2018屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)： 第7章 第7節(jié) 課時分層訓(xùn)練44

課時分層訓(xùn)練(四十四)立體幾何中的向量方法A組基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)(建議用時：30分鐘)一、選擇題1已知平面內(nèi)有一點(diǎn)M(1，1,2)，平面的一個法向量為n(6，3,6)，則下列點(diǎn)P中，在平面內(nèi)的是()AP(2,3,3)B.P(2,0,1)CP(4,4,0) D.P(3，3,4)A逐一驗(yàn)證法，對于選項(xiàng)A，(1,4,1)，·n61260，n，點(diǎn)P在平面內(nèi)，同理可驗(yàn)證其他三個點(diǎn)不在平面內(nèi)2(2017·西安調(diào)研)如圖7­7­11，在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱ABC­A1B1C1，CACC12CB，則直線BC1與直線AB1夾角的余弦值為()圖7­7­11A. B.C. D.A不妨設(shè)CB1，則B(0,0,1)，A(2,0,0)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1)，(0,2，1)，(2,2,1)cos，.3正方體ABCD­A1B1C1D1的棱長為a，點(diǎn)M在AC1上且，N為B1B的中點(diǎn)，則|為() 【導(dǎo)學(xué)號：01772276】A.a B.aC.a D.aA以D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D­xyz，則A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N.設(shè)M(x，y，z)，點(diǎn)M在AC1上且，(xa，y，z)(x，ay，az)，xa，y，z.得M，|.4已知正三棱柱ABC­A1B1C1的側(cè)棱長與底面邊長相等，則AB1與側(cè)面ACC1A1所成角的正弦值等于() 【導(dǎo)學(xué)號：01772277】A. B.C. D.A如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正三棱柱的棱長為2，O(0,0,0)，B(，0,0)，A(0，1,0)，B1(，0,2)，則(，1,2)，則(，0,0)為側(cè)面ACC1A1的法向量即sin .故選A.5在正方體ABCD­A1B1C1D1中，點(diǎn)E為BB1的中點(diǎn)，則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為()A. B.C. D.B以A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)­xyz，設(shè)棱長為1，則A1(0,0,1)，E，D(0,1,0)，(0,1，1)，.設(shè)平面A1ED的一個法向量為n1(1，y，z)，有即解得n1(1,2,2)平面ABCD的一個法向量為n2(0,0,1)cosn1，n2，即所成的銳二面角的余弦值為.二、填空題6已知點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在的平面外一點(diǎn)，如果(2，1，4)，(4,2,0)，(1,2，1)對于結(jié)論：APAB；APAD；是平面ABCD的法向量；.其中正確的序號是_·0，·0，ABAP，ADAP，則正確又與不平行是平面ABCD的法向量，則正確由于(2,3,4)，(1,2，1)，與不平行，故錯誤7(2017·鄭州模擬)在長方體ABCD­A1B1C1D1中，AB2，BCAA11，則D1C1與平面A1BC1所成角的正弦值為_. 【導(dǎo)學(xué)號：01772278】以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)n(x，y，z)為平面A1BC1的法向量，則n·0，n·0，即令z2，則y1，x2，于是n(2,1,2)，(0,2,0)設(shè)所求線面角為，則sin |cosn，|.8在一直角坐標(biāo)系中，已知A(1,6)，B(3，8)，現(xiàn)沿x軸將坐標(biāo)平面折成60°的二面角，則折疊后A，B兩點(diǎn)間的距離為_2如圖為折疊后的圖形，其中作ACCD，BDCD，則AC6，BD8，CD4，兩異面直線AC，BD所成的角為60°.故由，得|2|268，|2.三、解答題9(2017·南昌模擬)如圖7­7­12，四棱錐S­ABCD中，SD底面ABCD，ABDC，ADDC，ABAD1，DCSD2，E為棱SB上的一點(diǎn)，且SE2EB.