數(shù)學(xué)分析十講習(xí)題冊(cè)、課后習(xí)題答案.doc

習(xí) 題 1-11計(jì)算下列極限（1）, 解：原式=（2）；解：原式（3） 解：原式 （4），解：原式（5） 解：原式=（6） ，為正整數(shù)；解：原式2設(shè)在處二階可導(dǎo)，計(jì)算.解：原式 3設(shè)，存在，計(jì)算.解：習(xí) 題 1-2 1.求下列極限 （1）; 解：原式 ，其中在與之間（2）;解：原式=，其中在與之間（3） 解：原式 ，其中在與之間（4） 解：原式，其中其中在與之間2設(shè)在處可導(dǎo)，計(jì)算.解：原式 習(xí) 題 1-31求下列極限（1）, 解：原式（2）;解：（3）; 解：原式（4）;解：原式2. 求下列極限（1）; 解：原式（2）;解：原式習(xí) 題 1-41求下列極限（1）； 解：原式 （2）求； 解：原式（3）； 解：原式（4）； 解：原式此題已換3設(shè)在處可導(dǎo)，.若在時(shí)是比高階的無(wú)窮小，試確定的值.解：因?yàn)?，所以從而 解得：3設(shè)在處二階可導(dǎo)，用泰勒公式求解：原式4. 設(shè)在處可導(dǎo)，且求和.解 因?yàn)?所以 ,即所以 習(xí) 題 1-5 1. 計(jì)算下列極限(1) ; ; 解：原式(2)解：原式2 設(shè)，求 (1) ；解：原式(2) ，解：由于，所以3設(shè)，求和.解：因?yàn)?，所以且從而有stolz定理，且所以，4設(shè)，其中，并且，證明：.證明：因，所以，所以，用數(shù)學(xué)歸納法易證，。又，從而單調(diào)遞減，由單調(diào)有界原理，存在，記在兩邊令，可得所以習(xí) 題 1-61. 設(shè)在內(nèi)可導(dǎo)，且 存在. 證明:證明：2. 設(shè)在上可微， 和存在.證明:.證明：記（有限），（有限），則 從而 所以3. 設(shè)在上可導(dǎo)，對(duì)任意的,，證明:.證明：因?yàn)椋?，由廣義羅必達(dá)法則得4設(shè)在上存在有界的導(dǎo)函數(shù)，證明:.證明：，有界，所以習(xí) 題 2-1（此題已換） 1. 若自然數(shù)不是完全平方數(shù)，證明是無(wú)理數(shù). 1.證明是無(wú)理數(shù)證明：反證法. 假若且互質(zhì)，于是由可知,是的因子，從而得即,這與假設(shè)矛盾2. 求下列數(shù)集的上、下確界.（1） 解：（2）解：（3） 解：（4）.解：3設(shè)，驗(yàn)證.證明：由得是的一個(gè)下界.另一方面，設(shè)也是的下界，由有理數(shù)集在實(shí)數(shù)系中的稠密性，在區(qū)間中必有有理數(shù)，則且不是的下界.按下確界定義， .4用定義證明上（下）確界的唯一性.證明：設(shè)為數(shù)集的上確界，即.按定義，有.若也是的上確界且.不妨設(shè)，則對(duì)有即 矛盾.下確界的唯一性類(lèi)似可證習(xí) 題 2-21用區(qū)間套定理證明：有下界的數(shù)集必有下確界.證明：設(shè)是的一個(gè)下界，不是的下界，則. 令，若是的下界，則??；若不是的下界，則取. 令，若是的下界，則??；若不是的下界，則取；， 按此方式繼續(xù)作下去，得一區(qū)間套，且滿足：是的下界，不是的下界. 由區(qū)間套定理 ，且. 下證： 都有，而，即是的下界.由于，從而當(dāng)充分大以后，有.而不是的下界不是的下界，即是最大下界2. 設(shè)在上無(wú)界.證明：存在,使得在的任意鄰域內(nèi)無(wú)界.證明：由條件知，在上或上無(wú)界，記使在其上無(wú)界的區(qū)間為；再二等分，記使在其上無(wú)界的區(qū)間為，繼續(xù)作下去，得一區(qū)間套，滿足在上無(wú)界.根據(jù)區(qū)間套定理，且.因?yàn)閷?duì)任意的，存在，當(dāng)時(shí)，有，從而可知在上無(wú)界3.設(shè),在上滿足,若在上連續(xù), 在上單調(diào)遞增.證明：存在,使.證明：記且二等分.若，則記若則記.類(lèi)似地,對(duì)已取得的二等分,若，則記；若，則記按此方式繼續(xù)下去，得一區(qū)間套，其中根據(jù)區(qū)間套定理可知，且有 .因?yàn)樵谏线B續(xù)，所以 注意到 可得 ，再由 可知 ， .習(xí) 題 2-31. 證明下列數(shù)列發(fā)散.(1), 證 因?yàn)椋?所以發(fā)散. (2), 證明：因?yàn)?所以發(fā)散.2證明:單調(diào)數(shù)列收斂的充要條件是其存在一個(gè)收斂子列.