線性代數(shù)模擬題.doc

線性代數(shù)模擬題A一單選題. 1.下列（ A ）是4級偶排列（A） 4321； (B) 4123； (C) 1324； (D) 23412. 如果，那么（ B ）（A） 8； (B) ； (C) 24； (D) 3. 設(shè)與均為矩陣，滿足，則必有（ C ）（A）或； （B）；（C）或； （D）4. 設(shè)為階方陣，而是的伴隨矩陣，又為常數(shù)，且，則必有等于（ B ）（A）； （B）； （C）； （D）5.向量組線性相關(guān)的充要條件是（ C ）（A）中有一零向量(B) 中任意兩個向量的分量成比例(C) 中有一個向量是其余向量的線性組合(D) 中任意一個向量都是其余向量的線性組合6. 已知是非齊次方程組的兩個不同解，是的基礎(chǔ)解系，為任意常數(shù)，則的通解為（ B ）(A) ; (B) (C) ; (D) 7. 2是A的特征值，則（A2/3）1的一個特征值是（ B ）(a)4/3 (b)3/4 (c)1/2 (d)1/48. 若四階矩陣A與B相似，矩陣A的特征值為1/2,1/3,1/4,1/5，則行列式|B-1-I|=( B )(a)0 (b)24 (c)60 (d)1209. 若是（ A ），則必有（A）對角矩陣； (B) 三角矩陣； (C) 可逆矩陣； (D) 正交矩陣10. 若為可逆矩陣，下列（ A ）恒正確 （A）； (B) ； (C) ； (D) 二計算題或證明題1. 設(shè)矩陣 (1)當(dāng)k為何值時，存在可逆矩陣P，使得P1AP為對角矩陣？(2)求出P及相應(yīng)的對角矩陣。參考答案：2. 設(shè)n階可逆矩陣A的一個特征值為，A*是A的伴隨矩陣，設(shè)|A|=d，證明：d/是A*的一個特征值。參考答案：3. 當(dāng)取何值時，下列線性方程組無解、有唯一解、有無窮多解？有解時，求其解 參考答案：. 當(dāng)時有唯一解： 當(dāng)時，有無窮多解： 當(dāng)時，無解。4. 求向量組的秩及一個極大無關(guān)組，并把其余向量用極大無關(guān)組線性表示參考答案：極大無關(guān)組為：，且，5. 若是對稱矩陣，是反對稱矩陣，試證：是對稱矩陣參考答案：線性代數(shù)模擬題B一單選題. 1. 若是五階行列式的一項，則、的值及該項符號為（ A ）（A），符號為負； (B) ，符號為正； (C) ，符號為負； (D) ，符號為正2. 下列行列式（ A ）的值必為零(A) 階行列式中，零元素個數(shù)多于個；(B) 階行列式中，零元素個數(shù)小于個；(C) 階行列式中，零元素個數(shù)多于個； (D) 階行列式中，零元素的個數(shù)小于個3. 設(shè)，均為階方陣，若，則必有（ D ）（A）； (B)； (C)； (D)4. 設(shè)與均為矩陣，則必有（ C ）（A）；（B）；（C）；（D）5. 如果向量可由向量組線性表出，則（ D ）(A) 存在一組不全為零的數(shù)，使等式成立(B) 存在一組全為零的數(shù)，使等式成立(C) 對的線性表示式不唯一(D) 向量組線性相關(guān)6. 齊次線性方程組有非零解的充要條件是（ C ）(A)系數(shù)矩陣的任意兩個列向量線性相關(guān)(B) 系數(shù)矩陣的任意兩個列向量線性無關(guān)(C )必有一列向量是其余向量的線性組合(D)任一列向量都是其余向量的線性組合7. 設(shè)n階矩陣A的一個特征值為，則(A1)2I必有特征值（ C ）(a)2+1 (b)2-1 (c)2 (d)-28. 已知與對角矩陣相似，則（ A ） (a) 0 ; (b) 1 ; (c) 1 ; (d) 29. 設(shè)，均為階方陣，下面（ D ）不是運算律（A） ； （B）；（C）； （D）10. 下列矩陣（ B ）不是初等矩陣(A)；（B）；（C）；（D）二計算題或證明題（1. 已知矩陣A，求A10。其中參考答案：2. 設(shè)A為可逆矩陣，是它的一個特征值，證明：0且-1是A-1的一個特征值。參考答案： 3. 當(dāng)取何值時，下列線性方程組無解、有唯一解、有無窮多解？有解時，求其解 參考答案： 當(dāng)時有唯一解： 當(dāng)時，有無窮多解： 當(dāng)時，無解。4. 求向量組的秩及一個極大無關(guān)組，并把其余向量用極大無關(guān)組線性表示參考答案： 極大無關(guān)組為：，且5. 若是對稱矩陣，是正交矩陣，證明是對稱矩陣參考答案： 線性代數(shù)模擬題C一單選題. 