《數(shù)學(xué)分析III》期中考試試題及參考答案.doc

數(shù)學(xué)分析下冊期末試題（模擬）一、填空題（每小題3分，共24分）1、重極限_2、設(shè)，則全微分_3、設(shè)，則_4、設(shè)是以原點為中心，為半徑的上半圓周，則_.5、曲面和所截出的曲線在點處的法平面方程是_.6、已知，則_.7、改變累次積分的順序，_.8、第二型曲面積分_，其中為球面，取外側(cè).得分評卷人二、單項選擇題（每小題2分，共16分）1、下列平面點集，不是區(qū)域的是（ ）（A） （B）（C） （D）2、下列論斷，正確的是（ ）（A）函數(shù)在點處的兩個累次極限都不存在，則該函數(shù)在處重極限必定不存在.（B）函數(shù)在點處的兩個累次極限都存在且相等，則該函數(shù)在處重極限必定存在.（C）函數(shù)在點處的偏導(dǎo)數(shù)都存在，則該函數(shù)在處可微.（D）函數(shù)在點處可微，則該函數(shù)在處必定連續(xù).3、方程在原點附近能確定連續(xù)可微的隱函數(shù)形式是（ ）(A) (B) (C) (D) 以上選項都不對.4、設(shè)，其中，則等于（ ）（A） （B） （C） （D）5、設(shè)平面曲線：在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且點與的坐標(biāo)分別為與，又設(shè)和為上的連續(xù)函數(shù)，則沿從到的第二型曲線積分等于 （ ）考生答題不得過此線密封線 任課教師： 教學(xué)班號： 姓名： 學(xué)號：裝訂線（A）（B）（C）考生答題不得過此線密封線 任課教師： 教學(xué)班號： 姓名： 學(xué)號：裝訂線（D）6、變換：，所對應(yīng)的函數(shù)行列式為（ ）(A) (B) (C) (D) 7、對于任意光滑封閉曲線中，以下第二型曲線積分中為零的是（ ）（A） （B）（C） （D）8、下列積分區(qū)域中，既是型又是型的是（ ）(A)是由直線，和所圍成的閉區(qū)域.(B)是由直線和曲線所圍成的閉區(qū)域.(C)是由直線，和所圍成的閉區(qū)域.(D)是由直線，和曲線所圍成的閉區(qū)域.得分評卷人三、計算題（每小題8分，共48分）1、討論函數(shù)在原點處的連續(xù)性，計算和.2、設(shè)，求3、設(shè)方程組確定了隱函數(shù)組，求和考生答題不得過此線密封線 任課教師： 教學(xué)班號： 姓名： 學(xué)號：裝訂線4、利用含參量積分計算，其中.5、計算，其中是以為半徑，圓心在原點的右半圓周從最上面一點到最下面一點.6、利用極坐標(biāo)變換計算，其中是由圓 與軸所圍成的平面區(qū)域.得分評卷人考生答題不得過此線密封線 任課教師： 教學(xué)班號： 姓名： 學(xué)號：裝訂線四、應(yīng)用題（每小題6分，共12分）1、求由球面與拋物面所圍成的區(qū)域的體積.2、某工廠打算建造一個容積為2500長方體倉庫，其中倉庫頂?shù)脑靸r為200元/，倉庫底面造價為300元/，倉庫四周造價為100元/，問如何設(shè)計可以使倉庫的建造成本最小.參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)一、填空題（每小題3分，共24分）1、2 2、 3、4、 5、 （即）6、 7、 8、二、單項選擇題（每小題2分，共16分）題號12345678答案DDCABCBB三、計算題（每小題8分，共48分）1、討論函數(shù)在原點處的連續(xù)性，計算和.解 首先考慮，當(dāng)點沿直線趨于時，則有 （2分）由此可見，該極限值隨的變化而變化，故此極限不存在，從而函數(shù)在原點不連續(xù). （4分）由偏導(dǎo)數(shù)的定義， （6分） （8分）2、設(shè)，求.解 記，則由復(fù)合函數(shù)鏈?zhǔn)椒▌t，. （2分）再記， （3分）（6分） （7分） （8分）3、設(shè)方程組確定了隱函數(shù)組，求和.解 方程組關(guān)于求偏導(dǎo)數(shù)得 （3分）解此方程組得， （4分）方程組關(guān)于求偏導(dǎo)數(shù)得 （7分）解此方程組得，. （8分）4、利用含參量積分計算，其中.解 因為，所以 （2分）.由于被積函數(shù)在上連續(xù)，（4分）故由含參量積分連續(xù)性定理，交換積分順序得 （6分） （8分）5、計算，其中是以為半徑，圓心在原點的右半圓周從最上面一點到最下面一點.解 題設(shè)中的右半圓周從點到點的參數(shù)方程為，其中從到. （3分）又，故第二型曲線積分 （4分） （6分） （8分）6、利用極坐標(biāo)變換計算，其中是由圓 與軸所圍成的平面區(qū)域.解 引入極坐標(biāo)變換， ， （2分）則積分區(qū)域在此極坐標(biāo)變換下變?yōu)?，?分）所以， （6分） （8分）四、應(yīng)用題（每小題6分，共12分）1、求由球面與拋物面所圍成的區(qū)域的體積.解 設(shè)所求區(qū)域的體積為，則. （2分）引入柱面坐標(biāo)變換， ， ，則球面方程變?yōu)椋瑨佄锩娣匠套優(yōu)? （3分）由方程組，消去得在平面上的投影區(qū)域的邊界曲線方程，. 于是，在柱面坐標(biāo)下可表示為，（4分）所以，（6分）2、某工廠打算建造一個容積為2500長方體倉庫，其中倉庫頂?shù)脑靸r為200元/，倉庫底面造價為300元/，倉庫四周造價為100元/，問如何設(shè)計可以使倉庫的建造成本最小.解 設(shè)倉庫的長寬高分別為，則由題設(shè)有. 又設(shè)建造倉庫的成本為，則 （2分）因此，所求問題可歸結(jié)為在約束條件下，函數(shù)的最小值問題. 構(gòu)造拉格朗日函數(shù) （3分）令，解之得 （5分）即倉庫的長、寬、高分別為10，10，25時，造價最小，為150000元.（6分）