《三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用》的教學(xué)設(shè)計(jì).doc

1.6 三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用教學(xué)設(shè)計(jì)一、教學(xué)分析三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實(shí)世界中周期現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)模型,可以用來研究很多問題,在刻畫周期變化規(guī)律、預(yù)測(cè)其未來等方面都發(fā)揮著十分重要的作用. 三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用的設(shè)置目的,在于加強(qiáng)用三角函數(shù)模型刻畫周期變化現(xiàn)象的學(xué)習(xí).本節(jié)教材通過4個(gè)例題,循序漸進(jìn)地從四個(gè)層次來介紹三角函數(shù)模型的應(yīng)用,在素材的選擇上注意了廣泛性、真實(shí)性和新穎性,同時(shí)又關(guān)注到三角函數(shù)性質(zhì)(特別是周期性)的應(yīng)用.通過引導(dǎo)學(xué)生解決有一定綜合性和思考水平的問題,培養(yǎng)他們綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的知識(shí)解決問題的能力.培養(yǎng)學(xué)生的建模、分析問題、數(shù)形結(jié)合、抽象概括等能力.由于實(shí)際問題常常涉及一些復(fù)雜數(shù)據(jù),因此要鼓勵(lì)學(xué)生利用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器處理數(shù)據(jù),包括建立有關(guān)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖,根據(jù)散點(diǎn)圖進(jìn)行函數(shù)擬合等.二、教學(xué)目標(biāo)1、知識(shí)與技能：掌握三角函數(shù)模型應(yīng)用基本步驟:(1)根據(jù)圖象建立解析式; (2)根據(jù)解析式作出圖象; (3)將實(shí)際問題抽象為與三角函數(shù)有關(guān)的簡(jiǎn)單函數(shù)模型.2、過程與方法：選擇合理三角函數(shù)模型解決實(shí)際問題，注意在復(fù)雜的背景中抽取基本的數(shù)學(xué)關(guān)系，還要調(diào)動(dòng)相關(guān)學(xué)科知識(shí)來幫助理解問題。切身感受數(shù)學(xué)建模的全過程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的價(jià)值和作用及數(shù)學(xué)和日常生活和其它學(xué)科的聯(lián)系。3、情態(tài)與價(jià)值：培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí);提高學(xué)生利用信息技術(shù)處理一些實(shí)際計(jì)算的能力。三、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):分析、整理、利用信息,從實(shí)際問題中抽取基本的數(shù)學(xué)關(guān)系來建立三角函數(shù)模型,用三角函數(shù)模型解決一些具有周期變化規(guī)律的實(shí)際問題.教學(xué)難點(diǎn):將某些實(shí)際問題抽象為三角函數(shù)的模型,并調(diào)動(dòng)相關(guān)學(xué)科的知識(shí)來解決問題.四、教學(xué)過程：三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用一、導(dǎo)入新課 思路1.(問題導(dǎo)入)既然大到宇宙天體的運(yùn)動(dòng),小到質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)以及現(xiàn)實(shí)世界中具有周期性變化的現(xiàn)象無處不在,那么究竟怎樣用三角函數(shù)解決這些具有周期性變化的問題？它到底能發(fā)揮哪些作用呢？由此展開新課. 思路2.我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì),特別研究了三角函數(shù)的周期性.在現(xiàn)實(shí)生活中,如果某種變化著的現(xiàn)象具有周期性,那么是否可以借助三角函數(shù)來描述呢？回憶必修1第三章第二節(jié)“函數(shù)模型及其應(yīng)用”,面臨一個(gè)實(shí)際問題,應(yīng)當(dāng)如何選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來刻畫它呢？以下通過幾個(gè)具體例子,來研究這種三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用.