1. 設(shè)五階行列式，依下列次序?qū)M行變換后，其結(jié)果是（ C ）交換第一行與第五行，再轉(zhuǎn)置，用2乘所有的元素，再用-3乘以第二列加于第三列，最后用4除第二行各元素（A）； (B)； (C)； (D)2. 如果方程組有非零解，則（ D ） （A）或；（B）或；（C）或；（D）或3. 設(shè)，為同階矩陣，若，則下列各式中總是成立的有（ A ）（A） ； (B) ； (C) ； (D) 4. 設(shè)，為同階矩陣，且可逆，下式（ A ）必成立（A）若，則； (B) 若，則； (C) 若，則； (D) 若，則5. 若向量組的秩為，則（ D ）（A）必定r<s(B)向量組中任意小于個向量的部分組線性無關(guān)(C )向量組中任意個向量線性無關(guān)(D)向量組中任意個向量必定線性相關(guān)6. 設(shè)向量組線性無關(guān)，則下列向量組線性相關(guān)的是（ C ）(A) ; (B) ; (C) ; (D) .7. 設(shè)A、B為n階矩陣，且A與B相似，I為n階單位矩陣，則（ B ） (a)I-AI-B (b)A與B有相同的特征值和特征向量 (c)A與B都相似于一個對角矩陣 (d)kI-A與kI-B相似（k是常數(shù)）8. 當(dāng)（ C ）時，A為正交矩陣，其中 (a)a=1,b=2,c=3; (b) a=b=c=1; (c) a=1,b=0,c=-1; (d)a=b=1,c=0 .9. 已知向量組線性無關(guān)，則向量組（ C ）(A) 線性無關(guān);(B) 線性無關(guān);(C) 線性無關(guān);(D) 線性無關(guān).10. 當(dāng)（ B ）時，有（A）；（B）；（C）；（D）二計算題或證明題1. 設(shè)AB,試證明(1)AmBm(m為正整數(shù))（2）如A可逆，則B也可逆，且A1B1參考答案： 2. 如n階矩陣A滿足A2=A，證明：A的特征值只能為0或-1。參考答案： 3. 當(dāng)、b取何值時，下列線性方程組無解、有唯一解、有無窮多解？有解時，求其解 參考答案： 當(dāng)a=0, b = 2時有解4. 判斷向量能否被線性表出，若能寫出它的一種表示法，參考答案： 不能被線性表示。5. 若方陣可逆，則的伴隨矩陣也可逆，并求出的逆矩陣參考答案：證明，離散數(shù)學(xué)試卷 （參考答案）一、 選擇題1、設(shè)，下列選項正確的是：（3）（1） （2） （3） （4）2、對任意集合，下述論斷正確的是：（1）（1）若，則 （2）若，則（3）若，則 （4）若，則3、假設(shè)上的關(guān)系如下，具有傳遞性的關(guān)系是：（4）（1）（2）（3）（4）4、非空集合上的空關(guān)系不具備下列哪個性質(zhì)：（1）（1）自反性 （2）反自反性 （3） 對稱性 （4）傳遞性5、假設(shè)，令：，則不同的函數(shù)個數(shù)為：（2）（1）2+3個 （2）個 （3）個 （4）個6、假設(shè)，下列哪個關(guān)系是到的函數(shù)：（3）（1）（2）（3）（4）7、一個無向簡單圖有條邊，個頂點，則圖中頂點的總度數(shù)為：（3）（1） （2） （3） （4）8、一個圖是歐拉圖是指：（1）（1）圖中包含一條回路經(jīng)過圖中每條邊一次且僅一次；（2）圖中包含一條路經(jīng)過圖中每條邊一次且僅一次；（3）圖中包含一條回路經(jīng)過圖中每個頂點一次且僅一次；（4）圖中包含一條路經(jīng)過圖中每個頂點一次且僅一次。9、下面哪一種圖不一定是樹：（3）（1）無回路的連通圖 （2）有個頂點條邊的連通圖（3）每一對頂點之間都有通路 （4）連通但刪去一條邊則不連通的圖.10、完全叉樹中有片葉，個分支點，則有它們之間的關(guān)系表達式是：（2）（1） （2） （3） （4）二、填空題1、假設(shè)， （1）1，2，3，5；（2）1，3，5，7，11，13，17，19；（3）7，11，13，19；（4）；2、假設(shè)上的關(guān)系，則：（1）<1,1>,<1,2>,<2,2>,<3,3>,<4,4>；（2）<1,2>,<2,1>；（3）<1,2>；3、設(shè)無向圖有12條邊，有3個3度的頂點，其余頂點度數(shù)均小于3，則中至少有 11 個頂點。4、一棵樹有2個2度頂點，1個3度頂點，3個4度頂點，則有9片葉。5、假設(shè)：我有時間，：我去圖書館。