原理考慮的是完成這件事情的方法被分成不同的類別，求各類方法之和；而分步乘法計(jì)數(shù)原理考慮的是完成這件事情的過程被分成不同的步驟，求各步驟方法之積 分類加法計(jì)數(shù)原理例1高二·一班有學(xué)生50人，男生30人；高二·二班有學(xué)生60人，女生30人；高二·三班有學(xué)生55人，男生35人(1)從中選一名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會(huì)主席，有多少種不同的選法？(2)從高二·一班、二班男生中，或從高二·三班女生中選一名學(xué)生任學(xué)生會(huì)體育部長，有多少種不同的選法？思路點(diǎn)撥(1)完成的一件事是從三個(gè)班級(jí)中選一名學(xué)生任學(xué)生會(huì)主席；(2)完成的一件事是從一班、二班男生中，或從三班女生中選一名學(xué)生任學(xué)生會(huì)體育部長，因而可按當(dāng)選學(xué)生來自不同班級(jí)分類，利用分類加法計(jì)數(shù)原理求解精解詳析(1)選一名學(xué)生任學(xué)生會(huì)主席有3類不同的選法：第一類，從高二·一班選一名，有50種不同的方法；第二類，從高二·二班選一名，有60種不同的方法；第三類，從高二·三班選一名，有55種不同的方法故任選一名學(xué)生任學(xué)生會(huì)主席的選法共有506055165種不同的方法(2)選一名學(xué)生任學(xué)生會(huì)體育部長有3類不同的選法：第一類，從高二·一班男生中選，有30種不同的方法；第二類，從高二·二班男生中選，有30種不同的方法；第三類，從高二·三班女生中選，有20種不同的方法故選一名學(xué)生任學(xué)生會(huì)體育部長共有30302080種不同的方法一點(diǎn)通如果完成一件事有n類不同的辦法，而且這n類辦法是相互獨(dú)立的，無論用哪一類辦法中的哪一種方法都能獨(dú)立地完成這件事，那么求完成這件事的方法種數(shù)就用分類加法計(jì)數(shù)原理分類要做到“不重不漏”，分類后再分別對(duì)每一類進(jìn)行計(jì)數(shù)，最后用分類加法計(jì)數(shù)原理求和，得到總種數(shù)1上海世博會(huì)期間，一志愿者帶一客人去預(yù)訂房間，賓館有上等房10間，中等房20間，一般房25間，則客人選一間房的選法有()A500種B5 000種C55種 D10種解析：選法為10202555種答案：C2(福建高考)滿足a，b1,0,1,2，且關(guān)于x的方程ax22xb0有實(shí)數(shù)解的有序數(shù)對(duì)(a，b)的個(gè)數(shù)為()A14B13C12 D10解析：因?yàn)閍，b1,0,1,2，可分為兩類：當(dāng)a0時(shí)，b可能為1或0或1或2，即b有4種不同的選法；當(dāng)a0時(shí)，依題意得44ab0，所以ab1.當(dāng)a1時(shí)，b有4種不同的選法，當(dāng)a1時(shí)，b可能為1或0或1，即b有3種不同的選法，當(dāng)a2時(shí)，b可能為1或0，即b有2種不同的選法根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，(a，b)的個(gè)數(shù)共有443213.答案：B3在所有的兩位數(shù)中，十位數(shù)字大于個(gè)位數(shù)字的兩位數(shù)共有多少個(gè)？解：依據(jù)“十位數(shù)字大于個(gè)位數(shù)字”進(jìn)行分類，令十位數(shù)字為 m，個(gè)位數(shù)字為n，則有當(dāng) m1時(shí)，n0，有1個(gè)；當(dāng) m2時(shí)，n0,1，有2個(gè)；當(dāng) m3時(shí)，n0,1,2，有3個(gè)；當(dāng) m9時(shí)，n0,1,2,38，有9個(gè)所有這樣的兩位數(shù)共有123945個(gè).分步乘法計(jì)數(shù)原理例2(1)(山東高考)用0,1，9十個(gè)數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為()A243 B252C261 D279(2)有三個(gè)盒子，分別裝有不同編號(hào)的紅色小球6個(gè)，白色小球5個(gè)，黃色小球4個(gè)，現(xiàn)從盒子里任取紅、白、黃小球各一個(gè)，有不同的取法_種思路點(diǎn)撥(1)先排百位，然后排十位，最后排個(gè)位注意百位數(shù)字不能為0.(2)要從盒子里任取紅、白、黃小球各一個(gè)，應(yīng)分三個(gè)步驟，并且這三個(gè)步驟均完成時(shí)，才完成這件事，故須采用乘法原理精解詳析(1)十個(gè)數(shù)字組成三位數(shù)的個(gè)數(shù)為9×10×10900.沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有9×9×8648，所以有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為900648252.