巧用定積分求極限(數學分析).doc

定積分在求極限中的應用1、知識準備1.1緒論微積分學在大學的數學學習中占有相當重要的地位.然而,求極限又是微積分學中常常要面臨的問題.因此,積累更多求極限的方法應是每位大學生必備的素養(yǎng).求極限的方法層出不窮,最常用的方法有極限的定義和性質,重要極限的結論,洛必達法則以及泰勒公式等.應用極限的定義時,往往是在極限的結果已經比較明顯,只需要根據極限的定義把相關式子進行放縮便可得到相應的結果.但是,這種方法一方面敘述上比較麻煩,另一方面也只適用于看上去容易放縮的式子.重要極限的結論形式上要求非常嚴格,也只能解決兩種形式的極限問題.洛必達法則是用于解決“”型的極限和“”型極限的.泰勒公式適宜于解決求分式極限中分子或分母有加減運算的問題,通過泰勒展式后可以達到某些項抵消效果.但若仔細觀察這些方法,其特點不是表達較繁瑣就是僅僅應用到微分學知識.事實上,微分學和積分學的關系正如中小學時代學習過的加法與減法,乘法與除法,乘方與開方以及冪運算與取對數運算的關系一樣,他們互為逆運算.倘若也能用到積分學知識來解決求極限的問題,那么求極限的方法才算完美.而利用定積分求極限正體現了這一理念.1.2定積分的概念下面首先讓我們回顧一下定積分以及極限的定義:定積分:設函數在閉區(qū)間上有定義,在閉區(qū)間內任意插入n-1個分點將分成n個區(qū)間,記,作乘積(稱為積分元),把這些乘積相加得到和式(稱為積分形式)設,若極限存在唯一且該極限值與區(qū)是的分法及分點的取法無關,則稱這個唯一的極限值為函數在上的定積分,記作,即.否則稱在上不可積.注1:由牛頓萊布尼茲公式知,計算定積分與原函數有關,故這里借助了不定積分的符號.注2:若存在,區(qū)間進行特殊分割,分點進行特殊的取法得到的和式極限存在且與定積分的值相等,但反之不成立,這種思想在考題中經常出現,請讀者要真正理解.注3:定積分是否存在或者值是多少只與被積函數式和積分區(qū)間有關與積分變量用什么字母表示無關,即仔細觀察定積分的定義,我們一定會發(fā)現定積分的極限有以下兩個特征.第一,定積分是無窮項和式的極限,容易知道一般項在項數趨近于無窮大時極限值必然趨近于零,否則和式極限不存在.第二,定積分與某一連續(xù)函數有緊密的關系,它的一般項受到這一連續(xù)函數的約束,它是連續(xù)函數在某個區(qū)間上進行了無窮的分割,各小區(qū)間上任意的函數值與區(qū)間長度的乘積的累加.對于極限,大學主要學習了數列的極限和函數的極限.數列的極限是用于解決離散的自然數的相關極限,而函數的極限則主要用于解決連續(xù)函數的相關極限.那么就讓我們先一一來回憶它們吧！1.3極限的概念數列的極限設為數列, 為實數,若對任給的正數,總存在正整數,使得當時有, 則稱數列收斂于,實數稱為數列的極限,并記作或.(讀作:當趨于無窮大時, 的極限等于或趨于).由于限于取正整數,所以在數列極限的記號中把寫成,即或.若數列沒有極限,則稱不收斂,或稱為發(fā)散數列.注1:關于:的任意性.定義中的正數的作用在于衡量數列通項與常數a的接近程度,越小,表示接近得越好;而正數可以任意小,說明與常數a可以接近到任何程度;的暫時固定性.盡管有其任意性,但一經給出,就暫時地被確定下來,以便依靠它來求出;的多值性.既是任意小的正數,那么等等,同樣也是任意小的正數,因此定義中的不等式中的可用等來代替.從而“”可用“”代替;正由于是任意小的正數,我們可以限定小于一個確定的正數.注2:關于:相應性,一般地, 隨的變小而變大,因此常把定義作來強調, 是依賴于的;一經給定,就可以找到一個;多值性的相應性并不意味著是由唯一確定的,因為對給定的,若時能使得當時,有,則或更大的數時此不等式自然成立.所以不是唯一的.事實上,在許多場合下,最重要的是的存在性,而不是它的值有多大.基于此,在實際使用中的也不必限于自然數,只要是正數即可;而且把“”改為“”也無妨.函數的極限設函數在點的某一去心鄰域內有定義.如果存在常數,對于任意給定的正數(不論它有多么小),總存在某正數,使得當滿足不等式時,對應的函數值都滿足不等式,那么常數就叫做函數當時的極限,記為.可以看出，數列極限與函數極限定義的思想是一致的,都是相應的某個表達上的值無限地接近某個常數值.