高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 17-18版 第4章 第20課 函數(shù)建模問(wèn)題(一)——函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式.ppt

第20課 函數(shù)建模問(wèn)題(一)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式最新考綱內(nèi)容要求ABC函數(shù)模型及其應(yīng)用基本不等式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用1常見(jiàn)的幾種函數(shù)模型(1)一次函數(shù)模型：ykxb(k0)(2)反比例函數(shù)模型：yb(k，b為常數(shù)且k0)(3)二次函數(shù)模型：yax2bxc(a，b，c為常數(shù)，a0)(4)指數(shù)函數(shù)模型：ya·bxc(a，b，c為常數(shù)，b0，b1，a0)(5)對(duì)數(shù)函數(shù)模型：ymlogaxn(m，n，a為常數(shù)，a0，a1，m0)(6)冪函數(shù)模型：ya·xnb(a0)2解函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的步驟(四步八字)(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；(2)建模：將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；(3)解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；(4)還原：將數(shù)學(xué)問(wèn)題還原為實(shí)際問(wèn)題以上過(guò)程用框圖表示如下：1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)某種商品進(jìn)價(jià)為每件100元，按進(jìn)價(jià)增加25%出售，后因庫(kù)存積壓降價(jià)，若按九折出售，則每件還能獲利()(2)指數(shù)函數(shù)模型，一般用于解決變化較快，短時(shí)間內(nèi)變化量較大的實(shí)際問(wèn)題()(3)形如“yx”型的函數(shù)最值均可以用基本不等式解決()(4)在用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，若定義域中的極值點(diǎn)只有一個(gè)，則該點(diǎn)也是最值點(diǎn)()答案(1)(2)(3)×(4)2(教材改編)在某種新型材料的研制中，試驗(yàn)人員獲得了下列一組試驗(yàn)數(shù)據(jù)現(xiàn)準(zhǔn)備用下列四個(gè)函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個(gè)是_(填序號(hào))x1.953.003.945.106.12y0.971.591.982.352.61y2x；ylog2x；y(x21)；y2.61cos x.由表格知當(dāng)x3時(shí)，y1.59，而中y238，不合要求，中ylog23(1,2)，中y(321)4，不合要求，中y2.61cos 30，不合要求3已知某生產(chǎn)廠家的年利潤(rùn)y(單位：萬(wàn)元)與年產(chǎn)量x(單位：萬(wàn)件)間的函數(shù)關(guān)系式為yx381x234，則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤(rùn)的年產(chǎn)量為_(kāi)萬(wàn)件9因?yàn)閥x281，所以當(dāng)x>9時(shí)，y<0；當(dāng)x(0,9)時(shí)，y>0.所以函數(shù)yx381x234在(9，)上單調(diào)遞減，在(0,9)上單調(diào)遞增所以x9是函數(shù)的極大值點(diǎn)又因?yàn)楹瘮?shù)在(0，)上只有一個(gè)極大值點(diǎn)，所以函數(shù)在x9處取得最大值4某公司一年需購(gòu)買(mǎi)某種貨物200噸，平均分成若干次進(jìn)行購(gòu)買(mǎi)，每次購(gòu)買(mǎi)的運(yùn)費(fèi)為2萬(wàn)元，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用數(shù)值(單位：萬(wàn)元)恰好為每次的購(gòu)買(mǎi)噸數(shù)數(shù)值，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則每次購(gòu)買(mǎi)該種貨物的噸數(shù)是_20設(shè)每次購(gòu)買(mǎi)該種貨物x噸，則需要購(gòu)買(mǎi)次，則一年的總運(yùn)費(fèi)為×2，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為x，所以一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用為x240，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x20時(shí)等號(hào)成立，故要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，每次應(yīng)購(gòu)買(mǎi)該種貨物20噸5(教材改編)用長(zhǎng)為90 