高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 17-18版 第5章 第22課 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式

第22課 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式最新考綱內(nèi)容要求ABC同角三角函數(shù)的基本關(guān)系三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式(1)平方關(guān)系sin2cos21；(2)商數(shù)關(guān)系tan .2誘導(dǎo)公式組序一二三四五六角2k(kZ)正弦sin sin sin sin cos cos_余弦cos cos cos cos_sin sin 正切tan tan tan tan_口訣函數(shù)名不變，符號(hào)看象限函數(shù)名改變符號(hào)看象限記憶規(guī)律奇變偶不變，符號(hào)看象限1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)若，為銳角，則sin2cos21.()(2)若R，則tan 恒成立()(3)sin()sin 成立的條件是為銳角()(4)誘導(dǎo)公式的記憶口訣中“奇變偶不變，符號(hào)看象限”，其中的奇、偶是指的奇數(shù)倍、偶數(shù)倍，變與不變指函數(shù)名稱是否變化()答案(1)×(2)×(3)×(4)2(教材改編)已知是第二象限角，sin ，則cos 等于_sin ，是第二象限角，cos .3若tan ，則sin4cos4的值為_sin4cos4(sin2cos2)(sin2cos2).4(2016·四川高考)sin 750°_.sin 750°sin(750°360°×2)sin 30°.5已知sin，則sin()_.因?yàn)閟incos ，所以sin ，所以sin()sin .同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用(1)已知sin cos ，且，則cos sin 的值為_(2)(2016·全國卷改編)若tan ，則cos22sin 2_.(1)(2)(1)，cos 0，sin 0且cos sin ，cos sin 0.又(cos sin )212sin cos 12×，cos sin .(2)tan ，則cos22sin 2.規(guī)律方法1.利用sin2cos21可以實(shí)現(xiàn)角的正弦、余弦的互化，利用tan 可以實(shí)現(xiàn)角的弦切互化2應(yīng)用公式時(shí)要注意方程思想的應(yīng)用：對(duì)于sin cos ，sin cos ，sin cos 這三個(gè)式子，利用(sin ±cos )21±2sin cos ，可以知一求二3注意公式逆用及變形應(yīng)用：1sin2cos2，sin21cos2，cos21sin2.變式訓(xùn)練1(1)已知sin cos ，(0，)，則tan 等于_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172123】1由消去sin 得：2cos22cos 10，即(cos 1)20，cos .又(0，)，tan tan1.(2)設(shè)為第二象限角，若tan，則sin cos _.tan，解得tan .(sin cos )2.為第二象限角，tan ，2k2k，sin cos 0，sin cos .誘導(dǎo)公式的應(yīng)用(1)已知A(kZ)，則A的值構(gòu)成的集合是_(2)(2017·南通一模)已知sin，則sinsin2的值是_(1)2,2(2)(1)當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，A2；k為奇數(shù)時(shí)，A2.(2)sinsin2sinsin2sin1sin2.規(guī)律方法1.利用誘導(dǎo)公式應(yīng)注意已知角或函數(shù)名稱與所求角或函數(shù)名稱之間存在的關(guān)系，尤其是角之間的互余、互補(bǔ)關(guān)系，選擇恰當(dāng)?shù)墓剑蛩蠼呛腿呛瘮?shù)進(jìn)行化歸2誘導(dǎo)公式的應(yīng)用原則：負(fù)化正、大化小、小化銳、銳求值變式訓(xùn)練2已知cos，則cossin2的值為_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172124】coscoscos，sin2sin2sin21cos212，cossin2.同角關(guān)系式與誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用(1)(2016·全國卷)已知是第四象限角，且sin，則tan_.(2)(2017·南京模擬)已知cos2sin，則的值為_(1)(2)(1)由題意知sin，是第四象限角，所以cos0，所以cos.tantan.(2)cos2sin，sin 2cos ，則sin 2cos ，代入sin2cos21，得cos2.cos2.