不同的是數列是離散的,數列中的項在跳躍式地接近,而函數是連續(xù)的,函數值在逐漸地接近,但二者都能與相應的常數值以任意程度地接近.2、定積分與極限2.1定積分在求極限中應用概述不難看出,無論是數列的極限還是函數的極限,它們都與定積分的定義存在著千絲萬縷的關系,那么就讓我們來揭曉它們之間玄機與奧秘吧.事實上,定積分的定義中蘊含著一列數的和,并且只要充分地小,和式就可以任意地接近確定的實數J=,這正是極限思想的存在,即.這就為我們求極限提供了一種獨特而有力的方法利用定積分求極限.因為在積分學中有大量的積分公式,所以我們運用之解決眾多類型的和式極限.2.2定積分求極限中應用思想的形成先讓我們看一個簡單的例子:例1.求極限.分析:此極限式的求解,不容易直接用極限的定義解決,因為該法往往是用來一邊計算一邊證明某個極限結果已經比較明顯的問題,因此這里不適合;重要極限的結論顯然也在這里沒有用武之地,因為形式上根本不同;再考慮洛必達法則,它不是無窮比無窮型的極限也非零比零型的極限,也不可能用到此法;那么泰勒公式呢？泰勒公式往往是用來解決連續(xù)函數的極限問題,通過泰勒展式往往能把非多項式形式的表達式轉化成多項式形式,以簡化形式從而求解,看來這里也不適用.那是不是就沒有什么合適的辦法了呢？答案當然是否定的,事實上,它從形式上與定積分的定義還是有一些相像的,那么就讓我們嘗試用定積分的辦法來解決這個問題吧！解:把此極限式轉化為某個積分形式,從而計算定積分.為此做如下變形:.不難看出,其中的和式是函數在區(qū)間上的一個積分和(這里取得是等量分割,).所以,J=.從該例題的解法中可以看出,本題的關鍵是將極限和轉化為積分和,從而利用了定積分將所求極限迎刃而解.于是,我們可以總結出定積分在求極限中應用的一般方法步驟:Sept1將和式極限經過變形,使其成為積分形式.這里常取;Sept2確定積分函數的上下限.a=;Sept3用x代換,寫出定積分表達式,并求出原極限的值.通過以上的一般方法步驟,我們在面對無窮項和式的極限問題時就有方可依,有法可循了.現在讓我們再來看一個例子,并從中仔細體會以上方法步驟.例2.求極限.解:Sept1 化和式極限為積分形式.原極限=.顯然,這里,被積函數可看成Sept2 確定積分函數上下限.Sept3 寫出積分表達式并求出積分值.原極限=.對于本題,我們是緊緊按照剛剛總結出的方法步驟進行的,并順利地求出了原題的極限值.這是一個具體的例子,那么我們是否可以總結出更為一般性結論呢？答案自然是肯定的.3、應用定積分求極限3.1一般性結論的綜述及其應用至此,我們可以得出如下結論:結論1如果函數在區(qū)間上連續(xù),將區(qū)間進行等分,那么，.事實上,連續(xù)函數一定可積,而將區(qū)間進行n等分也是分割的一種特殊情況.根據定積分的定義,上述結論成立.當然,并不是所有的用到定積分求極限的問題中都要嚴格用到上面總結出的三個步驟,我們可視情況靈活處理,比如無需用到某一步驟或者還需用到其他求極限的思想等.下面我們再看一組求極限的習題,以充分感受結論1的用途.習題組11)2)3) .這組習題都是無窮項式子和的極限問題,都可以把定積分的思想應用到求極限中去.現在就讓我們用結論1來解決這些求極限的問題,并從不同習題中尋找出異同,以加深對結論1的掌握和認識.解: (1) 分析 原極限顯然可以看成在上的定積分.故 (2)分析 先通過恒等變形,原極限式=,被積函數,積分區(qū)間是,于是原極限值=;(3)分析 原和式極限的通項是不可以看成是關于的某一個函數,但是注意到:應用結論1,上面不等式左端可以取極限,即=,上面不等式右端可以取極限,即.于是,由極限的迫斂性可知原極限值=.這組題均典型地運用了定積分的計算,從而求出了各極限.我們發(fā)現,只要找到某個連續(xù)函數,并能把這個和式極限轉化成積分形式,我們就只需計算出f(x)在0,1上的積分值,從而確定出原極限值.這三個習題中,例題1的式子無需再進行恒等變形,因為其形式上已經是f()了;習題2與習題3形式上直觀上不是f()的形式,因為式子與式子都不含的項.為此,我們需要對習題2以及習題3極限的式子進行恒等變形,通過提取公因式等手段使其出現的因子.