二、推進(jìn)新課、新知探究、提出問題回憶從前所學(xué),指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的模型都是常用來描述現(xiàn)實(shí)世界中的哪些規(guī)律的?數(shù)學(xué)模型是什么,建立數(shù)學(xué)模型的方法是什么?上述的數(shù)學(xué)模型是怎樣建立的?怎樣處理搜集到的數(shù)據(jù)? 活動(dòng):師生互動(dòng),喚起回憶,充分復(fù)習(xí)前面學(xué)習(xí)過的建立數(shù)學(xué)模型的方法與過程.對(duì)課前已經(jīng)做好復(fù)習(xí)的學(xué)生給予表揚(yáng),并鼓勵(lì)他們類比以前所學(xué)知識(shí)方法,繼續(xù)探究新的數(shù)學(xué)模型.對(duì)還沒有進(jìn)入狀態(tài)的學(xué)生,教師要幫助回憶并快速激起相應(yīng)的知識(shí)方法.在教師的引導(dǎo)下,學(xué)生能夠較好地回憶起解決實(shí)際問題的基本過程是:收集數(shù)據(jù)畫散點(diǎn)圖選擇函數(shù)模型求解函數(shù)模型檢驗(yàn)用函數(shù)模型解釋實(shí)際問題. 這點(diǎn)很重要,學(xué)生只要有了這個(gè)認(rèn)知基礎(chǔ),本節(jié)的簡(jiǎn)單應(yīng)用便可迎刃而解.新課標(biāo)下的教學(xué)要求,不是教師給學(xué)生解決問題或帶領(lǐng)學(xué)生解決問題,而是教師引領(lǐng)學(xué)生逐步登高,在合作探究中自己解決問題,探求新知.討論結(jié)果:描述現(xiàn)實(shí)世界中不同增長(zhǎng)規(guī)律的函數(shù)模型.簡(jiǎn)單地說,數(shù)學(xué)模型就是把實(shí)際問題用數(shù)學(xué)語言抽象概括,再從數(shù)學(xué)角度來反映或近似地反映實(shí)際問題時(shí),所得出的關(guān)于實(shí)際問題的數(shù)學(xué)描述.數(shù)學(xué)模型的方法,是把實(shí)際問題加以抽象概括,建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型,利用這些模型來研究實(shí)際問題的一般數(shù)學(xué)方法.解決問題的一般程序是:1審題:逐字逐句的閱讀題意,審清楚題目條件、要求、理解數(shù)學(xué)關(guān)系；2建模:分析題目變化趨勢(shì),選擇適當(dāng)函數(shù)模型；3求解:對(duì)所建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析研究得到數(shù)學(xué)結(jié)論；4還原:把數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際問題的解答.畫出散點(diǎn)圖,分析它的變化趨勢(shì),確定合適的函數(shù)模型.三、應(yīng)用示例例1 如圖1, 某地一天從614時(shí)的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y=sin(x+)+b.圖1(1)求這一天的最大溫差;(2)寫出這段曲線的函數(shù)解析式. 活動(dòng):這道例題是2002年全國卷的一道高考題,探究時(shí)教師與學(xué)生一起討論.本例是研究溫度隨時(shí)間呈周期性變化的問題.教師可引導(dǎo)學(xué)生思考,本例給出模型了嗎？給出的模型函數(shù)是什么？要解決的問題是什么？怎樣解決？然后完全放給學(xué)生自己討論解決. 題目給出了某個(gè)時(shí)間段的溫度變化曲線這個(gè)模型.其中第(1)小題實(shí)際上就是求函數(shù)圖象的解析式,然后再求函數(shù)的最值差.教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生觀察思考:“求這一天的最大溫差”實(shí)際指的是“求6是到14時(shí)這段時(shí)間的最大溫差”,可根據(jù)前面所學(xué)的三角函數(shù)圖象直接寫出而不必再求解析式.讓學(xué)生體會(huì)不同的函數(shù)模型在解決具體問題時(shí)的不同作用.第(2)小題只要用待定系數(shù)法求出解析式中的未知參數(shù),即可確定其解析式.其中求是利用半周期(14-6),通過建立方程得解.解:(1)由圖可知,這段時(shí)間的最大溫差是20 .(2)從圖中可以看出,從614時(shí)的圖象是函數(shù)y=Asin(x+)+b的半個(gè)周期的圖象,A=(30-10)=10,b= (30+10)=20.=14-6,=.將x=6,y=10代入上式,解得=. 綜上,所求解析式為y=10sin(x+)+20,x6,14.點(diǎn)評(píng):本例中所給出的一段圖象實(shí)際上只取614即可,這恰好是半個(gè)周期,提醒學(xué)生注意抓關(guān)鍵.本例所求出的函數(shù)模型只能近似刻畫這天某個(gè)時(shí)段的溫度變化情況,因此應(yīng)當(dāng)特別注意自變量的變化范圍,這點(diǎn)往往被學(xué)生忽略掉.