cm，寬為48 cm的長(zhǎng)方形鐵皮做一個(gè)無(wú)蓋的容器，先在四角分別截去一個(gè)小正方形，然后把四邊翻折90°角，再焊接而成，則該容器的高為_(kāi) cm時(shí)，容器的容積最大10設(shè)容器的高為x cm，即小正方形的邊長(zhǎng)為x cm，該容器的容積為V，則V(902x)(482x)x4(x369x21 080x)，0<x<12，V12(x246x360)12(x10)(x36)，當(dāng)0<x<10時(shí)，V>0；當(dāng)10<x<12時(shí)，V<0，所以V在(0,10上是增函數(shù)，在10,12)上是減函數(shù)，故當(dāng)x10時(shí)，V最大應(yīng)用二次函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題某企業(yè)生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)，A產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資成正比，其關(guān)系如圖；B產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖.(注：利潤(rùn)和投資單位：萬(wàn)元)圖20­1(1)分別將A，B兩種產(chǎn)品的利潤(rùn)表示為投資的函數(shù)關(guān)系式；(2)已知該企業(yè)已籌集到18萬(wàn)元資金，并將全部投入A，B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)若平均投入生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，可獲得多少利潤(rùn)？問(wèn)：如果你是廠長(zhǎng)，怎樣分配這18萬(wàn)元投資，才能使該企業(yè)獲得最大利潤(rùn)？其最大利潤(rùn)約為多少萬(wàn)元？解(1)f(x)0.25x(x0)，g(x)2(x0)(2)由(1)得f(9)2.25，g(9)26，所以總利潤(rùn)y8.25萬(wàn)元設(shè)B產(chǎn)品投入x萬(wàn)元，A產(chǎn)品投入(18x)萬(wàn)元，該企業(yè)可獲總利潤(rùn)為y萬(wàn)元?jiǎng)ty(18x)2，0x18.令t，t0,3，則y(t28t18)(t4)2.所以當(dāng)t4時(shí)，ymax8.5，此時(shí)x16,18x2.所以當(dāng)A，B兩種產(chǎn)品分別投入2萬(wàn)元、16萬(wàn)元時(shí)，可使該企業(yè)獲得最大利潤(rùn)，約為8.5萬(wàn)元規(guī)律方法求解所給函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)注點(diǎn)：(1)認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)(2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù)(3)利用該模型求解實(shí)際問(wèn)題易錯(cuò)警示：解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)要注意自變量的取值范圍變式訓(xùn)練1甲廠以x千克/時(shí)的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品(生產(chǎn)條件要求1x10)，每小時(shí)可獲得的利潤(rùn)是100元(1)求證：生產(chǎn)a千克該產(chǎn)品所獲得的利潤(rùn)為100a元；(2)要使生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤(rùn)最大，問(wèn)：甲廠應(yīng)該選取何種生產(chǎn)速度？并求此最大利潤(rùn). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172110】解(1)證明：生產(chǎn)a千克該產(chǎn)品，所用的時(shí)間是小時(shí)，所獲得的利潤(rùn)為100·.所以，生產(chǎn)a千克該產(chǎn)品所獲得的利潤(rùn)為100a元(2)生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品，所用的時(shí)間是小時(shí)，獲得的利潤(rùn)為90 000，1x10.記f(x)5,1x10，則f(x)325，當(dāng)且僅當(dāng)x6時(shí)，f(x)取到最大值f(6).獲得最大利潤(rùn)90 000×457 500(元)因此甲廠應(yīng)以6千克/時(shí)的速度生產(chǎn)，可獲得最大利潤(rùn)457 500元利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題(2015·江蘇高考)某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進(jìn)一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計(jì)劃修建一條連結(jié)兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路，記兩條相互垂直的公路為l1，l2，山區(qū)邊界曲線為C，計(jì)劃修建的公路為l.