當然有的題可能不容易找到對應的連續(xù)函數,例如習題3,我們可以用極限的一些性質,如極限的迫斂性,從而間接地求出原和式極限的極限值.3.2一般性結論的深化及推廣接下來,我們對結論1進行適當的推廣,以得到更多形式的極限的求法.推論1如果函數均在上可積,證明:首先, 均在上可積.又由于,所以,于是,=.例3.求極限:.解:由推論1可知,f(x)= 于是,原極限式=.推論2設例4.試求:.推論3如果函數在區(qū)間上可積,且.證明:記A=,則 例5.計算.解:本題也可以直接運用推論3,這三個推論是對結論1的必要補充與完善.形式上我們不僅有無窮項式子和的極限,還衍生出了無窮項式子乘積的極限.它們都是順著結論1的思路繼續(xù)進行探索,從形式上豐富了定積分在求極限中應用這一思想,但從本質上講,它們與結論1是一致的.它們都緊緊抓住了定積分概念的實質,意識到定積分是無窮項和的極限,應用數學的一些基本性質,對各式子進行恒等變形,盡量把不同形式的極限向定積分定義中的和式上去靠攏.最終通過簡單明了的定積分公式,求出定積分的值來,以確定出原極限的值.由這三個推論來看, 等形式的極限，我們都有方可循,用定積分的方法容易求出其極限來.對于任何一種數學方法,只要我們仔細地觀察與推究,都能將其結論或應用范圍加以推廣,就像結論1.現在讓我們來看一組習題,以體會以上諸推論.現在,我們已經積累了多種求和式極限的方法,它們是今后應用定積分解決極限類問題的最佳模型與范例.那就再讓我們來看一組習題,以熟悉與鞏固 等形式的極限吧.下面這組習題綜合用到了以上各結論與推論.習題組2用定積分的方法計算下列各極限.(1);(2);(3);(4).解:分析 以上例題都容易恒等變形,使其滿足結論1或者推論1至推論3的條件.于是,(1)(2)=，=(3) ;(4).3.3定積分在求極限中應用思想的轉移至此,我們已經深深的體會到了各種形式的定積分在極限中應用的作用.僅僅于此,我們尚不能滿足,我們可以把定積分在求極限中的應用思想借鑒到其他方面.例如,利用這種思想方法來證明一些不等式,或者用之解決一些復雜一點的求極限問題.下面將舉例說明.例6.證明:若函數在上連續(xù),且對于，有，則.證明:已知與在上都可積.將進行等分,分點是.在第K個區(qū)間上取.由算數平均不小于幾何平均,有 .體會:本例恰巧反過來,將積分和轉化為極限和的形式,并運用了算術平均數不小于幾何平均數這一結論,將問題化繁為簡.較好地認識與掌握定積分與極限之間的關系是解決本問題的關鍵.該例題說明,我們應該充分認識到定積分在極限中的作用,并能做到靈活變通,適當情形下,二者可以相互轉化,將問題化難為易,從而達到解決問題的目的.例7.試求極限.分析:該問題似乎不能直接運用結論1或推論1至推論3來求極限.因為極限的表達式不容易化成以上結論或者推論的情形.但是,該問題的解決就真用不到定積分了嗎？答案是否定的.在解決該問題之前,還是先讓我們看一下沃利斯公式的由來吧！沃利斯公式:.證明:令,則當時用分部積分法容易求得移項并整理后可得遞推公式:由于重復應用上面的遞推公式可得,又由于,再將式代入,便可以得到,因為,根據極限的迫斂性可知.而,故得沃利斯公式.現在讓我們來仔細看看沃利斯公式究竟與定積分有什么關系吧!事實上,在計算定積分時,我們巧妙地運用了定積分的遞推表達式,這樣我們才正真地尋找到了解決極限問題的金鑰匙,看來定積分的運算還是在其中發(fā)揮了不可低估的作用.那么就讓我們直接運用該公式來探究例8問題吧！根據沃利斯公式,可知.從某種程度上講,我們利用了定積分方法解決了例8中極限的問題.倘若我們采用其方法來求這個極限,恐怕會走一些彎路.3.4定積分在求極限中應用思想的完善我們知道反常積分也是定積分在極限下定義出來的.以上的所有求極限問題都是將極限的表達式整體轉化成積分形式,從而應用了定積分巧妙地求出了原極限的結果,那么能不能把定積分在求極限中局部應用呢？現在我們再來看一個有趣的問題,以便說明此問題.例8.證明:.分析:這個例題不同于前面所有的例題,前面的例題,我們都能迅速地將所求極限的表達式轉化成,而本例不行,但它形式上與我們討論的定積分在求極限中應用的例子非常相像,因為式子中有無窮多項和,所以我們就嘗試用定積分的方法來求它吧！