規(guī)律方法利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)的基本思路和化簡(jiǎn)要求：(1)基本思路：分析結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇恰當(dāng)公式；利用公式化成單角三角函數(shù)；整理得最簡(jiǎn)形式(2)化簡(jiǎn)要求：化簡(jiǎn)過程是恒等變形；結(jié)果要求項(xiàng)數(shù)盡可能少，次數(shù)盡可能低，結(jié)構(gòu)盡可能簡(jiǎn)單，能求值的要求出值變式訓(xùn)練3已知sin ，是第二象限角，則tan()_.sin ，是第二象限角，cos ，tan ，故tan()tan .思想與方法三角函數(shù)求值與化簡(jiǎn)的常用方法(1)弦切互化法：主要利用公式tan 進(jìn)行弦、切互化(2)和積轉(zhuǎn)換法：利用(sin ±cos )21±2sin cos 的關(guān)系進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化(3)巧用“1”的變換：1sin2cos2cos2(1tan2)tan等(4)利用相關(guān)角的互補(bǔ)、互余等特殊關(guān)系可簡(jiǎn)化解題步驟易錯(cuò)與防范1利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值時(shí)，先利用公式化任意角的三角函數(shù)為銳角三角函數(shù)，其步驟：去負(fù)脫周化銳應(yīng)特別注意函數(shù)名稱和符號(hào)的確定2在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時(shí)，若開方，要特別注意判斷符號(hào)課時(shí)分層訓(xùn)練(二十二)A組基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)(建議用時(shí)：30分鐘)一、填空題1若cos ，則tan 等于_2，sin ，tan 2.2已知sin()cos(2)，|，則等于_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172125】sin()cos(2)，sin cos ，tan .|，.3(2017·蘇州期中)已知sin ，且，則tan _.，sin ，cos .tan .4若sin，則cos_.coscossin.5已知是三角形的內(nèi)角，且sin cos ，則tan _. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172126】由消去cos 整理，得25sin25sin 120，解得sin 或sin .因?yàn)槭侨切蔚膬?nèi)角，所以sin .又由sin cos ，得cos ，所以tan .6已知為第二象限角，則cos sin ·_.0原式cos sin cos sin cos sin 0.7sin21°sin22°sin23°sin289°_.445因?yàn)閟in(90°)cos ，所以當(dāng)90°時(shí)，sin2sin2sin2cos21，設(shè)Ssin21°sin22°sin23°sin289°，則Ssin289°sin288°sin287°sin21°兩個(gè)式子相加得2S111189，S44.5.8(2017·蘇北四市調(diào)研)_.原式.9已知sin cos ，則sin cos 的值為_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172127】sin cos ，12sin cos ，2sin cos .又0，故sin cos .10已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸正半軸重合，終邊在直線2xy0上，則_.2由題意可得tan 2，原式2.二、解答題11求值：sin(1 200°)·cos 1 290°cos(1 020°)·sin(1 050°)tan 945°.解原式sin 1 200°·cos 1 290°cos 1 020°·(sin 1 050°)tan 945°sin 120°·cos 210°cos 300°·(sin 330°)tan 225°(sin 60°)·(cos 30°)cos 60°·sin 30°tan 45°××12.12已知sin(3)2sin，求下列各式的值：(1)；(2)sin2sin 2.解由已知得sin 2cos .(1)原式.(2)原式.B組能力提升(建議用時(shí)：15分鐘)1已知tan xsin，則sin x_.因?yàn)閠an xsin，所以tan xcos x，所以sin xcos2x，sin2xsin x10，解得sin x，因?yàn)?sin x1，所以sin x.2設(shè)函數(shù)f(x)(xR)滿足f(x)f(x)sin x，當(dāng)0x時(shí)，f(x)0，則f_.由f(x)f(x)sin x，得f(x2)f(x)sin(x)f(x)sin xsin xf(x)，所以fffffsin.因?yàn)楫?dāng)0x時(shí)，f(x)0，所以f0.3已知f().(1)化簡(jiǎn) f()；(2)若是第三象限角，且cos，求f()的值解(1)f()cos .(2)cossin ，sin ，又是第三象限角，cos ，故f().4已知f(x)(nZ)(1)化簡(jiǎn)f(x)的表達(dá)式；(2)求ff的值解(1)當(dāng)n為偶數(shù)，即n2k(kZ)時(shí)，f(x)sin2x；當(dāng)n為奇數(shù)，即n2k1(kZ)時(shí)，f(x)sin2x，綜上得f(x)sin2x.(2)由(1)得ffsin2sin2sin2sin2sin2cos21.