(2)完成這件事可分三步：第一步：取紅球，有6種不同的取法；第二步：取白球，有5種不同的取法；第三步：取黃球，有4種不同的取法根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有N6×5×4120種不同的取法答案(1)B(2)120一點(diǎn)通利用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)的一般思路：首先將完成這件事的過程分步，然后再找出每一步中的方法有多少種，求其積，注意各步之間的相互聯(lián)系，每步都完成后，才能完成這件事4現(xiàn)有4件不同款式的上衣和3條不同顏色的長褲，如果一條長褲與一件上衣配成一套，則不同配法的種數(shù)為()A7 B12C64 D81解析：要完成長褲與上衣配成一套，分兩步：第一步：選上衣，從4件中任選一件，有4種不同選法；第二步：選長褲，從3條長褲中任選一條，有3種不同選法故共有4×312種不同的配法答案：B5將3封信投到4個(gè)郵筒，所有投法有()A24種 B4種C64種 D81種解析：分三步完成投信這件事第一步投第1封信有4種方法，第二步投第2封信有4種方法，第三步投第3封信有4種方法，故共有N4×4×464種方法答案：C6從1,2,3,4中選三個(gè)數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的整數(shù)，則滿足下列條件的數(shù)有多少個(gè)？(1)三位數(shù)；(2)三位數(shù)的偶數(shù)解：(1)三位數(shù)有三個(gè)數(shù)位：百位，十位，個(gè)位，故可分三步完成：第一步，排個(gè)位，從1,2,3,4中選1個(gè)數(shù)字，有4種方法；第二步，排十位，從剩下的3個(gè)數(shù)字中選1個(gè)，有3種方法；第三步，排百位，從剩下的2個(gè)數(shù)字中選1個(gè)，有2種方法依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有4×3×224個(gè)滿足要求的三位數(shù)(2)分三步完成：第一步，排個(gè)位，從2,4中選1個(gè)，有2種方法；第二步，排十位，從余下的3個(gè)數(shù)字中選1個(gè)，有3種方法；第三步，排百位，只能從余下的2個(gè)數(shù)字中選1個(gè)，有2種方法故共有2×3×212個(gè)三位數(shù)的偶數(shù).兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用例3(12分)如圖，一環(huán)形花壇分成A，B，C，D四塊現(xiàn)有4種不同的花供選種，要求在每塊地里種1種花，且相鄰的2塊種不同的花，問共有多少種不同的種植方法思路點(diǎn)撥本題可以先分類，由A，C是否種相同的花分為兩類，也可以先分步，在考慮C時(shí)再分類精解詳析法一：分為兩類：第一類：當(dāng)花壇A，C中種的花相同時(shí)有4×3×1×336種；第二類：當(dāng)花壇A，C中種的花不同時(shí)有4×3×2×248種共有364884種法二：分為四步：第一步：考慮A，有4種；第二步：考慮B，有3種；第三步：考慮C，有兩類：一是A與C同，C的選法有1種，這樣第四步D的選法有3種；二是A與C不同，C的選法有2種，此時(shí)第四步D的選法也有2種共有4×3×(1×32×2)84種一點(diǎn)通綜合應(yīng)用兩個(gè)原理時(shí)，一定要把握好分類與分步分類是根據(jù)完成方法的不同類別，分步是根據(jù)一種方法進(jìn)程的不同步驟7已知集合M1，2,3，N4,5,6，7，從兩個(gè)集合中各取一個(gè)元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則在直角坐標(biāo)系中，第一、二象限不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A18 B16C14 D10解析：分為兩大類：第一類，以集合M中的元素為點(diǎn)的橫坐標(biāo)，集合N中的元素為點(diǎn)的縱坐標(biāo)由分步乘法計(jì)數(shù)原理，有3×26個(gè)不同的點(diǎn)第二類，以集合N中的元素為點(diǎn)的橫坐標(biāo)，集合M中的元素為點(diǎn)的縱坐標(biāo)由分步乘法計(jì)數(shù)原理，有4×28個(gè)不同的點(diǎn)由分類加法計(jì)數(shù)原理，第一、二象限內(nèi)不同的點(diǎn)共有N6814個(gè)答案：C8有不同的中文書7本，不同的英文書5本，不同的法文書3本若從中選出不屬于同一種文字的2本書，共有_種不同的選法解析：分為三類，每一類再分兩步第一類選中文、英文書各一本有7×535種選法，第二類選中文、法文書各一本有7×321種選法，第三類選英文、法文書各一本有5×315種選法，所以總共有35211571種不同的選法答案：719電視臺(tái)在“歡樂今宵”節(jié)目中拿出兩個(gè)信箱，其中存放著先后兩次競猜中成績優(yōu)秀的群眾來信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，現(xiàn)由主持人抽獎(jiǎng)確定幸運(yùn)觀眾，若先確定一名幸運(yùn)之星，再從兩信箱中各確定一名幸運(yùn)伙伴，有多少種不同的結(jié)果？