把這個極限式子的分子進行適當變形.如果根據前面的經驗,我們知道的.可是現在我們對兩個問題有所質疑.第一,我們并沒有把原極限式直接轉化成積分形式;第二,即使局部用到了定積分,但我們知道的.事實上,原式經變形后,我們會發(fā)現分子與分母中的無窮大量是等價的.即(這里我們統(tǒng)一了分子分母中的變量,統(tǒng)一用變量x,這里已經表示變量x是逐步趨近,由數學分析中歸結原理”,這個手段是不影響極限結果的).最后我們求得其結果,.由此可以看到,在求極限的問題中,定積分的思想不僅可以對表達式整體使用,也可以對其進行局部使用.總之,只要我們善于思考書本上的一些概念以及分析它們之間聯(lián)系,我們就往往能夠游刃有余地把一種數學思想用于解決其他數學問題上.最后,讓我們再來總結一下,定積分在求極限中應用時所應該注意的幾個問題.第一,極限必須是無窮項和的極限,并且這些和的極限經過適當的恒等變形之后能轉化為定積分的形式.第二,應用定積分求極限時,往往還需要用到其他的一些求極限的方法和手段,例如極限的迫斂性,重要極限的結論,取對數手段等.第三,求極限一類問題往往需要使用各種手段,這樣才能做到事半功倍.4、論文總結4.1再認識數學通過以上探討,我們重新認識了數學.我們在進行推理與應用時,是有深切體會的.數學本身是一門嚴謹的自然科學,因為它是一種思維的工具,是一種思想方法,它還是一種理性的藝術.數學是一種思維的工具.第一,數學具抽象性.數學概念是以極度抽象的形式出現的.本文中討論的定積分以及極限更是如此.與此同時,數學的研究方法也是抽象的,這就是說數學命題的真理性不能建立在經驗之上,而必須依靠于嚴格的證明.當數學應用于實際問題的研究時,其關鍵在于能建立一個較好的數學模型.我們在運用定積分求極限時,就已經擁有了較好的數學模型函數模型.在一個較好的數學模型上展開數學的推導和計算,以形成對問題的認識,判斷和預測.這就是運用抽象思維去解決現實問題的體現.第二,數學賦予科學知識以邏輯的嚴密性和結論的可靠性,是使認識從感性階段發(fā)展到理性階段,并使理性認識進一步深化的重要手段.在數學中,每一個公式,定理都要嚴格地從邏輯上加以證明以后才能夠確立.當我們發(fā)現了“結論1”之后,相繼經過嚴密的推理與論證后才拓展到了“推論1”至“推論3”.第三,數學是一種輔助工具和表現方式.我們在解決數學問題本身時,還必須依賴于數學中的其他相關方法思路.另外數學反映的是一種復雜而抽象事物內部關系,但是我們仍然有簡明的數學符號與形象鮮明的圖形等來表示它.無論是定積分還是極限,其中都用到了豐富的數學符號,離開這些數學符號,我們的表達似乎顯得寸步難行.數學是一種思想方法.數學是研究量的科學.它研究客觀對象量的變化,關系等,并在提煉量的規(guī)律性的基礎上形成各種有關量的推導和演算的方法.數學的思想方法體現著它作為一般方法論的特征和性質,是物質世界質與量的統(tǒng)一,內容與形式的統(tǒng)一的最有效的表現方式.無論是定積分還是極限都離不開計算,這就意味著它們中都蘊含著量的變化.數學還是一種理性的藝術.一般我們覺得,藝術與數學是兩種風格與本質都有著明顯不同的事物.它們一個處于高度理性化的峰頂,另一個則位于精神世界的樞紐地帶;一個是自然科學的代表,另一個則是美學的杰作.但是,在種種表面上無關甚至完全不同的現象身后卻隱藏著藝術與數學相當一致的一般意義.我們進行學術研究純粹是我們進取以及求知欲的驅使.藝術與數學都是公認的地球語言.藝術與數學在描繪萬事萬物的過程中,還同時完善了自身的表現形式,這種表現形式最基本的載體便是藝術與數學各自獨特的語言特征.其共同特點有(1)超文化性.藝術與數學所表達的是一種帶有普遍意義的人類共同的心聲,因而它們可以超越時間和地域界限,實現不同文化群體之間的廣泛傳播和交流.(2)整體性.藝術的整體性來自于其藝術表現的普遍性和廣泛性;數學的整體性來自于數學統(tǒng)一的符號體系,各個分支之間的有力聯(lián)系,共同的邏輯法則和既約的表達方式.(3)簡明性.它首先表現為很高的抽象程度,其次是凝凍與濃縮.(4)代表性.藝術與數學語言各自代表性可以誘發(fā)某種強烈的情感體驗,喚起某種美的享受,而意義則在于把注意力轉向思維,上升為理念,成為表現人類內心意圖的方式.