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高中數(shù)學二輪總復習 選考內(nèi)容第29講 幾何證明與不等式選講課件 理 新課標(湖南專用)

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高中數(shù)學二輪總復習 選考內(nèi)容第29講 幾何證明與不等式選講課件 理 新課標(湖南專用)

專題一 函數(shù)與導數(shù)選考內(nèi)容1幾何證明的主要知識點有:平行線等分線段定理,平行線分線段成比例定理,相似三角形的判定與性質(zhì),直角三角形的射影定理,圓周角定理,圓心角定理,圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理,圓的切線性質(zhì)與判定定理,弦切角定理,相交弦定理,切割線定理,切線長定理,平面與圓柱面的截線,平面與圓錐面的截線等 2判定兩個三角形相似有三個理論依據(jù),即兩角對應(yīng)相等;兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等;三邊對應(yīng)成比例相似三角形的基本性質(zhì)可概括為:對應(yīng)高的比、中線的比,角平分線的比,周長的比都等于相似比,面積的比等于相似比的平方3直角三角形的射影定理有兩種形式,即斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項;兩直角邊分別是它們在斜邊上射影與斜邊的比例中項4圓的平面幾何性質(zhì)主要體現(xiàn)在“三角四線”“三角”是指圓周角,圓心角和弦切角;“四線”是指切線,割線,切割線和相交弦其有關(guān)定理、推理和性質(zhì),都是圍繞這“三角四線”而展開的5用平面截圓柱面,所得截線可以是圓或橢圓;用平面截圓錐面,所得截線可以是圓、橢圓、雙曲線或拋物線6絕對值三角不等式:|a|-|b|ab|a|+|b|.12121212222222212121 1221212()()()0(1)8,27,nnnnnnnnnninaaanaaana aaaaaaaabbbaba ba baaabinbbb算術(shù)幾何平均不等式:對于 個正整 , , , ,有,當且僅當時等號成立柯西不等式:,當且僅當或時,等號成立22222212122221122121212212312111 1221 12212910.nnnnnnnnnnnnnnnnxxxyyyxyxyxyaaabbbccccbbbbaba ba ba ca ca caba ba baaa 三角不等式:排序不等式:設(shè), , , , ,是 , , , , 的任意一個排列,則,當且僅當12nbbb或時,反序和等于順序和 2.12ABOBDCAEEFBAFAEDAFDABBE BDAE AC 如圖,是的直徑,弦、的延長線相交于點 ,垂直的延長線一、幾何性質(zhì)的判定與證于點求證:明例1; .901.9.0ADABADBEFABEFAADDEAD AEFF 連結(jié)因為為圓的直徑,所以又,則 、 、 、所四點共以圓,解析: 221.BD BEBA BFBCABCAEFABACABBE BDAE ACBA BFAAFB AFAB BFAAE ACAEAFFAB由知,連結(jié),顯然,所以,即,所以考查四點共圓以及相似三角形的有【點評】關(guān)知識 2330_.123 mm.2c7cABCDaOaABPPDOAPCPABOMNCADMNDBEMNEBEFADBE如圖,、是半徑為 的圓 的兩條弦,它們相交于的中點 ,則如二、幾何圖形中數(shù)量關(guān)系的分析與計圖所示,已知為半的直徑,直線切半圓于點 ,于點 ,于點,交半圓于點 ,例算則P_ODE半的半徑為;線段的長為 22.Rt303.232CP=2391.28PABOPABAOPOAPOAaAPaBPBP APCP DPaaPAPDaOC【因為點 是的中點,所以在解析中,所以又,連接】/1()5cm,25cm.9090903cm.MNCOCMNADMNBEMNAD OC BEOABOCABCDOCADBEOAFABOAFBAFEADEDEFADEFDEAFADEFRt ABFBFBE 因為切半圓于點 ,所以,又因為 為的中點,所以為梯形的中位線,所以半的半徑為連接因為為半徑的直徑,又因為,所以四邊形為矩形,所以,在中,4cm210cm.EFABOC,2222104 cm2 21c2 21cm.mAFADBEBF由勾股定理,得,所以【點評】勾股定理、垂徑分弦定理、相交弦定理及切割線定理是探尋與圓有關(guān)的線段的數(shù)量關(guān)系的重要依據(jù),應(yīng)熟練掌握 2132_5_341 2 3_12_fxxxffxxxbb設(shè)函數(shù),則;若,則 的取值范圍三、含絕對值不等式的解法與應(yīng)是若不等式的解集中的整數(shù)有且僅有 、,則 的取例3值范圍為用 22241236.