高考數(shù)學復習 17-18版 第7章 第33課 數(shù)列的概念與簡單表示法

第七章數(shù)列、推理與證明第33課 數(shù)列的概念與簡單表示法最新考綱內容要求ABC數(shù)列的概念1數(shù)列的定義按照一定次序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫作這個數(shù)列的項2數(shù)列的分類分類原則類型滿足條件按項數(shù)分類有窮數(shù)列項數(shù)有限無窮數(shù)列項數(shù)無限按項與項間的大小關系分類遞增數(shù)列an1>an其中nN遞減數(shù)列an1<an常數(shù)列an1an按其他標準分類有界數(shù)列存在正數(shù)M，使|an|M擺動數(shù)列從第二項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列3.數(shù)列的表示法數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和解析法4數(shù)列的通項公式如果數(shù)列an的第n項與序號n 之間的關系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫作這個數(shù)列的通項公式5數(shù)列的遞推公式如果已知數(shù)列的第一項(或前幾項)，且從第二項(或某一項)開始的任一項an與它的前一項an1(或前幾項)間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫作這個數(shù)列的遞推公式6an與Sn的關系若數(shù)列an的前n項和為Sn，通項公式為an，則an1(思考辨析)判斷下列結論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)所有數(shù)列的第n項都能使用公式表達()(2)根據(jù)數(shù)列的前幾項歸納出數(shù)列的通項公式可能不止一個()(3)如果數(shù)列an的前n項和為Sn，則對nN，都有an1Sn1Sn.()(4)若已知數(shù)列an的遞推公式為an1，且a21，則可以寫出數(shù)列an的任何一項()答案(1)×(2)(3)(4)2設數(shù)列an的前n項和Snn2，則a8的值為_15當n8時，a8S8S7827215.3(教材改編)數(shù)列1，的一個通項公式an_.由已知得，數(shù)列可寫成，故通項an.4把1,3,6,10,15,21，這些數(shù)叫作三角形數(shù)，這是因為以這些數(shù)目的點可以排成一個正三角形(如圖33­1)圖33­1則第7個三角形數(shù)是_28由題圖可知，第7個三角形數(shù)是123456728.5數(shù)列an滿足an1，a82，則a1_.由an1，得an1，a82，a71，a611，a512，an是以3為周期的數(shù)列，a1a7.由數(shù)列的前幾項歸納數(shù)列的通項公式寫出下面各數(shù)列的一個通項公式：(1)3,5,7,9，；(2)，；(3)1,7，13,19，；(4)3,33,333,3 333，. 【導學號：62172180】解(1)各項減去1后為正偶數(shù)，所以an2n1.(2)每一項的分子比分母少1，而分母組成數(shù)列21,22,23,24，所以an.(3)數(shù)列中各項的符號可通過(1)n表示，從第2項起，每一項的絕對值總比它的前一項的絕對值大6.故通項公式為an(1)n(6n5)(4)將數(shù)列各項改寫為，分母都是3，而分子分別是101,1021,1031,1041，所以an(10n1)規(guī)律方法1.求數(shù)列通項時，要抓住以下幾個特征：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相鄰項的變化特征；(3)拆項后變化的部分和不變的部分的特征；(4)各項符號特征等，并對此進行歸納、化歸、聯(lián)想2若關系不明顯時，應將部分項作適當?shù)淖冃?，統(tǒng)一成相同的形式，讓規(guī)律凸現(xiàn)出來對于正負符號變化，可用(1)n或(1)n1來調整，可代入驗證歸納的正確性變式訓練1(1)數(shù)列0，的一個通項公式為_(填序號)an(nN)；an(nN)；an(nN)；an(nN)(2)數(shù)列an的前4項是，1，則這個數(shù)列的一個通項公式是an_.(1)(2)(1)注意到分子0,2,4,6都是偶數(shù)，對照選項排除即可(2)數(shù)列an的前4項可變形為，故an.由an與Sn的關系求通項an已知下面數(shù)列an的前n項和Sn，求an的通項公式：(1)Sn2n23n；(2)Sn3nb. 【導學號：62172181】解(1)a1S1231，當n2時，anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n5，由于a1也適合此等式，an4n5.