（1）命題“如果我有時間，我就去圖書館”符號化為 ；三、假設(shè)、是任意兩個集合，證明：。證明：對 則 或者 由冪集定義可知：或者 所以 因此 故 四、假設(shè)是自然數(shù)集合，定義上的二元關(guān)系。證明：是一個等價關(guān)系，并求出關(guān)系所確定的等價類。證明：（1）對，則是偶數(shù)，所以是自反的； 對，假設(shè)，則是偶數(shù)，而也是偶數(shù) 所以，故是對稱的； 對，假設(shè)， 則有，是偶數(shù)； 若是偶數(shù)，由于是偶數(shù)，所以也是偶數(shù)，則是偶數(shù) 若是奇數(shù)，由于是偶數(shù)，所以是奇數(shù)，又因為是偶數(shù)，所以是奇數(shù)，因此是偶數(shù)所以 是傳遞的。綜上 是等價關(guān)系。（2）當(dāng)是偶數(shù)時， 當(dāng)是奇數(shù)時，五、對下列集合在整除關(guān)系下構(gòu)成的偏序集，畫出Hasse圖，并寫出最大元，最小元，極大元，極小元。（1）（2）（3）解：（1）沒有最大元和最小元；極大元是24,36。 （2）最大元和極大元是45，最小元和極小元是1。 （3）最大元和極大元時16，最小元和極小元是2。 六、令V = a, b, c, d, e, E = aa, ab, ab, ba, cd, ca, dd, de，A = <a, a>, <a, b>, <b, a>, <c, d >做出圖G = <V, E> 和D = <V , A> 的圖示。解：離散數(shù)學(xué)模擬卷2參考答案一、選擇題1、請指出下列選項中哪一個是錯誤的：（2）（1） （2） （3） （4）2、對任意集合，下述論斷正確的是：（1）（1）若，則 （2）若，則（3）若，則 （4）若，則3、假設(shè)上的關(guān)系，那么，是：（4）（1）反自反的 （2）反對稱的 （3） 可傳遞的 （4）不可傳遞的4、非空集合上的空關(guān)系不具備下列哪個性質(zhì)：（1）（1）自反性 （2）反自反性 （3） 對稱性 （4）傳遞性5、若是滿射函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)必是：（3）（1）雙射函數(shù) （2）單射函數(shù) （3）滿射函數(shù) （4）不單射也不滿射6、假設(shè)，下列哪個關(guān)系是到的函數(shù)：（3）（1）（2）（3）（4）7、一個無向簡單圖有條邊，個頂點，則圖中頂點的總度數(shù)為：（3）（1） （2） （3） （4）8、一個圖是哈密頓圖是指：（3）（1）圖中包含一條回路經(jīng)過圖中每條邊一次且僅一次；（2）圖中包含一條路經(jīng)過圖中每條邊一次且僅一次；（3）圖中包含一條回路經(jīng)過圖中每個頂點一次且僅一次；（4）圖中包含一條路經(jīng)過圖中每個頂點一次且僅一次。9、一棵樹有2個2度頂點，1個3度頂點，3個4度頂點，則其1度的頂點數(shù)為：（2）（1）5 （2）7 （3）8 （4）910、完全叉樹中有片葉，個分支點，則有關(guān)系式是：（2）（1） （2） （3） （4）二、填空題1、假設(shè)，試求出： 的冪集,a,b,c,a,b,c；2、假設(shè)， （1）7,9,11,13,15,17,19；（2）；3、假設(shè)上的關(guān)系，則：（1）<1,1>,<2,2>,<2,3>,<3,3>,<4,4>；（2）<2,3>,<3,2>；（3）<2,3>；4、假設(shè)，是到的函數(shù)，其中：（a）；（b），；（c），；則：（1）g 是滿射；（2）g 是雙射；5、設(shè)無向圖有36條邊，有6個3度的頂點，其余頂點度數(shù)均小于3，則中至少有33個頂點。6、假設(shè)：今天天氣好，：我就去鍛煉身體。（1）命題“如果今天天氣好，我就去鍛煉身體”符號化為 PQ ；三、假設(shè)、是任意兩個集合，證明：。證明：對，則且 所以 并且 由交集的定義，則 所以 因此 反之，假設(shè) 則 所以 并且 所以 且 由交集定義，則 故 綜上 四、證明定義在實數(shù)集合上的關(guān)系是一個等價關(guān)系。證明：對，則是整數(shù)，所以是自反的； 對，并且設(shè)，則是整數(shù) 而也是整數(shù)，所以，是對稱的； 對，并且設(shè)， 則 ，是整數(shù)； 而 也是整數(shù) 所以 因此 是傳遞的 綜上，是等價關(guān)系。