如圖20­2所示，M，N為C的兩個(gè)端點(diǎn)，測(cè)得點(diǎn)M到l1，l2的距離分別為5千米和40千米，點(diǎn)N到l1，l2的距離分別為20千米和2.5千米以l2，l1所在的直線分別為x，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，假設(shè)曲線C符合函數(shù)y(其中a，b為常數(shù))模型圖20­2(1)求a，b的值；(2)設(shè)公路l與曲線C相切于P點(diǎn)，P的橫坐標(biāo)為t.請(qǐng)寫(xiě)出公路l長(zhǎng)度的函數(shù)解析式f(t)，并寫(xiě)出其定義域；當(dāng)t為何值時(shí)，公路l的長(zhǎng)度最短？求出最短長(zhǎng)度解(1)由題意知，點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為(5,40)，(20,2.5)將其分別代入y，得解得(2)由(1)知，y(5x20)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.設(shè)在點(diǎn)P處的切線l交x，y軸分別于A，B兩點(diǎn)，y，則l的方程為y(xt)，由此得A，B.故f(t)，t5,20設(shè)g(t)t2，則g(t)2t.令g(t)0，解得t10.當(dāng)t(5,10)時(shí)，g(t)0，g(t)是減函數(shù)；當(dāng)t(10，20)時(shí)，g(t)0，g(t)是增函數(shù)從而，當(dāng)t10時(shí)，函數(shù)g(t)有極小值，也是最小值，所以g(t)min300，此時(shí)f(t)min15.故當(dāng)t10時(shí)，公路l的長(zhǎng)度最短，最短長(zhǎng)度為15千米規(guī)律方法利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的一般步驟：(1)分析實(shí)際問(wèn)題中各變量之間的關(guān)系，列出實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，寫(xiě)出實(shí)際問(wèn)題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)f(x)；(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f(x)，解方程f(x)0；(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和使得f(x)0的點(diǎn)的函數(shù)值的大小，最大(小)者為最大(小)值；(4)回歸實(shí)際問(wèn)題作答變式訓(xùn)練2某商場(chǎng)銷(xiāo)售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明，該商品每日的銷(xiāo)售量y(單位：千克)與銷(xiāo)售價(jià)格x(單位：元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng)10(x6)2，其中3<x<6，a為常數(shù)已知銷(xiāo)售價(jià)格為5元/千克時(shí)，每日可售出該商品11千克(1)求a的值；(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷(xiāo)售價(jià)格x的值，使商場(chǎng)每日銷(xiāo)售該商品所獲得的利潤(rùn)最大. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172111】解(1)因?yàn)閤5時(shí)，y11，所以1011，a2.(2)由(1)可知，該商品每日的銷(xiāo)售量為y10(x6)2，所以商場(chǎng)每日銷(xiāo)售該商品所獲得的利潤(rùn)為f(x)(x3)210(x3)(x6)2,3<x<6.從而，f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)，于是，當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)單調(diào)遞增極大值42單調(diào)遞減由上表可得，x4時(shí)，函數(shù)f(x)取得極大值，也是最大值，所以，當(dāng)x4時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值，且最大值等于42.即當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)格為4元/千克時(shí)，商場(chǎng)每日銷(xiāo)售該商品所獲得的利潤(rùn)最大.借助基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題某造紙廠擬建一座底面圖形為矩形且面積為162平方米的三級(jí)污水處理池，池的深度一定(平面圖如圖20­3所示)，如果池四周?chē)鷫ㄔ靻蝺r(jià)為400元/米，中間兩道隔墻建造單價(jià)為248元/米，池底建造單價(jià)為80元/平方米，水池所有墻的厚度忽略不計(jì).