證明：由收斂數(shù)列與子列的關(guān)系，結(jié)論顯然 不妨假設(shè)數(shù)列單調(diào)遞增，且存在收斂子列，由極限定義對(duì)任意給定的，總存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，從而有；由于，對(duì)任意，存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，取，則任意時(shí)，所以，即3. 設(shè)極限存在,證明：.證明：記由海茵定理，取，得取，得取，得，解得（此題取消）4. 數(shù)列收斂于的充要條件是：其偶數(shù)項(xiàng)子列和奇數(shù)項(xiàng)子列皆收斂于（此題改為4）5. 已知有界數(shù)列發(fā)散，證明:存在兩個(gè)子列和收斂于不同的極限.證明：因?yàn)橛薪?，由致密性定理，必有收斂的子列，設(shè). 又因?yàn)椴皇諗?，所以存在，在以外，有的無(wú)窮多項(xiàng)，記這無(wú)窮多項(xiàng)所成的子列為，顯然有界.由致密性定理，必有收斂子列，設(shè) ，顯然 .習(xí) 題 2-51. 用柯西收斂準(zhǔn)則判定下列數(shù)列的收斂性(1) 解：所以，對(duì)，即為柯西列 (2) .解：所以，對(duì)，即為柯西列2. 滿足下列條件的數(shù)列是不是柯西列?(1) 對(duì)任意自然數(shù),都有解：不是柯西列，如，對(duì)任意的自然數(shù)，但數(shù)列不收斂。 (2), 解：所以，對(duì)，即為柯西列 (3).證明：記，則單調(diào)遞增有上界，從而必有極限，記對(duì)從而 故 是柯西列習(xí) 題 3-11.設(shè)定義在上的函數(shù)在內(nèi)連續(xù),且和存在(有限). 問(wèn)在上是否有界? 是否能取得最值?解：在閉區(qū)間上構(gòu)造輔助函數(shù) 則在上連續(xù)，從而在上有界. 由于，故在上也有界，即存在，使得 . 令 ，則有 .條件同上，但在上卻不一定能取得極值. 例如：2.設(shè)在內(nèi)連續(xù),且.證明在內(nèi)可取得最小值.證明：因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，有因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，有從而當(dāng)時(shí)，有又在連續(xù)，從而一定可以取到最小值，即，使當(dāng)時(shí)，且；故時(shí)，有所以在處取到最小值習(xí) 題 3-2（此題已換）1. 設(shè),. 證明:方程在和內(nèi)恰好各有一個(gè)實(shí)根.1. 證明開(kāi)普勒(Kepler)方程有唯一實(shí)根證明：令，則在連續(xù)且，由零點(diǎn)原理，使，即方程至少有一實(shí)根又，所以在單調(diào)遞增，所以方程有唯一實(shí)根（此題已換）2. 設(shè)函數(shù)在（）內(nèi)連續(xù)且有極值點(diǎn). 證明: 存在使得 2.設(shè)，討論方程實(shí)根的個(gè)數(shù)解：step1.令，則，由零點(diǎn)原理，在至少有一實(shí)根，又，所以在單調(diào)遞增，從而方程在內(nèi)有且僅有一實(shí)根。step2.令，則，且，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)在點(diǎn)取得極小值。所以，當(dāng)時(shí)，方程在無(wú)解；當(dāng)時(shí)，在有一解；當(dāng)時(shí)，在有兩解綜上：當(dāng)時(shí)，方程有一解；當(dāng)時(shí)，有兩解；當(dāng)時(shí)，有三解3.設(shè)在上連續(xù), ,.證明存在使.證法1 因?yàn)樵谏线B續(xù)，所以存在最大值和最小值，且使，從而有.由介值定理知，使. 證法2 因?yàn)橛薪纾源嬖谑諗孔恿?而在上連續(xù)，故有習(xí) 題10-21. 設(shè)在上連續(xù)， 為自然數(shù). 證明：（1）若，則存在使得證明：令，則，且，從而若，使，取即可否則，使，由零點(diǎn)原理，或，使綜上，使，即（2）若則存在使得解：取，方法同上2.設(shè)在上連續(xù)，且 證明：存在使證：由已知經(jīng)計(jì)算得1）若或，由積分中值定理，使，從而2）否則，a）若，同1），由積分中值定理，使b）與異號(hào)，由中值定理，使，且所以，有零點(diǎn)原理，使3. 