五、對下列集合在整除關(guān)系下構(gòu)成的偏序集，畫出Hasse圖，并寫出最大元，最小元，極大元，極小元。（1）（2）（3）解：（1）無最大元，極大元為：24，36；無最小元，極小元為：2，3； （2）最大元和極大元為：30；最小元和極小元為：1 （3）無最大元，極大元為：6，9；最小元和極小元為：1 六、設(shè)無向圖G中有9個頂點，每個頂點的度數(shù)不是5就是6，試證明G中至少有5個6度頂點或至少有6個5度頂點。解：假設(shè)圖G中最多有4個6度頂點，并且最多有有5個5度頂點 則度為奇數(shù)的頂點只能為偶數(shù)個，所以5度頂點應(yīng)該為4個，而6度頂點最多也為4個，所以與命題條件有9個頂點產(chǎn)生矛盾；因此G中至少有5個6度頂點或至少有6個5度頂點。離散數(shù)學(xué)模擬3參考答案一、選擇題1、假設(shè)，下列選項錯誤的是：（2）（1） （2） （3） （4）2、對任意集合，下述論斷正確的是：（1）（1）若，則 （2）若，則（3）若，則 （4）若，則3、假設(shè)上的關(guān)系如下，具有傳遞性的關(guān)系是：（4）（1）（2）（3）（4）4、假設(shè)和是集合上的任意關(guān)系，則下列命題為真的是：（1）（1）若和是自反的，則也是自反的；（2）若和是反自反的，則也是反自反的；（3）若和是對稱的，則也是對稱的；（4）若和是傳遞的，則也是傳遞的。5、若是滿射函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)必是：（3）（1）雙射函數(shù) （2）單射函數(shù) （3）滿射函數(shù) （4）不單射也不滿射6、假設(shè)，令：，則不同的函數(shù)個數(shù)為：（2）（1）2+3個 （2）個 （3）個 4）個7、一個無向簡單圖有條邊，個頂點，則圖中頂點的總度數(shù)為：（3）（1） （2） （3） （4）8、一個圖是半歐拉圖是指：（2）（1）圖中包含一條回路經(jīng)過圖中每條邊一次且僅一次；（2）圖中包含一條路經(jīng)過圖中每條邊一次且僅一次；（3）圖中包含一條回路經(jīng)過圖中每個頂點一次且僅一次；（4）圖中包含一條路經(jīng)過圖中每個頂點一次且僅一次。9、下面哪一種圖不一定是樹：（3）（1）無回路的連通圖 （2）有個頂點條邊的連通圖（3）每一對頂點之間都有通路 （4）連通但刪去一條邊則不連通的圖.10、完全叉樹中有片葉，個分支點，則它們之間的關(guān)系表達式是：（2）（1） （2） （3） （4）二、填空題1、假設(shè)， （1）5，7；（2）5；2、假設(shè)上的關(guān)系，則：（1）；（2）；（3）；3、假設(shè)，是到的函數(shù)，其中：（a）；（b）；（c）。則：（1）_g_是滿射；（2）_g_是雙射；4、設(shè)無向圖有24條邊，有4個3度的頂點，其余頂點度數(shù)均小于3，則中至少有22個頂點。5、一棵樹有2個2度頂點，1個3度頂點，3個4度頂點，則有 7 片葉。6、假設(shè)：我有時間，：我去體育館。（1）命題“如果我有時間，我就去體育館”符號化為 ；三、假設(shè)、是非空集合，并且。證明：。 證明：對任意的，有，所以 因為，所以 所以 ，因此 故 同理可證 綜上 。四、假設(shè)R,S是集合A上的等價關(guān)系，證明RS也是集合A上的等價關(guān)系。證明：對任意的，因為R,S是集合A上的等價關(guān)系，所以是自反、對稱、傳遞的。 故有 ，所以，是自反的； 對任意的，并且假設(shè)，有 所以 ，因此，是對稱的； 對任意的，并且假設(shè)，有，并且所以有 因此，是傳遞的。綜上是集合A上的等價關(guān)系。五、對下列集合在整除關(guān)系下構(gòu)成的偏序集，畫出Hasse圖，并寫出最大元，最小元，極大元，極小元。（1）（2）（3）解：（1）無最大元，有極大元是24、36，無最小元，有極小元2，3；（2）無最大元，有極大元30，42，70，有最小元和極小元2；（3）有最大元和極大元18，有最小元和極小元3六、假設(shè)圖是個頂點條邊的簡單無向圖，則。 證明：若圖是連通圖，由于圖是簡單圖，所以邊數(shù)不會超過完全圖的邊數(shù)， 因此 ； 若圖是非連通圖，則至少存在兩個連通分支和 假設(shè)和的頂點數(shù)和邊數(shù)分別為，和 則有 和 而 命題得證。