初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)七年級(jí)一 有理數(shù)的巧算

第一講 有理數(shù)的巧算 有理數(shù)運(yùn)算是中學(xué)數(shù)學(xué)中一切運(yùn)算的基礎(chǔ)它要求同學(xué)們?cè)诶斫庥欣頂?shù)的相關(guān)概念、法則的基礎(chǔ)上，能根據(jù)法則、公式等準(zhǔn)確、迅速地實(shí)行運(yùn)算不但如此，還要善于根據(jù)題目條件，將推理與計(jì)算相結(jié)合，靈活巧妙地選擇合理的簡(jiǎn)捷的算法解決問(wèn)題，從而提升運(yùn)算水平，發(fā)展思維的敏捷性與靈活性 1括號(hào)的使用 在代數(shù)運(yùn)算中，能夠根據(jù)運(yùn)算法則和運(yùn)算律，去掉或者添上括號(hào)，以此來(lái)改變運(yùn)算的次序，使復(fù)雜的問(wèn)題變得較簡(jiǎn)單 例1 計(jì)算： 分析 中學(xué)數(shù)學(xué)中，因?yàn)樨?fù)數(shù)的引入，符號(hào)“+”與“-”具有了雙重涵義，它既是表示加法與減法的運(yùn)算符號(hào)，也是表示正數(shù)與負(fù)數(shù)的性質(zhì)符號(hào)所以實(shí)行有理數(shù)運(yùn)算時(shí)，一定要準(zhǔn)確使用有理數(shù)的運(yùn)算法則，尤其是要注意去括號(hào)時(shí)符號(hào)的變化 注意 在本例中的乘除運(yùn)算中，常常把小數(shù)變成分?jǐn)?shù)，把帶分?jǐn)?shù)變成假分?jǐn)?shù)，這樣便于計(jì)算 例2 計(jì)算下式的值： 211×555+445×789+555×789+211×445 分析 直接計(jì)算很麻煩，根據(jù)運(yùn)算規(guī)則，添加括號(hào)改變運(yùn)算次序，可使計(jì)算簡(jiǎn)單本題可將第一、第四項(xiàng)和第二、第三項(xiàng)分別結(jié)合起來(lái)計(jì)算 解 原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789) =211×(555+445)+(445+555)×789 =211×1000+1000×789 =1000×(211+789) =1 000 000 說(shuō)明 加括號(hào)的一般思想方法是“分組求和”，它是有理數(shù)巧算中的常用技巧 例3 計(jì)算：S=1-2+3-4+(-1)n+1·n 分析 不難看出這個(gè)算式的規(guī)律是任何相鄰兩項(xiàng)之和或?yàn)椤?”或?yàn)椤?1”如果按照將第一、第二項(xiàng)，第三、第四項(xiàng)，分別配對(duì)的方式計(jì)算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括號(hào)”的習(xí)慣，而取“添括號(hào)”之法 解 S=(1-2)+(3-4)+(-1)n+1·n 下面需對(duì)n的奇偶性實(shí)行討論： 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，上式是n2個(gè)(-1)的和，所以有 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，上式是(n-1)2個(gè)(-1)的和，再加上最后一項(xiàng)(-1)n+1·n=n，所以有 例4 在數(shù)1，2，3，1998前添符號(hào)“+”和“-”，并依次運(yùn)算，所得可能的最小非負(fù)數(shù)是多少？ 分析與解 因?yàn)槿舾蓚€(gè)整數(shù)和的奇偶性，只與奇數(shù)的個(gè)數(shù)相關(guān)，所以在1，2，3，1998之前任意添加符號(hào)“+”或“-”，不會(huì)改變和的奇偶性在1，2，3，1998中有1998÷2個(gè)奇數(shù)，即有999個(gè)奇數(shù)，所以任意添加符號(hào)“+”或“-”之后，所得的代數(shù)和總為奇數(shù)，故最小非負(fù)數(shù)不小于1 現(xiàn)考慮在自然數(shù)n，n+1，n+2，n+3之間添加符號(hào)“+”或“-”，顯然n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0 這啟發(fā)我們將1，2，3，1998每連續(xù)四個(gè)數(shù)分為一組，再按上述規(guī)則添加符號(hào)，即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1 所以，所求最小非負(fù)數(shù)是1 說(shuō)明 本例中，添括號(hào)是為了造出一系列的“零”，這種方法可使計(jì)算大大簡(jiǎn)化 2用字母表示數(shù) 我們先來(lái)計(jì)算(100+2)×(100-2)的值：(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4=1002-22 這是一個(gè)對(duì)具體數(shù)的運(yùn)算，若用字母a代換100，用字母b代換2，上述運(yùn)算過(guò)程變?yōu)?a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2 于是我們得到了一個(gè)重要的計(jì)算公式(a+b)(a-b)=a2-b2， 這個(gè)公式叫平方差公式，以后應(yīng)用這個(gè)公式計(jì)算時(shí)，不必重復(fù)公式的證明過(guò)程，可直接利用該公式計(jì)算 例5 計(jì)算 3001×2999的值 解 3001×2999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8 999 999 例6 計(jì)算 103×97×10 009的值 解 原式=(100+3)(100-3)(10000+9)=(1002-9)(1002+9)=1004-92=99 999 919 例7 計(jì)算： 分析與解 