中考數(shù)學復習 第五章基本圖形 第24課 矩形、菱形與正方形課件

第24課矩形、菱形與正方形 基礎知識 自主學習1有一個角是 的平行四邊形是矩形矩形的四個角都是 ，對角線 矩形的判定方法： (1)有三個角是 的四邊形； (2)是平行四邊形且有一個角是 ； (3) 的平行四邊形； (4) 的四邊形要點梳理要點梳理直角直角直角直角相等且互相平分相等且互相平分直角直角直角直角對角線相等對角線相等對角線相等且互相平分對角線相等且互相平分2有一組 的平行四邊形叫做菱形菱形的四條邊都 ，對角線 ，且每一條對角線 菱形的判定方法： (1)四條邊都 ； (2)有一組 的平行四邊形； (3)對角線 的平行四邊形； (4)對角線 的四邊形鄰邊相等鄰邊相等相等相等互相垂直平分互相垂直平分平分一組對角平分一組對角相等相等鄰邊相等鄰邊相等互相垂直互相垂直互相垂直平分互相垂直平分3有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形正方形的四個角都是 ，四條邊都 ，兩條對角線 ，并且 每一條對角線 正方形的判定方法： (1)鄰邊相等的 ； (2)有一角是直角的 直角直角相等相等互相垂直平分互相垂直平分平分一組對角平分一組對角相等相等矩形矩形菱形菱形難點正本疑點清源 平行四邊形與矩形、菱形、正方形的聯(lián)系與區(qū)別 以平行四邊形為基礎，從邊、角、對角線等不同角度進行演變，我們可得出矩形、菱形、正方形這些特殊的平行四邊形，它們之間既有聯(lián)系又有區(qū)別 矩形判定方法的使用：在平行四邊形的基礎上，增加“一個角是直角”或“對角線相等”的條件可為矩形；若在四邊形的基礎上，則需有三個角是直角(第四個角必是直角)則可判定為矩形 菱形判定方法的使用：在平行四邊形的基礎上，增加“一組鄰邊相等”或“對角線互相垂直”的條件可為菱形；若在四邊形的基礎上，需有四邊相等則可判定為菱形 正方形的判定可簡記為：菱形矩形正方形，其證明思路有兩個：先證四邊形是菱形，再證明它有一個角是直角或?qū)蔷€相等(即矩形)；或先證四邊形是矩形，再證明它有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直(即菱形)基礎自測1(2011烏蘭察布)如圖，已知矩形ABCD ，一條直線將該矩形 ABCD 分割成兩個多邊形，若這兩個多邊形的內(nèi)角和分別為 M 和 N ，則 MN 不可能是() A360 B540 C720 D630 答案D 解析當直線將矩形分割成兩個三角形時，有MN180，MN360；當直線將矩形分割成一個三角形和一個四邊形時，不妨設M180，N360，則MN540；當直線將矩形分割成兩個四邊形，有MN360，則MN720.所以MN不可能是630.2(2011大理)用兩塊邊長為a的等邊三角形紙片拼成的四邊形是() A等腰梯形 B菱形 C矩形 D正方形 答案B 解析兩個等邊三角形可拼成菱形3(2011天津)如圖，將正方形紙片ABCD折疊，使邊AB、CB均落在對角線BD上，得折痕BE、BF，則EBF的大小為() A15 B30 C45 D60 答案C4(2011茂名)如圖，兩條筆直的公路l1、l2相交于點O，村莊C的村民在公路的旁邊建三個加工廠A、B、D，已知 ABBC CDDA5公里，村莊C到公路l1的距離為4公里，則村莊C到公路l2的距離是() A3公里 B4公里 C5公里 D6公里 答案B 解析連接AC，因為ABBCCDDA，所以四邊形ADCD是菱形，CA平分DAB，點C到l1的距離等于點C到l2的距離，故選B.答案答案A題型分類 深度剖析【例 1】如圖，四邊形ABCD是矩形，E是AB上一點，且DEAB，過C作CFDE，垂足為F. (1)猜想：AD與CF的大小關(guān)系； (2)請證明上面的結(jié)論題型一矩形題型一矩形解(1)ADCF. (2)在矩形ABCD中， ABCD，且ABCD ，A90， CDFAED. 又DEAB， DECD. CFDE， ADFC90， ADE FCD， ADCF.探究提高探究提高矩形四個角都是直角，抓住這一特征，證兩矩形四個角都是直角，抓住這一特征，證兩個直角三角形全等；矩形的對角線將其分成若干個特殊個直角三角形全等；矩形的對角線將其分成若干個特殊三角形三角形知能遷移1(2011濱州)如圖，ABC中，點O是AC邊上(端點除外)的一個動點，過點O作直線MNBC.設MN交BCA的平分線于點E，交BCA的外角平分線于點F，連接AE、AF.那么當點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形？并證明你的結(jié)論解當點O運動到AC的中點(或OAOC)時，四邊形AECF是矩形 證明：CE平分BCA， 12. 又MNBC, 13， 32，EOCO. 同理，F(xiàn)OCO. EOFO. 又OAOC, 四邊形AECF是平行四邊形 12，45， 1524. 又1524180， 2490. AECF是矩形題型二菱形【例 2】如圖，四邊形ABCD是菱形，DEAB交BA的延長線于E，DFBC，交BC的延長線于F.請你猜想DE與DF的大小有什么關(guān)系？并證明你的猜想 解DEDF. 證明：連接BD， 在菱形ABCD中， BD平分ABC， DEAB，DFBC， DEDF.探究提高此題可以證明ADE CDF，得DEDF；或者連接BD，由“角平分線上的點到角兩邊的距離相等”證明DEDF.