(2)a1S13b，當n2時，anSnSn1(3nb)(3n1b)2·3n1.當b1時，a1適合此等式當b1時，a1不適合此等式當b1時，an2·3n1；當b1時，an規(guī)律方法由Sn求an的步驟(1)先利用a1S1求出a1；(2)用n1替換Sn中的n得到一個新的關系，利用anSnSn1(n2)便可求出當n2時an的表達式；(3)對n1時的結果進行檢驗，看是否符合n2時an的表達式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項公式合寫；如果不符合，則應寫成分段函數(shù)的形式易錯警示：利用anSnSn1求通項時，應注意n2這一前提條件，易忽視驗證n1致誤變式訓練2已知數(shù)列an的前n項和為Sn，若Sn2an4(nN)，則an_.2n1由Sn2an4可得Sn12an14(n2)，兩式相減可得an2an2an1(n2)，即an2an1(n2)又a12a14，a14，所以數(shù)列an是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，則an4×2n12n1.由遞推公式求數(shù)列的通項公式根據(jù)下列條件，確定數(shù)列an的通項公式：(1)a12，an1an3n2；(2)a11，an12nan；(3)a11，an13an2.解(1)an1an3n2，anan13n1(n2)，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1(n2)當n1時，a1×(3×11)2符合上式，ann2.(2)an12nan，2n1(n2)，an····a12n1·2n2··2·12123(n1)2.又a11符合上式，故an2.(3)an13an2，an113(an1)，又a11，a112，故數(shù)列an1是首項為2，公比為3的等比數(shù)列，an12·3n1，因此an2·3n11.規(guī)律方法1.已知a1，且anan1f(n)，可用“累加法”求an；已知a1(a10)，且f(n)，可用“累乘法”求an.2已知a1，且an1qanb，則an1kq(ank)(其中k可由待定系數(shù)法確定)，可轉化為ank為等比數(shù)列易錯警示：本題(1)(2)中常見的錯誤是忽視驗證a1是否適合所求式，(3)中常見錯誤是忽視判定首項是否為零變式訓練3(2016·全國卷)已知各項都為正數(shù)的數(shù)列an滿足a11，a(2an11)an2an10.(1)求a2，a3；(2)求an的通項公式解(1)由題意可得a2，a3.(2)由a(2an11)an2an10得2an1(an1)an(an1)因為an的各項都為正數(shù)，所以.故an是首項為1，公比為的等比數(shù)列，因此an.思想與方法1數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，因此，在研究數(shù)列問題時，既要注意函數(shù)方法的普遍性，又要考慮數(shù)列方法的特殊性2an3由遞推關系求數(shù)列的通項的基本思想是轉化，常用的方法是：(1)an1anf(n)型，采用疊加法(2)f(n)型，采用疊乘法(3)an1panq(p0，p1)型，轉化為等比數(shù)列解決易錯與防范1數(shù)列是按一定“次序”排列的一列數(shù)，一個數(shù)列不僅與構成它的“數(shù)”有關，而且還與這些“數(shù)”的排列順序有關2易混項與項數(shù)是兩個不同的概念，數(shù)列的項是指數(shù)列中某一確定的數(shù)，而項數(shù)是指數(shù)列的項對應的位置序號3在利用數(shù)列的前n項和求通項時，往往容易忽略先求出a1，而是直接把數(shù)列的通項公式寫成anSnSn1的形式，但它只適用于n2的情形課時分層訓練(三十三)A組基礎達標(建議用時：30分鐘)一、填空題1數(shù)列1，的一個通項公式an_.； .由已知得，數(shù)列可寫成，故通項為.2已知數(shù)列an的前n項和Sn2n，則a3a4_.12當n2時，an2n2n12n1，所以a3a4222312.3在數(shù)列1,0，中，0.08是它的第_項10令0.08，得2n225n500，則(2n5)(n10)0，解得n10或n(舍去)a100.08.4已知數(shù)列an的通項公式為ann22n(nN)，則“<1”是“數(shù)列an為遞增數(shù)列”的_條件充分不必要當an1an(n1)22(n1)n22n12n2>0，即<時數(shù)列an為遞增數(shù)列，又nN，<.“<1”是“數(shù)列an為遞增數(shù)列”的充分不必要條件5在數(shù)列an中，已知a11，an12an1，則其通項公式an_. 【導學號：62172182】2n1法一：由an12an1，可求a23，a37，a415，驗證可知an2n1.