(21)(2)21352044|3 -|43340147341,1582343571.xfxxxxxbbx bxbbbbb ,由已知得:解析 ,0,1,2121_(1)2_4_a babyababcabcbccaab則的最大值是設(shè) , , 為正實數(shù),則的最四、經(jīng)典不等式小的綜應(yīng)值為用例合 22222222max221 121 1,( 21)( 21) (11 )2(1) 282 2.12 2210.11100.12yababcdacbdyababababcabcabcbccaayb 由柯西不等式知,當且僅當時,方法 :不妨設(shè),則,所以據(jù)排解析序不等式,.2()33.222+3+cbaacbabcabcabcabccbabacabcabcabcabccbaabcabcabcbccaababcbccaababcbcacabbccaab 有,由,得,即方法 :因為 2111()1111()211119().223.232abcbccaabbccaabbccaabbccaabbccaababcabcbccaaabcbcabbca所以,當故的最且僅當時,等號成立小值是+abcbccaab將作順序和,再構(gòu)造兩個亂序和,且使得這兩個亂序和為常數(shù),是利用排序不等式求最值的思維要點利用均值不等式求最小值,關(guān)鍵是將代數(shù)式變形為積為定值【點評】的形式1 3 521112sin.2 4 622121nnnnn設(shè) 為正整數(shù),求證:備選題 1 3 5211.2 4 62211 ()111231 3 5211.2 4 621122nnnnnkkkk思路:左邊的不等式可用數(shù)學歸納法或放縮法證明,右邊的不等式可構(gòu)造函數(shù),用綜合法證明先證證法 : 數(shù)學歸納法當時,因為,所以不等式成立假設(shè)當時,不等式成立即【解析】221 3 521 21.2 4 62221212122222121 23122231483484231231kkkkkkkkkkkkkkkkkkknk 則,所以當時,不等式成立 222221 3 52111 2.2 4 62212 ()41421 21421214212121( =1,2, ).2211 3 5211352 4 62357211.2121nnnkkkkkkkkkkkknkknnnnn 綜合知,證法 : 放縮法因為,則,所以,即所以 112sin.2121( )2sin( )12cos .2(0,)cos2cos1,420(0,)4(0)00sin .411110,2sin.21342121nnf xxxf xxxxxfxf xxf xfxxnnn 再證因為當時,即則有,所以函數(shù)在上是減函數(shù)于是當, 時,即原不等又所以式得證【點評】證明不等式的方法有許多,但要根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特點進行選擇其中構(gòu)造放縮不等式、構(gòu)造函數(shù)等是一些常用技巧 1判定或證明幾何性質(zhì)一般用分析綜合法,先用分析法轉(zhuǎn)化所證結(jié)論,確定證明方向,再根據(jù)圖形特點用綜合法完成證明 2對幾何中的線段長,角的大小,面積等數(shù)量的計算,一般通過解三角形或利用方程思想求解其中相似三角形性質(zhì),射影定理,角平分線定理,切割線定理,相交弦定理等是建立方程的主要理論依據(jù) 3處理平面與圓柱面或圓錐面的截線問題,要結(jié)合空間圖形和軸截面圖進行分析,以便找出相關(guān)參數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系 4平面幾何的基本元素是邊和角,基本圖形是三角形和圓解題中要根據(jù)圖形的特點,注意觀察、聯(lián)想、猜測、分析準確把握解題方向,確定解題目標,靈活運用三角形與圓中有關(guān)邊和角的定理和性質(zhì)解決幾何問題 5證明不等式的基本方法有比較法,分析法,綜合法,放縮法,反證法和數(shù)學歸納法等,應(yīng)用時要根據(jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)特點適當選取對同一個不等式可以用幾種方法證明,也可以結(jié)合幾種方法證明6用差比較法證明不等式時,作差后一般進行因式分解或配方,這樣有利于判斷符號有些不等式從正面考慮難以入手,或含有“至少”、“至多”、“惟一”等量詞,一般用反證法證明對與正整數(shù)有關(guān)的不等式,可以考慮用數(shù)學歸納法證明對含有和式或乘積式的不等式,可以考慮用放縮法證明若所證不等式與已知條件或某些不等式性質(zhì)有明確的內(nèi)在聯(lián)系,則可以用綜合法或分析法證明7求多元函數(shù)的最值,一般利用均值不等式,柯西不等式,排序不等式,絕對值不等式,三角不等式等經(jīng)典不等式求解,但要注意構(gòu)造不等式的應(yīng)用環(huán)境,如利用均值不等式求和的最小值時,積必須為定值,同時要指出等號成立的條件 8求含絕對值不等式的解集的常用方法是去掉絕對值符號,轉(zhuǎn)化為常規(guī)不等式求解,其中去絕對值符號有多種方法,如區(qū)間討論法,平方法,絕對值定義法等,解題時要適當選擇對某些絕對值不等式也可以用數(shù)軸分析法或函數(shù)圖象法求解

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