圖7­7­12(1)證明：DE平面SBC；(2)求二面角A­DE­C的大小解由題意，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，DS所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，則A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,2,0)，S(0,0,2)，(1,1,0)，(0,0,2).2分(1)證明：SE2EB，(1,1,0)(0,0,2).又(1,1,0)，(1，1,2)，·0，·0，4分，.又BCBSB，DE平面SBC.5分(2)由(1)知，DE平面SBC，EC平面SBC，DEEC.7分取DE的中點(diǎn)F，則F，故·0，由此得FADE.10分向量與的夾角等于二面角A­DE­C的平面角，又cos，二面角A­DE­C的大小為120°.12分10在四棱錐P­ABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD為正方形，PDDC，E，F(xiàn)分別是AB，PB的中點(diǎn)(1)求證：EFCD；(2)在平面PAD內(nèi)是否存在一點(diǎn)G，使GF平面PCB.若存在，求出點(diǎn)G坐標(biāo)；若不存在，請說明理由解(1)證明：如圖，以DA，DC，DP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)ADa，則D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，E，P(0,0，a)，F(xiàn)，則，(0，a,0).3分·0，從而得EFCD.5分(2)假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)G，設(shè)G(x,0，z)，則.若使GF平面PCB，則FGCB，F(xiàn)GCP.··(a,0,0)a0，得x.8分由··(0，a，a)a0，得z0.G點(diǎn)坐標(biāo)為，即存在滿足條件的點(diǎn)G，且點(diǎn)G為AD的中點(diǎn).12分B組能力提升(建議用時：15分鐘)1(2017·河南百校聯(lián)盟聯(lián)考)已知斜四棱柱ABCD­A1B1C1D1的各棱長均為2，A1AD60°，BAD90°，平面A1ADD1平面ABCD，則直線BD1與平面ABCD所成的角的正切值為()A. B.C. D.C取AD中點(diǎn)O，連接OA1，易證A1O平面ABCD.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，得B(2，1,0)，D1(0,2，)，(2,3，)，平面ABCD的一個法向量為n(0,0,1)，設(shè)BD1與平面ABCD所成的角為，sin ，tan .2(2017·衡水中學(xué)質(zhì)檢)如圖7­7­13所示，在正方體ABCD­A1B1C1D1中，棱長為a，M，N分別為A1B和AC上的點(diǎn)，A1MAN，則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是_圖7­7­13MN平面BB1C1C以C1為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的坐標(biāo)系A(chǔ)1MAN，則M，N，.又C1(0,0,0)，D1(0，a,0)，(0，a,0)，·0，.又是平面BB1C1C的法向量，且MN平面BB1C1C，MN平面BB1C1C.3(2016·天津高考)如圖7­7­14，正方形ABCD的中心為O，四邊形OBEF為矩形，平面OBEF平面ABCD，點(diǎn)G為AB的中點(diǎn)，ABBE2.(1)求證：EG平面ADF；(2)求二面角O­EF­C的正弦值；(3)設(shè)H為線段AF上的點(diǎn)，且AHHF，求直線BH和平面CEF所成角的正弦值圖7­7­14解依題意，OF平面ABCD，如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以，的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，依題意可得O(0,0,0)，A(1,1,0)，B(1，1,0)，C(1，1,0)，D(1,1,0)，E(1，1,2)，F(xiàn)(0,0,2)，G(1,0,0).2分(1)證明：依題意，(2,0,0)，(1，1,2)設(shè)n1(x1，y1，z1)為平面ADF的法向量，則即4分不妨取z11，可得n1(0,2,1)又(0,1，2)，可得·n10.又因?yàn)橹本€EG平面ADF，所以EG平面ADF.5分(2)易證(1,1,0)為平面OEF的一個法向量，依題意，(1,1,0)，(1,1,2).7分設(shè)n2(x2，y2，z2)為平面CEF的法向量，則即不妨取x21，可得n2(1，1,1).9分因此有cos，n2，于是sin，n2.所以，二面角O­EF­C的正弦值為.(3)由AHHF，得AHAF.因?yàn)?1，1,2)，所以，進(jìn)而有H，從而.因此cos，n2.所以，直線BH和平面CEF所成角的正弦值為.12分