圖20­3(1)試設(shè)計(jì)污水處理池的長(zhǎng)和寬，使總造價(jià)最低，并求出最低總造價(jià)；(2)若由于地形限制，該池的長(zhǎng)和寬都不能超過(guò)16米，試設(shè)計(jì)污水處理池的長(zhǎng)和寬，使總造價(jià)最低，并求出最低總造價(jià)解(1)設(shè)污水處理池的寬為x米，則長(zhǎng)為米總造價(jià)f(x)400×248×2x80×1621 296x12 9601 29612 9601 296×212 96038 880(元)，當(dāng)且僅當(dāng)x(x0)，即x10時(shí)取等號(hào)當(dāng)污水處理池的長(zhǎng)為16.2米，寬為10米時(shí)總造價(jià)最低，總造價(jià)最低為38 880元(2)由限制條件知x16.設(shè)g(x)x，g(x)在上是增函數(shù)，當(dāng)x時(shí)，g(x)有最小值，即f(x)有最小值，即為1 296×12 96038 882(元)當(dāng)污水處理池的長(zhǎng)為16米，寬為米時(shí)總造價(jià)最低，總造價(jià)最低為38 882元.規(guī)律方法形如“yax(x>0)”型的函數(shù)求最值常用基本不等式，但需注意其等號(hào)成立的條件，倘若等號(hào)取不到，要借助導(dǎo)數(shù)來(lái)求解如本題(2).變式訓(xùn)練3為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬(wàn)元該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單位：萬(wàn)元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關(guān)系C(x)(0x10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬(wàn)元，設(shè)f(x)為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和(1)求k的值及f(x)的表達(dá)式；(2)隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小，并求最小值解(1)由已知條件得C(0)8，則k40，因此f(x)6x20C(x)6x(0x10)(2)f(x)6x101021070(萬(wàn)元)，當(dāng)且僅當(dāng)6x10，即x5時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)隔熱層厚度為5 cm時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小值，最小值為70萬(wàn)元.課時(shí)分層訓(xùn)練(二十)A組基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)(建議用時(shí)：30分鐘)1.據(jù)環(huán)保部門(mén)測(cè)定，某處的污染指數(shù)與附近污染源的強(qiáng)度成正比，與到污染源距離的平方成反比，比例常數(shù)為k(k>0)現(xiàn)已知相距18 km的A，B兩家化工廠(污染源)的污染強(qiáng)度分別為a，b，它們連線上任意一點(diǎn)C處的污染指數(shù)y等于兩化工廠對(duì)該處的污染指數(shù)之和設(shè)ACx(km)(1)試將y表示為x的函數(shù)；(2)若a1，且x6時(shí)，y取得最小值，試求b的值解(1)設(shè)點(diǎn)C受A污染源污染程度為，點(diǎn)C受B污染源污染程度為，其中k為比例系數(shù)，且k>0，從而點(diǎn)C處受污染程度y.(2)因?yàn)閍1，所以y，yk，令y0，得x，又此時(shí)x6，解得b8，經(jīng)驗(yàn)證符合題意，所以，污染源B的污染強(qiáng)度b的值為8.2.某種商品原來(lái)每件售價(jià)為25元，年銷(xiāo)售量為8萬(wàn)件(1)據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，若價(jià)格每提高1元，銷(xiāo)售量將相應(yīng)減少2 000件，要使銷(xiāo)售的總收入不低于原收入，該商品每件定價(jià)最多為多少元？(2)為了擴(kuò)大該商品的影響力，提高年銷(xiāo)售量公司決定明年對(duì)該商品進(jìn)行全面技術(shù)革新和營(yíng)銷(xiāo)策略改革，并提高定價(jià)到x元公司擬投入(x2600)萬(wàn)元作為技改費(fèi)用，投入50萬(wàn)元作為固定宣傳費(fèi)用，投入x萬(wàn)元作為浮動(dòng)宣傳費(fèi)用試問(wèn)：當(dāng)該商品明年的銷(xiāo)售量a至少應(yīng)達(dá)到多少萬(wàn)件時(shí)，才可能使明年的銷(xiāo)售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時(shí)商品的每件定價(jià). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172112】解(1)設(shè)每件定價(jià)為x元，依題意，有x25×8，整理得x265x1 0000，解得25x40.