（互動(dòng)探究）圖5表示的是電流I與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系圖5I=Asin(x+)(>0,|<)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象.(1)根據(jù)圖象寫出I=Asin(x+)的解析式;(2)為了使I=Asin(x+)中的t在任意一段s的時(shí)間內(nèi)電流I能同時(shí)取得最大值和最小值,那么正整數(shù)的最小值為多少?解:(1)由圖知A=300,第一個(gè)零點(diǎn)為(,0),第二個(gè)零點(diǎn)為(,0),()+=0,+=.解得=100,=,I=300sin(100t+).(2)依題意有T,即,200.故min=629.例2 做出函數(shù)y=|sinx|的圖象并觀察其周期例3 如圖2,設(shè)地球表面某地正午太陽高度角為,為此時(shí)太陽直射緯度,為該地的緯度值,那么這三個(gè)量之間的關(guān)系是=90-|-|.當(dāng)?shù)叵陌肽耆≌?冬半年取負(fù)值. 如果在北京地區(qū)(緯度數(shù)約為北緯40)的一幢高為h0的樓房北面蓋一新樓,要使新樓一層正午的太陽全年不被前面的樓房遮擋,兩樓的距離不應(yīng)小于多少? 活動(dòng): 如圖2本例所用地理知識(shí)、物理知識(shí)較多,綜合性比較強(qiáng),需調(diào)動(dòng)相關(guān)學(xué)科的知識(shí)來幫助理解問題,這是本節(jié)的一個(gè)難點(diǎn).在探討時(shí)要讓學(xué)生充分熟悉實(shí)際背景,理解各個(gè)量的含義以及它們之間的數(shù)量關(guān)系. 首先由題意要知道太陽高度角的定義:設(shè)地球表面某地緯度值為,正午太陽高度角為,此時(shí)太陽直射緯度為,那么這三個(gè)量之間的關(guān)系是=90-|-|.當(dāng)?shù)叵陌肽耆≌?冬半年取負(fù)值. 根據(jù)地理知識(shí),能夠被太陽直射到的地區(qū)為南、北回歸線之間的地帶,圖形如圖3,由畫圖易知太陽高度角、樓高h(yuǎn)0與此時(shí)樓房在地面的投影長(zhǎng)h之間有如下關(guān)系: h0=htan. 由地理知識(shí)知,在北京地區(qū),太陽直射北回歸線時(shí)物體的影子最短,直射南回歸線時(shí)物體的影子最長(zhǎng).因此,為了使新樓一層正午的太陽全年不被遮擋,應(yīng)當(dāng)考慮太陽直射南回歸線時(shí)的情況.圖3 解:如圖3,A、B、C分別為太陽直射北回歸線、赤道、南回歸線時(shí)樓頂在地面上的投影點(diǎn).要使新樓一層正午的太陽全年不被前面的樓房遮擋,應(yīng)取太陽直射南回歸線的情況考慮,此時(shí)的太陽直射緯度2326.依題意兩樓的間距應(yīng)不小于MC. 根據(jù)太陽高度角的定義, 有C90|40(2326)|2634, 所以MC=2.000h0, 即在蓋樓時(shí),為使后樓不被前樓遮擋,要留出相當(dāng)于樓高兩倍的間距. 點(diǎn)評(píng):本例是研究樓高與樓在地面的投影長(zhǎng)的關(guān)系問題,是將實(shí)際問題直接抽象為與三角函數(shù)有關(guān)的簡(jiǎn)單函數(shù)模型,然后根據(jù)所得的函數(shù)模型解決問題.要直接根據(jù)圖2來建立函數(shù)模型,學(xué)生會(huì)有一定困難,而解決這一困難的關(guān)鍵是聯(lián)系相關(guān)知識(shí),畫出圖3,然后由圖形建立函數(shù)模型,問題得以求解.這道題的結(jié)論有一定的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值.教學(xué)中,教師可以在這道題的基礎(chǔ)上再提出一些問題,如下例的變式訓(xùn)練,激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探究.變式訓(xùn)練 某市的緯度是北緯23,小王想在某住宅小區(qū)買房,該小區(qū)的樓高7層,每層3米,樓與樓之間相距15米.要使所買樓層在一年四季正午太陽不被前面的樓房遮擋,他應(yīng)選擇哪幾層的房？圖4解:如圖4,由例3知,北樓被南樓遮擋的高度為h=15tan90-(23+2326)=15tan433414.26,由于每層樓高為3米,根據(jù)以上數(shù)據(jù),所以他應(yīng)選3層以上.例4貨船進(jìn)出港時(shí)間問題:海水受日月的引力,在一定的時(shí)候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情況下,船在漲潮時(shí)駛進(jìn)航道,靠近碼頭;卸貨后,在落潮時(shí)返回海洋.下面是某港口在某季節(jié)每天的時(shí)間與水深關(guān)系表:時(shí)刻0:003:006:009:0012:0015:0018:0021:0024:00水深/米5.07.55.02.55.07.55.02.55.0(1)選用一個(gè)函數(shù)來近似描述這個(gè)港口的水深與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系,給出整點(diǎn)時(shí)的水深的近似數(shù)值(精確到0.001).