直接計(jì)算繁仔細(xì)觀察，發(fā)現(xiàn)分母中涉及到三個(gè)連續(xù)整數(shù)：12 345，12 346，12 347可設(shè)字母n=12 346，那么12 345=n-1，12 347=n+1，于是分母變?yōu)閚2-(n-1)(n+1)應(yīng)用平方差公式化簡(jiǎn)得n2-(n2-12)=n2-n2+1=1， 即原式分母的值是1，所以原式=24 690 例8 計(jì)算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)分析 式子中2，22，24，每一個(gè)數(shù)都是前一個(gè)數(shù)的平方，若在(2+1)前面有一個(gè)(2-1)，就可以連續(xù)遞進(jìn)地運(yùn)用(a+b)(a-b)=a2-b2了解 原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)×(216+1)(232+1) =(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)×(232+1) =(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)= =(232-1)(232+1) =264-1例9 計(jì)算：分析 在前面的例題中，應(yīng)用過(guò)公式(a+b)(a-b)=a2-b2這個(gè)公式也可以反著使用，即a2-b2=(a+b)(a-b)本題就是一個(gè)例子通過(guò)以上例題可以看到，用字母表示數(shù)給我們的計(jì)算帶來(lái)很大的益處下面再看一個(gè)例題，從中可以看到用字母表示一個(gè)式子，也可使計(jì)算簡(jiǎn)化例10 計(jì)算：我們用一個(gè)字母表示它以簡(jiǎn)化計(jì)算 3觀察算式找規(guī)律例11 某班20名學(xué)生的數(shù)學(xué)期末考試成績(jī)?nèi)缦?，?qǐng)計(jì)算他們的總分與平均分87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88分析與解 若直接把20個(gè)數(shù)加起來(lái)，顯然運(yùn)算量較大，粗略地估計(jì)一下，這些數(shù)均在90上下，所以可取90為基準(zhǔn)數(shù)，大于90的數(shù)取“正”，小于90的數(shù)取“負(fù)”，考察這20個(gè)數(shù)與90的差，這樣會(huì)大大簡(jiǎn)化運(yùn)算所以總分為90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)+2+5+(-2)=1800-1=1799，平均分為 90+(-1)÷20=89.95例12 計(jì)算1+3+5+7+1997+1999的值 分析 觀察發(fā)現(xiàn)：首先算式中，從第二項(xiàng)開(kāi)始，后項(xiàng)減前項(xiàng)的差都等于2；其次算式中首末兩項(xiàng)之和與距首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之和都等于2000，于是可有如下解法解 用字母S表示所求算式，即S=1+3+5+1997+1999 再將S各項(xiàng)倒過(guò)來(lái)寫(xiě)為S=1999+1997+1995+3+1 將，兩式左右分別相加，得2S=(1+1999)+(3+1997)+(1997+3)+(1999+1)=2000+2000+2000+2000(500個(gè)2000)=2000×500從而有 S=500 000說(shuō)明 一般地，一列數(shù)，如果從第二項(xiàng)開(kāi)始，后項(xiàng)減前項(xiàng)的差都相等(本題3-1=5-3=7-5=1999-1997，都等于2)，那么，這列數(shù)的求和問(wèn)題，都可以用上例中的“倒寫(xiě)相加”的方法解決例13 計(jì)算 1+5+52+53+599+5100的值分析 觀察發(fā)現(xiàn)，上式從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都是它前面一項(xiàng)的5倍如果將和式各項(xiàng)都乘以5，所得新和式中除個(gè)別項(xiàng)外，其余與原和式中的項(xiàng)相同，于是兩式相減將使差易于計(jì)算解 設(shè)S=1+5+52+599+5100， 所以5S=5+52+53+5100+5101 得4S=5101-1，說(shuō)明 如果一列數(shù)，從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之比都相等(本例中是都等于5)，那么這列數(shù)的求和問(wèn)題，均可用上述“錯(cuò)位相減”法來(lái)解決例14 計(jì)算：分析 一般情況下，分?jǐn)?shù)計(jì)算是先通分本題通分計(jì)算將很繁，所以我們不但不通分，反而利用如下一個(gè)關(guān)系式來(lái)把每一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，然后再計(jì)算，這種方法叫做拆項(xiàng)法 解 由于所以說(shuō)明 本例使用拆項(xiàng)法的目的是使總和中出現(xiàn)一些可以相消的相反數(shù)的項(xiàng)，這種方法在有理數(shù)巧算中很常用練習(xí)一1計(jì)算下列各式的值：(1)-1+3-5+7-9+11-1997+1999；(2)11+12-13-14+15+16-17-18+99+100；(3)1991×1999-1990×2000；(4)4726342+472 6352-472 633×472 635-472 634×472 636； (6)1+4+7+244； 2某小組20名同學(xué)的數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)成績(jī)?nèi)缦?，試?jì)算他們的平均分81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85