(5)形式性.在藝術與數學各自進行的符號與信息的含義交換中,其共同的特征就是達到了實體與形式的分離.我們研究的定積分在求極限中的應用,那種思想以及符號呈現方式可被世界人悅納.藝術與數學具有共同的精神價值.其共同的特點有:(1)自律性.數學價值的自律性是與數學價值的客觀性相關聯(lián)的;藝術的價值也是不能以人的意志而轉移.藝術與數學的價值基本上是在自身框架內被鑒別,鑒賞和評價的.(2)超越性.它們可以超越時空,彰顯永恒.在藝術與數學的價值超越過程中,現實得以擴張,延伸.藝術與數學的超越性還表現為超前的價值.(3)非功利性.藝術與數學的非功利性是其價值判斷異于其他種類文化與科學的顯著特征之一.(4)多樣化,物質化與廣泛化.在現代技術與商業(yè)化的推動下,藝術與數學的價值也開始發(fā)生升華,出現了各自價值在許多領域內的散射,滲透,應用,交叉等情況.定積分在求極限中的應用,不僅僅貢獻于數學本身,它將逐漸在其他領域也發(fā)揮一定的作用.4.2結束語我們已經見到了定積分在求極限問題中應用的各種形式.事實上,只要我們對學過的某些概念用心的體會,并加以深刻的思考,我們就可能將其精髓運用到數學的其他領域.正如我們這里把定積分與極限結合起來,并進行了適當推廣,得到了較為滿意的結論和推論.本文主要給大家介紹了定積分在求極限中應用.一開始我們就回憶了定積分以及極限等大學數學學習中的重要概念.然后剖析它們之間的內在聯(lián)系,進而尋找到了一種獨特的求極限的辦法借助定積分求極限.當然,這種思想也并非空穴來風,它是源于教材中某些例題中具有創(chuàng)新性思想方法或者一些獨特的步驟.因為不是所有的數學概念之間經過思考推理,相互之間就能建立起聯(lián)系來.因此,在平時的數學學習中,我們務必對教材中的基本概念加深體會,尤其是要把相互之間或多或少存在著某種關系的概念加以比較與分析.然后對其進行大膽的假設,并進行一定的邏輯證明.如果我們的假設成立,那就是我們發(fā)現的新事物,這對于我們發(fā)散思維與創(chuàng)新思維都是大有裨益的;假設不成立,我們也可更好地掌握不同概念之間區(qū)別,這對于我們理解知識都是有好處的.所以,在我們平時的學習過程中,我們要積極去思考,并大膽地進行某些適當的假設,以提升我們創(chuàng)新思維能力.求極限的方法可能還有更多,值得大家去思考與挖掘.希望本文能起到拋磚引玉的目的,能激發(fā)更多的數學愛好者攜起手來探索出更多實用與巧妙的求極限的方法來.歡迎大家對本文進行批評與指正.參考文獻1華東師范大學數學系.數學分析M.高等教育出版社,20012劉玉璉,劉偉等.數學分析講義習題選解.北京,高等教育出版社,20023同濟大學數學教研室.高等數學M北京, 高等教育出版社,19974王業(yè).關于積分在求極限中的初探R.全國專科院校數學會,19925劉樹利.計算機數學基礎.北京.高等教育出版社,20016劉利茹,孫永華.高等學校經濟數學系列教材.北京,高等教育出版社,2004 7陳吉象,戴英等.文科數學基礎.北京高等教育出版社,20038天津大學數學競賽(人文學科及醫(yī)學等類),2005英文摘要Abstract:In solving limit problem, we often think of the ways including the definition of limit, important limits, LHospitals rule and Taylors formula etc. These methods have some limitations, however the definite integral is also limit form in essentially, it is also simple in calculation. This paper will focus on the applications of definite integral in solving the limit problems.Keywords: Definite integral, Limit, Applications.