設(shè),求證(1) 對(duì)任意自然數(shù), 方程在內(nèi)有唯一實(shí)根;證明：時(shí)，在上有唯一實(shí)根時(shí)，有，且，由零點(diǎn)存在原理，使，即在上有一實(shí)根又，故嚴(yán)格單調(diào)遞減，所以方程在內(nèi)有唯一實(shí)根(2) 設(shè)是的根,則.證：對(duì)，從而，有因?yàn)閲?yán)格單調(diào)遞減，故，即嚴(yán)格單調(diào)遞增。又有界，所以收斂。設(shè)，由于，所以，在，令，有，所以，即4. 設(shè)在上連續(xù)，不恒為常數(shù),且.證明存在，使 證：令，因?yàn)樵谏线B續(xù)，不恒為常數(shù),且，所以，使，于是，由零點(diǎn)原理：證明存在，使，即習(xí) 題4-1 1證明函數(shù)沒(méi)有原函數(shù). 證：設(shè)存在原函數(shù)，即，則且，由于，由達(dá)布定理，使，矛盾，所以無(wú)原函數(shù)2設(shè)在上可導(dǎo)， 證明： （1）若 則存在使證明：若，則取或均可；否則，又達(dá)布定理，存在介于與之間，使綜上存在使（2）若 則存在使證明：若，則取或均可；否則，由達(dá)布定理，存在介于與之間，使；綜上存在使習(xí) 題4-21求下列函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，并討論導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)性.（1）； 解：，則在連續(xù)，且時(shí)，從而時(shí)，從而 所以從而在連續(xù)。所以在連續(xù)（2）； 解：顯然在連續(xù)，且時(shí)，從而；時(shí)，從而 所以從而在連續(xù)。所以在連續(xù)2. 設(shè). 當(dāng)分別滿足什么條件時(shí)，（1）在處連續(xù)；解：，即，所以（2） 在處可導(dǎo)；解：存在，即存在，所以（3）在處連續(xù)？ 解：，由，即，所以3分別用兩種方法證明符號(hào)函數(shù)不存在原函數(shù).證明：法一設(shè)存在原函數(shù)，即，則且，由于，由達(dá)布定理，使，矛盾，所以無(wú)原函數(shù)法二由單側(cè)導(dǎo)數(shù)極限定理，導(dǎo)函數(shù)不存在第一類(lèi)間斷點(diǎn)，而有第一類(lèi)間斷點(diǎn)，從而無(wú)原函數(shù)習(xí) 題5-1 .1. 設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo). （1）若，.證明存在使；證明：令，則，且，由廣義洛爾定理，使，即，所以 (2) 若，證明存在使得； 證明：令，則，且，由廣義洛爾定理，使，即，所以習(xí) 題5-21 設(shè)在上可導(dǎo)，且，其中為常數(shù).證明：存在，使.證明：由積分中值定理，使令，則，且，由洛爾定理，使，即，從而2 設(shè)在上可導(dǎo)，且證明：存在，使 證明：由積分中值定理，使令，則，且，由洛爾定理，使，即，從而3 設(shè)在上可導(dǎo)，且.證明：存在使 證明：由積分中值定理，使令，則，且，由洛爾定理，使，即，從而習(xí) 題6-11.若在區(qū)間上是凸函數(shù)，證明對(duì)任意四點(diǎn)，有. 其逆是否成立？證明：因?yàn)樵趨^(qū)間上是凸函數(shù)，由三弦不等式，且，所以成立。其逆成立2. 設(shè)均為區(qū)間上的凸函數(shù)，證明：也是上凸函數(shù).證明：設(shè)，則對(duì)，有，且，從而，由凸函數(shù)的定義，也是上凸函數(shù)習(xí) 題6-21. 驗(yàn)證下列函數(shù)是（嚴(yán)格）凸函數(shù).（1） 解：，（），所以是上的嚴(yán)格凸函數(shù)（2）解：，（），所以是上的嚴(yán)格凹函數(shù)習(xí) 題6-31證明不等式（1） 證：設(shè)，則（），所以是上的嚴(yán)格凸函數(shù)；從而，有，即（2） 證：設(shè)，則（），所以是上的嚴(yán)格凸函數(shù)；從而，有，可得，即，又因?yàn)?，所?習(xí) 題 9-11. 求下列函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域(1) ； 解：，從而當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)時(shí)，發(fā)散；當(dāng)時(shí)，發(fā)散，所以，級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?(2) .解：，所以當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；所以原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)榱?xí) 題 9-21. 