(2)一條貨船的吃水深度(船底與水面的距離)為4米,安全條例規(guī)定至少要有1.5米的安全間隙(船底與洋底的距離),該船何時(shí)能進(jìn)入港口?在港口能呆多久?(3)若某船的吃水深度為4米,安全間隙為1.5米,該船在2:00開始卸貨,吃水深度以每小時(shí)0.3米的速度減少,那么該船在什么時(shí)間必須停止卸貨,將船駛向較深的水域? 活動(dòng):引導(dǎo)學(xué)生觀察上述問題表格中的數(shù)據(jù),會(huì)發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?比如重復(fù)出現(xiàn)的幾個(gè)數(shù)據(jù).并進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生作出散點(diǎn)圖.讓學(xué)生自己完成散點(diǎn)圖,提醒學(xué)生注意仔細(xì)準(zhǔn)確觀察散點(diǎn)圖,如圖6.教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)散點(diǎn)的位置排列,思考可以用怎樣的函數(shù)模型來刻畫其中的規(guī)律.根據(jù)散點(diǎn)圖中的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)和平衡點(diǎn),學(xué)生很容易確定選擇三角函數(shù)模型.港口的水深與時(shí)間的關(guān)系可以用形如y=Asin(x+)+h的函數(shù)來刻畫.其中x是時(shí)間,y是水深,我們可以根據(jù)數(shù)據(jù)確定相應(yīng)的A,h的值即可.這時(shí)注意引導(dǎo)學(xué)生與“五點(diǎn)法”相聯(lián)系.要求學(xué)生獨(dú)立操作完成,教師指導(dǎo)點(diǎn)撥,并糾正可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤,直至無誤地求出解析式,進(jìn)而根據(jù)所得的函數(shù)模型,求出整點(diǎn)時(shí)的水深.圖6 根據(jù)學(xué)生所求得的函數(shù)模型,指導(dǎo)學(xué)生利用計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算求解.注意引導(dǎo)學(xué)生正確理解題意,一天中有兩個(gè)時(shí)間段可以進(jìn)港.這時(shí)點(diǎn)撥學(xué)生思考:你所求出的進(jìn)港時(shí)間是否符合時(shí)間情況？如果不符合,應(yīng)怎樣修改？讓學(xué)生養(yǎng)成檢驗(yàn)的良好習(xí)慣. 在本例(3)中,應(yīng)保持港口的水深不小于船的安全水深,那么如何刻畫船的安全水深呢？引導(dǎo)學(xué)生思考,怎樣把此問題翻譯成函數(shù)模型.求貨船停止卸貨,將船駛向深水域的含義又是什么?教師引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問題的意義轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)解釋,同時(shí)提醒學(xué)生注意貨船的安全水深、港口的水深同時(shí)在變,停止卸貨的時(shí)間應(yīng)當(dāng)在安全水深接近于港口水深的時(shí)候.進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考:根據(jù)問題的實(shí)際意義,貨船的安全水深正好等于港口的水深時(shí)停止卸貨行嗎？為什么？正確結(jié)論是什么？可讓學(xué)生思考、討論后再由教師組織學(xué)生進(jìn)行評(píng)價(jià).通過討論或爭(zhēng)論,最后得出一致結(jié)論:在貨船的安全水深正好等于港口的水深時(shí)停止卸貨將船駛向較深水域是不行的,因?yàn)檫@樣不能保證貨船有足夠的時(shí)間發(fā)動(dòng)螺旋槳.解:(1)以時(shí)間為橫坐標(biāo),水深為縱坐標(biāo),在直角坐標(biāo)系中畫出散點(diǎn)圖(圖6).根據(jù)圖象,可以考慮用函數(shù)y=Asin(x+)+h刻畫水深與時(shí)間之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.從數(shù)據(jù)和圖象可以得出:A2.5,h5,T12,0,由T12,得.所以這個(gè)港口的水深與時(shí)間的關(guān)系可用y2.5sinx+5近似描述.