法二：由題意知an112(an1)，數(shù)列an1是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，an12n，an2n1.6數(shù)列an的首項a12，且(n1)annan1，則a3的值為_6由(n1)annan1得，所以數(shù)列為常數(shù)列，則2，即an2n，所以a32×36.7設Sn為數(shù)列an的前n項和，且Sn(an1)(nN)，則an_. 【導學號：62172183】3n當n2時，anSnSn1(an1)(an11)，整理，得an3an1，由a1(a11)，得a13，3，數(shù)列an是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，an3n.8數(shù)列an滿足a12，an，其前n項積為Tn，則T2 017_.2由an，得an1，而a12，則有a23，a3，a4，a52，故數(shù)列an是以4為周期的周期數(shù)列，且a1a2a3a41，所以T2 017(a1a2a3a4)504a11504×22.9已知數(shù)列an滿足a11，anan1nanan1(nN)，則an_.由已知得，n，所以n1，n2，1，所以，a11，所以，所以an.10(2017·南京模擬)對于數(shù)列an，定義數(shù)列bn滿足：bnan1an(nN)，且bn1bn1(nN)，a31，a41，則a1_. 【導學號：62172184】8由bn1bn1(nN)可知，數(shù)列bn成等差數(shù)列，又b3a4a3112，b3b21，b2b313.a3a23，a23a34.b1b21314.a2a14，a1a24448.二、解答題11數(shù)列an的通項公式是ann27n6.(1)這個數(shù)列的第4項是多少？(2)150是不是這個數(shù)列的項？若是這個數(shù)列的項，它是第幾項？(3)該數(shù)列從第幾項開始各項都是正數(shù)？解(1)當n4時，a4424×766.(2)令an150，即n27n6150，解得n16或n9(舍去)，即150是這個數(shù)列的第16項(3)令ann27n6>0，解得n>6或n<1(舍去)所以從第7項起各項都是正數(shù)12已知Sn為正項數(shù)列an 的前n項和，且滿足Snaan(nN)(1)求a1，a2，a3，a4的值；(2)求數(shù)列an的通項公式解(1)由Snaan(nN)，可得a1aa1，解得a11；S2a1a2aa2，解得a22；同理，a33，a44.(2)Snaan，當n2時，Sn1aan1，得(anan11)(anan1)0.由于anan10，所以anan11，又由(1)知a11，故數(shù)列an是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，故ann.B組能力提升(建議用時：15分鐘)1設數(shù)列an滿足：a11，a23，且2nan(n1)an1(n1)an1，則a20_.由2nan(n1)an1(n1)an1得nan(n1)an1(n1)an1nan，又因為1×a11,2×a21×a15，所以數(shù)列nan是首項為1，公差為5的等差數(shù)列，則20a20119×5，解得a20.2已知數(shù)列an的前n項和為Sn，a11，an13Sn，則an_.由an13Sn，得an3Sn1(n2)，兩式相減可得an1an3Sn3Sn13an(n2)，an14an(n2)a11，a23S134a1，數(shù)列an是從第二項開始的等比數(shù)列，ana2qn23×4n2(n2)故an3已知數(shù)列an的通項公式是ann2kn4.(1)若k5，則數(shù)列中有多少項是負數(shù)？n為何值時，an有最小值？并求出最小值；(2)對于nN，都有an1>an，求實數(shù)k的取值范圍解(1)由n25n4<0，解得1<n<4.因為nN，所以n2,3，所以數(shù)列中有兩項是負數(shù)，即為a2，a3.因為ann25n42，由二次函數(shù)性質，得當n2或n3時，an有最小值，其最小值為a2a32.(2)由an1>an知該數(shù)列是一個遞增數(shù)列，又因為通項公式ann2kn4，可以看作是關于n的二次函數(shù)，考慮到nN，所以<，即得k>3.所以實數(shù)k的取值范圍為(3，)4已知數(shù)列an中，a11，前n項和Snan.(1)求a2，a3；(2)求an的通項公式解(1)由S2a2得3(a1a2)4a2，解得a23a13.由S3a3得3(a1a2a3)5a3，解得a3(a1a2)6.(2)由題設知a11.當n2時，有anSnSn1anan1，整理得anan1.于是a11，a2a1，a3a2，an1an2，anan1.將以上n個等式兩端分別相乘，整理得an.顯然，當n1時也滿足上式綜上可知，an的通項公式an.