知能遷移2(2011濟寧)如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于O，過點O作直線EFBD，分別交AD、BC于點E和點F，求證：四邊形BEDF是菱形解證明：四邊形ABCD是平行四邊形， ADBC，OBOD， EDOFBO, OEDOFB， OED OFB， DEBF. 又EDBF， 四邊形BEDF是平行四邊形 EFBD， 平行四邊形BEDF是菱形題型三正方形【例 3】(2010青海)如圖，正方形ABCD的對角線AC和BD相交于點O，O又是正方形A1B1C1O的一個頂點，OA1交AB于點E，OC1交BC于點F. (1)求證：AOE BOF； (2)如果兩個正方形的邊長都為a，那么正方形A1B1C1O繞 O點轉(zhuǎn)動，兩個正方形重疊部分的面積等于多少？為 什么？解題示范規(guī)范步驟，該得的分，一分不丟！探究提高正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形及菱形的一切性質(zhì)，它們之間既有聯(lián)系又有區(qū)別，其各自的性質(zhì)和判定是中考的熱點知能遷移3(2011舟山)以四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA為斜邊分別向外側(cè)作等腰直角三角形，直角頂點分別為E、F、G、H，順次連結(jié)這四個點，得四邊形EFGH. (1)如圖1，當四邊形ABCD為正方形時，我們發(fā)現(xiàn)四邊形EFGH是正方形；如圖2，當四邊形ABCD為矩形時，請判斷：四邊形EFGH的形狀(不要求證明)； (2)如圖3，當四邊形ABCD為一般平行四邊形時，設ADC(090). 試用含的代數(shù)式表示HAE； 求證：HEHG； 四邊形EFGH是什么四邊形？并說明理由. 解(1)四邊形EFGH是正方形 (2)HAE90. 證明：在 ABCD中，ABCD， BAD180ADC180. HAD和EAB都是等腰直角三角形， HADEAB45， HAE360HADEABBAD 3604545(180)90.四邊形EFGH是正方形理由如下： 由同理可得：GHGF，F(xiàn)GFE. HEHG(已證)， GHGFEHFE，四邊形EFGH是菱形 HAE HDG(已證)， DHGAHE. 又AHDAHGDHG90， EHGAHGAHE90， 菱形EFGH是正方形題型四特殊平行四邊形綜合題探究提高在判定矩形、菱形或正方形時，要弄清是在“四邊形”，還是在“平行四邊形”的基礎上來求證的，要熟悉各判定定理之間的聯(lián)系與區(qū)別，解答此類問題要認真審題，通過對已知條件的分析、綜合，確定一種解決問題的方法，這里方程的思想很重要知能遷移4(2011宿遷)如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，P為AB的中點，Q為邊CD上一動點，設DQt(0t2)，線段PQ的垂直平分線分別交邊AD、BC于點M、N，過Q作QEAB于點E，過M作MFBC于點F. (1)當t1時，求證：PEQ NFM； (2)順次連接P、M、Q、N，設四邊形PMQN的面積為S， 求出S與自變量t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最小值解(1)證明：四邊形ABCD是正方形， ABD90， ADAB. QEAB，MFBC， AEQMFB90. 四邊形ABFM、AEQD都是矩形 MFAB，QEAD，MFQE. 又PQMN， EQPFMN. 又QEPMFN90， PEQ NFM.易錯警示試題在ABC的兩邊AB、AC上向形外作正方形ABEF、ACGH， 過點A作BC的垂線分別交BC于點D，交FH于M，求證：FMMH.學生答案展示 如圖，四邊形ABEF與四邊形ACGH都是正方形， AFAB，AHAC. 又FAHBAC， AFH ABC.52. 3190，3290， 12，15. 14，45. AMFM.同理，AMAH， 故FMMH.15不認真畫圖導致錯誤剖析上述解法錯在將BAC畫成了直角(題中沒有這個條件！)從而導致FAH、BAC和1、4分別成為對頂角，不認真畫圖，匆匆忙忙進行推理，就很容易犯錯誤正解分別過F、H畫FKMD，HLMD，垂足為K、L. 四邊形ACGH是正方形， ACAH，CAH90，1290. ADBC，2390，13. 又HLAADC90， AHL CAD.HLAD. 同理：AFK BAD. FKAD.FKHL. 又FMKHML， FKMHLM90， FMK HML. FMMH.批閱筆記證明一個幾何命題時，一般要先根據(jù)題意畫出圖形，但畫圖時應嚴格根據(jù)題設條件，不能將一般的圖形畫成一個特殊圖形，否則在證明時就容易受所畫圖形干擾而導致錯誤. 思想方法 感悟提高方法與技巧 1. 平行四邊形是中心對稱圖形，這是它的本質(zhì)特征矩形、菱形、正方形作為特殊的平行四邊形，不僅具有平行四邊形的特征，而且它們都是軸對稱圖形，分別具有一些獨特的性質(zhì) 2. 利用一般與特殊的關(guān)系，明確各四邊形的從屬關(guān)系，系統(tǒng)掌握特殊平行四邊形的性質(zhì)定理和判定定理失誤與防范 1在判定矩形、菱形或正方形時，要明確是在“四邊形”還是在“平行四邊形”的基礎之上來求證的要熟悉各判定定理的聯(lián)系和區(qū)別，解決此類問題時要認真審題，通過對已知條件的分析、綜合，最后確定用哪一種判定方法是解決這類問題的關(guān)鍵 2直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，常將它與直角三角形的其他性質(zhì)聯(lián)合運用，解決直角三角形中的計算或論證問題完成考點跟蹤訓練24