高中數(shù)學二輪總復習 選考內(nèi)容第29講 幾何證明與不等式選講課件 理 新課標（湖南專用）

專題一 函數(shù)與導數(shù)選考內(nèi)容1幾何證明的主要知識點有：平行線等分線段定理，平行線分線段成比例定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的射影定理，圓周角定理，圓心角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理，圓的切線性質(zhì)與判定定理，弦切角定理，相交弦定理，切割線定理，切線長定理，平面與圓柱面的截線，平面與圓錐面的截線等 2判定兩個三角形相似有三個理論依據(jù)，即兩角對應(yīng)相等；兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等；三邊對應(yīng)成比例相似三角形的基本性質(zhì)可概括為：對應(yīng)高的比、中線的比，角平分線的比，周長的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方3直角三角形的射影定理有兩種形式，即斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項；兩直角邊分別是它們在斜邊上射影與斜邊的比例中項4圓的平面幾何性質(zhì)主要體現(xiàn)在“三角四線”“三角”是指圓周角，圓心角和弦切角；“四線”是指切線，割線，切割線和相交弦其有關(guān)定理、推理和性質(zhì)，都是圍繞這“三角四線”而展開的5用平面截圓柱面，所得截線可以是圓或橢圓；用平面截圓錐面，所得截線可以是圓、橢圓、雙曲線或拋物線6絕對值三角不等式：|a|-|b|ab|a|+|b|.12121212222222212121 1221212()()()0(1)8,27,nnnnnnnnnninaaanaaana aaaaaaaabbbaba ba baaabinbbb算術(shù)幾何平均不等式：對于 個正整 ， ， ， ，有，當且僅當時等號成立柯西不等式：，當且僅當或時，等號成立22222212122221122121212212312111 1221 12212910.nnnnnnnnnnnnnnnnxxxyyyxyxyxyaaabbbccccbbbbaba ba ba ca ca caba ba baaa 三角不等式：排序不等式：設(shè)， ， ， ， ，是 ， ， ， ， 的任意一個排列，則，當且僅當12nbbb或時，反序和等于順序和 2.12ABOBDCAEEFBAFAEDAFDABBE BDAE AC 如圖，是的直徑，弦、的延長線相交于點 ，垂直的延長線一、幾何性質(zhì)的判定與證于點求證：明例1； .901.9.0ADABADBEFABEFAADDEAD AEFF 連結(jié)因為為圓的直徑，所以又，則 、 、 、所四點共以圓，解析： 221.BD BEBA BFBCABCAEFABACABBE BDAE ACBA BFAAFB AFAB BFAAE ACAEAFFAB由知，連結(jié)，顯然，所以，即，所以考查四點共圓以及相似三角形的有【點評】關(guān)知識 2330_.123 mm.2c7cABCDaOaABPPDOAPCPABOMNCADMNDBEMNEBEFADBE如圖，、是半徑為 的圓 的兩條弦，它們相交于的中點 ，則如二、幾何圖形中數(shù)量關(guān)系的分析與計圖所示，已知為半的直徑，直線切半圓于點 ，于點 ，于點，交半圓于點 ，例算則P_ODE半的半徑為；線段的長為 22.Rt303.232CP=2391.28PABOPABAOPOAPOAaAPaBPBP APCP DPaaPAPDaOC【因為點 是的中點，所以在解析中，所以又，連接】/1()5cm,25cm.9090903cm.MNCOCMNADMNBEMNAD OC BEOABOCABCDOCADBEOAFABOAFBAFEADEDEFADEFDEAFADEFRt ABFBFBE 因為切半圓于點 ，所以，又因為 為的中點，所以為梯形的中位線，所以半的半徑為連接因為為半徑的直徑，又因為，所以四邊形為矩形，所以，在中，4cm210cm.EFABOC，2222104 cm2 21c2 21cm.mAFADBEBF由勾股定理，得，所以【點評】勾股定理、垂徑分弦定理、相交弦定理及切割線定理是探尋與圓有關(guān)的線段的數(shù)量關(guān)系的重要依據(jù)，應(yīng)熟練掌握 2132_5_341 2 3_12_fxxxffxxxbb設(shè)函數(shù)，則；若，則 的取值范圍三、含絕對值不等式的解法與應(yīng)是若不等式的解集中的整數(shù)有且僅有 、，則 的取例3值范圍為用 22241236.