由上述關(guān)系式易得港口在整點(diǎn)時(shí)水深的近似值:時(shí)刻0:001:002:003:004:005:006:007:008:009:0010:0011:00水深5.0006.2507.1657.57.1656.2505.0003.7542.8352.5002.8353.754時(shí)刻12:0013:0014:0015:0016:0017:0018:0019:0020:0021:0022:0023:00水深5.0006.2507.1657.57.1656.2505.0003.7542.8352.5002.8353.754(2)貨船需要的安全水深為4+1.55.5(米),所以當(dāng)y5.5時(shí)就可以進(jìn)港.令2.5sinx+5=5.5,sinx=0.2.由計(jì)算器可得MODEMODE2SHIFTsin-10.2=0.201 357 920.201 4.如圖7,在區(qū)間0,12內(nèi),函數(shù)y2.5sinx+5的圖象與直線y5.5有兩個(gè)交點(diǎn)A、B,圖7因此x0.201 4,或x0.201 4.解得xA0.384 8,xB5.615 2.由函數(shù)的周期性易得:xC12+0.384 812.384 8,xD12+5.615 217.615 2.因此,貨船可以在0時(shí)30分左右進(jìn)港,早晨5時(shí)30分左右出港;或在中午12時(shí)30分左右進(jìn)港,下午17時(shí)30分左右出港.每次可以在港口停留5小時(shí)左右.圖8(3)設(shè)在時(shí)刻x貨船的安全水深為y,那么y=5.5-0.3(x-2)(x2).在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出這兩個(gè)函數(shù)的圖象,可以看到在67時(shí)之間兩個(gè)函數(shù)圖象有一個(gè)交點(diǎn)(如圖8). 通過計(jì)算也可以得到這個(gè)結(jié)果.在6時(shí)的水深約為5米,此時(shí)貨船的安全水深約為4.3米;6.5時(shí)的水深約為4.2米,此時(shí)貨船的安全水深約為4.1米;7時(shí)的水深約為3.8米,而貨船的安全水深約為4米.因此為了安全,貨船最好在6.5時(shí)之前停止卸貨,將船駛向較深的水域. 點(diǎn)評(píng):本例是研究港口海水深度隨時(shí)間呈周期性變化的問題,題目只給出了時(shí)間與水深的關(guān)系表,要想由此表直接得到函數(shù)模型是很困難的.對(duì)第(2)問的解答,教師引導(dǎo)學(xué)生利用計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算求解.同時(shí)需要強(qiáng)調(diào),建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題,所得的模型是近似的,并且得到的解也是近似的.這就需要根據(jù)實(shí)際背景對(duì)問題的解進(jìn)行具體的分析.如本例中,一天中有兩個(gè)時(shí)間段可以進(jìn)港,教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)問題的實(shí)際意義,對(duì)答案的合理性作出解釋.四、課堂小結(jié)1.本節(jié)課學(xué)習(xí)了三個(gè)層次的三角函數(shù)模型的應(yīng)用,即根據(jù)圖象建立解析式,根據(jù)解析式作出圖象,將實(shí)際問題抽象為與三角函數(shù)有關(guān)的簡(jiǎn)單函數(shù)模型.你能概括出建立三角函數(shù)模型解決實(shí)際問題的基本步驟嗎？2.實(shí)際問題的背景往往比較復(fù)雜,而且需要綜合應(yīng)用多學(xué)科的知識(shí)才能解決它.因此,在應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題時(shí),應(yīng)當(dāng)注意從復(fù)雜的背景中抽取基本的數(shù)學(xué)關(guān)系,還要調(diào)動(dòng)相關(guān)學(xué)科知識(shí)來幫助理解問題.課后作業(yè)：1.課本P65練習(xí)1,2,3.2.搜集、歸納、分類現(xiàn)實(shí)生活中周期變化的情境模型.解:如以下兩例:人體內(nèi)部的周期性節(jié)律變化和個(gè)人的習(xí)慣性的生理變化,如人體脈搏、呼吸、排泄、體溫、睡眠節(jié)奏、饑餓程度等；蛻皮(tuipi)昆蟲綱和甲殼綱等節(jié)肢動(dòng)物,以及線形動(dòng)物等的體表具有堅(jiān)硬的幾丁質(zhì)層,雖有保護(hù)身體的作用,但限制動(dòng)物的生長(zhǎng)、發(fā)育.因此,在胚后發(fā)育過程中,必須進(jìn)行1次或數(shù)次脫去舊表皮,再長(zhǎng)出寬大的新表皮后,才變成成蟲,這種現(xiàn)象稱為蛻皮；蛻下的“舊表皮”稱為“蛻”,只有這樣,蟲體才能得以繼續(xù)充分生長(zhǎng)、發(fā)育.蛻皮現(xiàn)象的發(fā)生具有周期性,但蛻皮的準(zhǔn)備和蛻皮過程是連續(xù)進(jìn)行的.此外,脊椎動(dòng)物爬行類的蛻皮現(xiàn)象尤為明顯,如蜥蜴和蛇具有雙層角質(zhì)層,其外層在定期蛻皮時(shí)脫掉,蛇的外層角質(zhì)層連同眼球外面透明的皮膚,約每2個(gè)月為一個(gè)周期可完整地脫落1次,稱為蛇蛻.