解：確定幸運(yùn)觀眾可分兩類：第一類：幸運(yùn)之星在甲箱中抽，再在兩箱中各定一名幸運(yùn)伙伴，有30×29×2017 400種結(jié)果；第二類：幸運(yùn)之星在乙箱中抽，再在兩箱中各定一名幸運(yùn)伙伴，有20×30×1911 400種結(jié)果根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有17 40011 40028 800種不同的結(jié)果1兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的區(qū)別分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理區(qū)別一完成一件事有n類不同的辦法，關(guān)鍵詞是“分類”完成一件事需要n個(gè)步驟，關(guān)鍵詞是“分步”區(qū)別二每類辦法都能獨(dú)立地完成這件事，它是獨(dú)立的、一次的且每次得到的是最后結(jié)果，只需一種方法就可完成這件事每一步得到的只是中間結(jié)果，任何一步都不能獨(dú)立完成這件事，即缺少任何一步都不能完成這件事，只有各個(gè)步驟都完成了，才能完成這件事區(qū)別三各類辦法之間是互斥的、并列的、獨(dú)立的各步之間是關(guān)聯(lián)的、獨(dú)立的，“關(guān)聯(lián)”確保不遺漏，“獨(dú)立”確保不重復(fù)2.“分類”“分步”應(yīng)注意(1)分類要做到“不重不漏”分類后再分別對(duì)每一類進(jìn)行計(jì)數(shù)，最后用分類加法計(jì)數(shù)原理求和，得到總數(shù)(2)分步要做到“步驟完整”完成了所有步驟，恰好完成任務(wù)，當(dāng)然步與步之間要相互獨(dú)立分步后再計(jì)算每一步的方法數(shù)，最后根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù) 1一個(gè)三層書架，分別放置語文書12本，數(shù)學(xué)書14本，英語書11本，從中任取一本，則不同的取法共有()A37種B1 848種C3種 D6種解析：根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，得不同的取法為N12141137(種)答案：A2從集合0,1,2,3,4,5,6中任取兩個(gè)互不相等的數(shù) a，b 組成復(fù)數(shù) abi，其中虛數(shù)有()A30個(gè) B42個(gè)C36個(gè) D35個(gè)解析：完成這件事分為兩個(gè)步驟：第一步，虛部 b 有6種選法；第二步，實(shí)部 a 有6種選法由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有虛數(shù) 6×636 個(gè)答案：C3現(xiàn)有高一學(xué)生9人，高二學(xué)生12人，高三學(xué)生7人，自發(fā)組織參加數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組，從中推選兩名來自不同年級(jí)的學(xué)生做一次活動(dòng)的主持人，不同的選法共有()A756種 B56種C28種 D255種解析：推選兩名來自不同年級(jí)的兩名學(xué)生，有N9×1212×79×7255(種)答案：DABCD4.用4種不同的顏色給矩形A，B，C，D涂色，要求相鄰的矩形涂不同的顏色，則不同的涂色方法共有()A12種 B24種C48種 D72種解析：先涂C，有4種涂法，涂D有3種涂法，涂A有3種涂法，涂B有2種涂法由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有4×3×3×272種涂法答案：D5為了對(duì)某農(nóng)作物新品種選擇最佳生產(chǎn)條件，在分別有3種不同土質(zhì)，2種不同施肥量，4種不同的種植密度，3種不同的種植時(shí)間的因素下進(jìn)行種植試驗(yàn)，則不同的實(shí)驗(yàn)方案共有_種解析：根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的方案有N3×2×4×372(種)答案：726如圖，AC，有_種不同走法解析：AC的走法可分兩類：第一類：AC，有2種不同走法；第二類：ABC，有2×24種不同走法根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，得共有246種不同走法答案：67設(shè)橢圓1，其中a，b1,2,3,4,5(1)求滿足條件的橢圓的個(gè)數(shù)；(2)如果橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，求橢圓的個(gè)數(shù)解：(1)由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知ab，要確定一個(gè)橢圓，只要把a(bǔ)，b一一確定下來這個(gè)橢圓就確定了要確定一個(gè)橢圓共分兩步：第一步確定a，有5種方法；第二步確定b，有4種方法，共有5×420個(gè)橢圓(2)要使焦點(diǎn)在x軸上，必須a>b，故可以分類：a2,3,4,5時(shí)，b的取值列表如下：a2345b11,21,2,31,2,3,4故共有123410個(gè)橢圓8某藝術(shù)小組有9人，每人至少會(huì)鋼琴和小號(hào)中的1種樂器，其中7人會(huì)鋼琴，3人會(huì)小號(hào)，從中選出會(huì)鋼琴和會(huì)小號(hào)的各1人，有多少種不同的選法？解：由題意可知，在藝術(shù)小組9人中，有且僅有1人既會(huì)鋼琴又會(huì)小號(hào)(把該人稱為“多面手”)，只會(huì)鋼琴的有6人，只會(huì)小號(hào)的有2人，把選出會(huì)鋼琴、小號(hào)各1人的方法分為兩類：第一類：多面手入選，另1人只需從其他8人中任選一個(gè)，故這類選法共有8種第二類：多面手不入選，則會(huì)鋼琴者只能從6個(gè)只會(huì)鋼琴的人中選出，會(huì)小號(hào)者也只能從只會(huì)小號(hào)的2人中選出，故這類選法共有6×212種因此有N81220種不同的選法