(21)(2)21352044|3 -|43340147341,1582343571.xfxxxxxbbx bxbbbbb ，由已知得：解析 ,0,1,2121_(1)2_4_a babyababcabcbccaab則的最大值是設(shè) ， ， 為正實數(shù)，則的最四、經(jīng)典不等式小的綜應(yīng)值為用例合 22222222max221 121 1,( 21)( 21) (11 )2(1) 282 2.12 2210.11100.12yababcdacbdyababababcabcabcbccaayb 由柯西不等式知，當且僅當時，方法 ：不妨設(shè)，則，所以據(jù)排解析序不等式，.2()33.222+3+cbaacbabcabcabcabccbabacabcabcabcabccbaabcabcabcbccaababcbccaababcbcacabbccaab 有，由，得，即方法 ：因為 2111()1111()211119().223.232abcbccaabbccaabbccaabbccaabbccaababcabcbccaaabcbcabbca所以，當故的最且僅當時，等號成立小值是+abcbccaab將作順序和，再構(gòu)造兩個亂序和，且使得這兩個亂序和為常數(shù)，是利用排序不等式求最值的思維要點利用均值不等式求最小值，關(guān)鍵是將代數(shù)式變形為積為定值【點評】的形式1 3 521112sin.2 4 622121nnnnn設(shè) 為正整數(shù)，求證：備選題 1 3 5211.2 4 62211 ()111231 3 5211.2 4 621122nnnnnkkkk思路：左邊的不等式可用數(shù)學歸納法或放縮法證明，右邊的不等式可構(gòu)造函數(shù)，用綜合法證明先證證法 ： 數(shù)學歸納法當時，因為，所以不等式成立假設(shè)當時，不等式成立即【解析】221 3 521 21.2 4 62221212122222121 23122231483484231231kkkkkkkkkkkkkkkkkkknk 則，所以當時，不等式成立 222221 3 52111 2.2 4 62212 ()41421 21421214212121( =1,2, ).2211 3 5211352 4 62357211.2121nnnkkkkkkkkkkkknkknnnnn 綜合知，證法 ： 放縮法因為，則，所以，即所以 112sin.2121( )2sin( )12cos .2(0,)cos2cos1,420(0,)4(0)00sin .411110,2sin.21342121nnf xxxf xxxxxfxf xxf xfxxnnn 再證因為當時，即則有，所以函數(shù)在上是減函數(shù)于是當， 時，即原不等又所以式得證【點評】證明不等式的方法有許多，但要根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特點進行選擇其中構(gòu)造放縮不等式、構(gòu)造函數(shù)等是一些常用技巧 1判定或證明幾何性質(zhì)一般用分析綜合法，先用分析法轉(zhuǎn)化所證結(jié)論，確定證明方向，再根據(jù)圖形特點用綜合法完成證明 2對幾何中的線段長，角的大小，面積等數(shù)量的計算，一般通過解三角形或利用方程思想求解其中相似三角形性質(zhì)，射影定理，角平分線定理，切割線定理，相交弦定理等是建立方程的主要理論依據(jù) 3處理平面與圓柱面或圓錐面的截線問題，要結(jié)合空間圖形和軸截面圖進行分析，以便找出相關(guān)參數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系 4平面幾何的基本元素是邊和角，基本圖形是三角形和圓解題中要根據(jù)圖形的特點，注意觀察、聯(lián)想、猜測、分析準確把握解題方向，確定解題目標，靈活運用三角形與圓中有關(guān)邊和角的定理和性質(zhì)解決幾何問題 5證明不等式的基本方法有比較法，分析法，綜合法，放縮法，反證法和數(shù)學歸納法等，應(yīng)用時要根據(jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)特點適當選取對同一個不等式可以用幾種方法證明，也可以結(jié)合幾種方法證明6用差比較法證明不等式時，作差后一般進行因式分解或配方，這樣有利于判斷符號有些不等式從正面考慮難以入手，或含有“至少”、“至多”、“惟一”等量詞，一般用反證法證明對與正整數(shù)有關(guān)的不等式，可以考慮用數(shù)學歸納法證明對含有和式或乘積式的不等式，可以考慮用放縮法證明若所證不等式與已知條件或某些不等式性質(zhì)有明確的內(nèi)在聯(lián)系，則可以用綜合法或分析法證明7求多元函數(shù)的最值，一般利用均值不等式，柯西不等式，排序不等式，絕對值不等式，三角不等式等經(jīng)典不等式求解，但要注意構(gòu)造不等式的應(yīng)用環(huán)境，如利用均值不等式求和的最小值時，積必須為定值，同時要指出等號成立的條件 8求含絕對值不等式的解集的常用方法是去掉絕對值符號，轉(zhuǎn)化為常規(guī)不等式求解，其中去絕對值符號有多種方法，如區(qū)間討論法，平方法，絕對值定義法等，解題時要適當選擇對某些絕對值不等式也可以用數(shù)軸分析法或函數(shù)圖象法求解