證明函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂.證明：，從而所以對(duì)任意的，由，得對(duì)，取，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的成立，因此，在上一致收斂到2. 設(shè)在區(qū)間上一致收斂于,且對(duì)任意有.試問(wèn)是否存在,使當(dāng)時(shí),對(duì)任意有?解：答案不正確；例 在內(nèi)一致收斂到，且，有；但，和，使習(xí) 題 9-31. 利用定理9.3.1證明下列函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)不一致收斂.(1) , 證：，級(jí)數(shù)的部分和，從而，在不連續(xù)，故級(jí)數(shù)不一致收斂。(2) ,.證：，級(jí)數(shù)的部分和，從而，在不連續(xù)，故級(jí)數(shù)不一致收斂。2. 設(shè)試問(wèn)在上是否一致收斂?是否有解：對(duì)，但對(duì)，都，使，所以在上不一致收斂另外，所以3. 設(shè)試問(wèn)在上是否一致收斂?是否有? 其中解：對(duì)，有，從而但對(duì)，都，使所以在上不一致收斂又，所以4. 求的收斂域，并討論和函數(shù)的連續(xù)性.解：設(shè)，則，有根值判別法，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；所以級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?。?duì)，總，使，從而在上連續(xù)，且在一致收斂，從而在上連續(xù)，故在上連續(xù)，由得在上連續(xù)習(xí) 題 9-41. 討論下列函數(shù)序列在指定區(qū)間上的一致收斂性.（1） ， ；解：對(duì)，又在處取得最大值，從而對(duì)，取，則對(duì)，有，所以在一致收斂（2）； （i）， 解：對(duì)，對(duì)，取，則對(duì)，有，所以在一致收斂（ii）；解：對(duì)，對(duì)，使，所以在不一致收斂2. 討論下列函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性.（1） ，； 解：對(duì)任意的，而收斂，由M判別法，原級(jí)數(shù)一致收斂。（2） ，. 解：對(duì)任意的，而收斂，由M判別法，原級(jí)數(shù)一致收斂。3. 設(shè)，. 證明函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂，并討論其和函數(shù)在上的連續(xù)性、可積性與可微性. 解：由對(duì)任意的成立，從而而收斂，由M判別法知在上一致收斂（1），在上一致收斂，所以和函數(shù)在連續(xù)（定理1）（2），在上一致收斂，所以和函數(shù)在可積（定理2）（3）由，收斂，由M判別法知在上一致收斂，從而和函數(shù)在可微。（定理3）習(xí) 題10-11一塊金屬板平底鍋在平面上占據(jù)的區(qū)域是, 已知板上點(diǎn)處的溫度為.鍋底上點(diǎn)處的螞蟻為了逃向溫度更低的地方, 它的逃逸方向?yàn)? D ).； ； ； .解：，而梯度方向是溫度降低最快的方向2一個(gè)高為的柱體儲(chǔ)油罐，底面是長(zhǎng)軸為，短軸為的橢圓，現(xiàn)將儲(chǔ)油罐平放，當(dāng)油罐中油面高度為時(shí)，計(jì)算油的質(zhì)量。（長(zhǎng)度單位為m，質(zhì)量為kg，油的密度為常數(shù)）.解：儲(chǔ)油罐平放一般指長(zhǎng)軸平行與地面，當(dāng)油罐中油面高度為時(shí)，垂直地面的截面面積為（平方米）所以4 在一個(gè)形狀為旋轉(zhuǎn)拋物面的容器內(nèi)，已經(jīng)盛有的水，現(xiàn)又倒入的水，問(wèn)水面比原來(lái)升高多少.解：旋轉(zhuǎn)拋物面容器的體積是深度的函數(shù)，從而，所以題中水面升高的高度為習(xí) 題10-31. 設(shè)，證明：（1）當(dāng)時(shí)，；證明：取，則，所以為上的嚴(yán)格凸函數(shù)，從而對(duì)，由定理6.2.3，恒有，即所以（2）當(dāng)或時(shí)， 證明：取，則，所以為上的嚴(yán)格凸函數(shù)，從而對(duì)，由定理6.2.3，恒有，即2. 設(shè) 證明: 證明：令，利用單調(diào)性可證（略）