要使銷(xiāo)售的總收入不低于原收入，每件定價(jià)最多為40元(2)依題意，x>25時(shí)，不等式ax25×850(x2600)x有解，等價(jià)于x>25時(shí)，ax有解x210(當(dāng)且僅當(dāng)x30時(shí)，等號(hào)成立)，a10.2.當(dāng)該商品明年的銷(xiāo)售量a至少應(yīng)達(dá)到10.2萬(wàn)件時(shí)，才可能使明年的銷(xiāo)售收入不低于原收入與總投入之和，此時(shí)該商品的每件定價(jià)為30元.B組能力提升(建議用時(shí)：15分鐘)1.(2017·南京模擬)經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，某商品每噸的價(jià)格為x(1<x<14)百元時(shí)，該商品的月供給量為y1萬(wàn)噸，y1axa2a(a>0)；月需求量為y2萬(wàn)噸，y2x2x1.當(dāng)該商品的需求量大于供給量時(shí)，銷(xiāo)售量等于供給量；當(dāng)該商品的需求量不大于供給量時(shí)，銷(xiāo)售量等于需求量該商品的月銷(xiāo)售額等于月銷(xiāo)售量與價(jià)格的乘積(1)若a，問(wèn)商品的價(jià)格為多少時(shí)，該商品的月銷(xiāo)售額最大？(2)記需求量與供給量相等時(shí)的價(jià)格為均衡價(jià)格若該商品的均衡價(jià)格不低于每噸6百元，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)若a，由y2>y1，得x2x1>x2.解得40<x<6.因?yàn)?<x<14，所以1<x<6.設(shè)該商品的月銷(xiāo)售額為g(x)，則g(x)當(dāng)1<x<6時(shí)， g(x)x<g(6).當(dāng)6x<14時(shí)，g(x)x，則g(x)(3x24x224)(x8)(3x28)，由g(x)>0，得x<8，所以g(x)在6,8)上是增函數(shù)，在(8,14)上是減函數(shù)，當(dāng)x8時(shí)，g(x)有最大值g(8).綜上得，若a，商品的每噸價(jià)格定為8百元時(shí)，月銷(xiāo)售額最大(2)設(shè)f(x)y1y2x2xa21a，因?yàn)閍>0，所以f(x)在區(qū)間(1,14)上是增函數(shù)，若該商品的均衡價(jià)格不低于6百元，即函數(shù)f(x)在區(qū)間6,14)上有零點(diǎn)，所以即解得0<a.若該商品的均衡價(jià)格不低于每噸6百元，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.2.(2017·鹽城期中)如圖20­4，河的兩岸分別有生活小區(qū)ABC和DEF，其中ABBC，EFDF，DFAB，C，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線，F(xiàn)D與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)O，測(cè)得AB3 km，BC4 km，DF km，F(xiàn)E3 km，EC km.若以O(shè)A，OD所在直線分別為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy，則河岸DE可看成是曲線y(其中a，b為常數(shù))的一部分，河岸AC可看成是直線ykxm(其中k，m為常數(shù))的一部分圖20­4(1)求a，b，k，m的值；(2)現(xiàn)準(zhǔn)備建一座橋MN，其中M，N分別在DE，AC上，且MNAC，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為t.請(qǐng)寫(xiě)出橋MN的長(zhǎng)l關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式lf(t)，并注明定義域；當(dāng)t為何值時(shí)，l取得最小值？最小值是多少？ 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172113】解(1)將D，E(3,4)兩點(diǎn)坐標(biāo)代入到y(tǒng)中，得解得再將A，C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入到y(tǒng)kxm中，得解得(2)由(1)知直線AC的方程為yx2，即4x3y60.設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為M，則利用點(diǎn)到直線的距離公式，得l，又由點(diǎn)D，E向直線AC作垂線時(shí)，垂足都在線段AC上，所以0t3，所以lf(t)，0t3.法一：令g(t)4t9,0t3，因?yàn)間(t)，所以由g(t)0，解得t或t(舍)，所以當(dāng)t時(shí)，g(t)>0，g(t)單調(diào)遞增；當(dāng)t時(shí)，g(t)<0，g(t)單調(diào)遞減從而當(dāng)t時(shí)，g(t)取得最大值為g5，即當(dāng)t時(shí)，l取得最小值，最小值為1 km.法二：因?yàn)?t3，所以14t4，則4t94(t4)777272×65，當(dāng)且僅當(dāng)4(4t)，即t時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)t時(shí)，l取得最小值，最小值為1 km.