高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 17-18版 第2章 第6課 函數(shù)的奇偶性與周期性

第6課 函數(shù)的奇偶性與周期性 最新考綱內(nèi)容要求ABC函數(shù)的奇偶性函數(shù)的周期性1函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(x)f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫作偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱奇函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(x)f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫作奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱2.函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)：對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有f(xT)f(x)，那么就稱函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫作f(x)的最小正周期1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)偶函數(shù)圖象不一定過(guò)原點(diǎn)，奇函數(shù)的圖象一定過(guò)原點(diǎn)()(2)若函數(shù)yf(xa)是偶函數(shù)，則函數(shù)yf(x)關(guān)于直線xa對(duì)稱()(3)若函數(shù)yf(xb)是奇函數(shù)，則函數(shù)yf(x)關(guān)于點(diǎn)(b,0)中心對(duì)稱()(4)函數(shù)f(x)在定義域上滿足f(xa)f(x)，則f(x)是周期為2a(a0)的周期函數(shù)()答案(1)×(2)(3)(4)2已知f(x)ax2bx是定義在a1,2a上的偶函數(shù)，那么ab的值是_依題意b0，且2a(a1)，b0且a，則ab.3(教材改編)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)x(1x)，則x0時(shí)，f(x)_.x(1x)當(dāng)x0時(shí)，則x0，f(x)(x)(1x)又f(x)為奇函數(shù)，f(x)f(x)(x)(1x)，f(x)x(1x)4下列函數(shù)中，y；y|sin x|；ycos x；yexex為奇函數(shù)的是_(填函數(shù)序號(hào))中函數(shù)的定義域?yàn)?，)，其不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故不是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，是奇函數(shù)5(2016·江蘇高考)設(shè)f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間1,1)上，f(x)其中aR.若ff，則f(5a)的值是_因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的周期為2，結(jié)合在1,1)上f(x)的解析式，得fffa，fff.由ff，得a，解得a.所以f(5a)f(3)f(41)f(1)1.函數(shù)奇偶性的判斷判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)x32x；(2)f(x)(x1)；(3)f(x)解(1)定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又f(x)(x)32(x)x32x(x32x)f(x)該函數(shù)為奇函數(shù)(2)由0可得函數(shù)的定義域?yàn)?1,1函數(shù)定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)(3)易知函數(shù)的定義域?yàn)?，0)(0，)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又當(dāng)x0時(shí)，f(x)x2x，則當(dāng)x0時(shí)，x0，故f(x)x2xf(x)；當(dāng)x0時(shí)，f(x)x2x，則當(dāng)x0時(shí)，x0，故f(x)x2xf(x)，故原函數(shù)是偶函數(shù)規(guī)律方法1.利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟：2判斷分段函數(shù)的奇偶性應(yīng)分段分別證明f(x)與f(x)的關(guān)系，只有對(duì)各段上的x都滿足相同的關(guān)系時(shí)，才能判斷其奇偶性；也可以利用函數(shù)的圖象進(jìn)行判斷變式訓(xùn)練1(1)設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)的定義域都為R，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是_(填序號(hào))f(x)g(x)是偶函數(shù)；|f(x)|g(x)是奇函數(shù)；f(x)|g(x)|是奇函數(shù)；|f(x)g(x)|是奇函數(shù)(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性(1)：令h(x)f(x)·g(x)，則h(x)f(x)·g(x)f(x)·g(x)h(x)，h(x)是奇函數(shù)，錯(cuò)：令h(x)|f(x)|g(x)，則h(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)h(x)，h(x)是偶函數(shù)，錯(cuò)：令h(x)f(x)|g(x)|，則h(x)f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|h(x)，h(x)是奇函數(shù)，正確：令h(x)|f(x)·g(x)|，則h(x)|f(x)·g(x)|f(x)·g(x)|f(x)·g(x)|h(x)，h(x)是偶函數(shù)，錯(cuò)(2)由得x23，x±，即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋瑥亩鴉(x)0.因此f(x)f(x)且f(x)f(x)，函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).函數(shù)奇偶性的應(yīng)用(1)若函數(shù)f(x)xln(x)為偶函數(shù)，則a_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172030】(2)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)x24x，則f(x)_.(1)1(2)(1)f(x)為偶函數(shù)，f(x)f(x)0恒成立，xln(x)xln(x)0恒成立，xln a0恒成立，ln a0，即a1.(2)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(0)0.又當(dāng)x0時(shí)，x0，f(x)x24x.又f(x)為奇函數(shù)，f(x)f(x)，即f(x)x24x(x0)，f(x)規(guī)律方法1.已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，一般采用待定系數(shù)法求解，根據(jù)f(x)±f(x)0得到關(guān)于待求參數(shù)的恒等式，由系數(shù)的對(duì)等性得參數(shù)的值或方程(組)，進(jìn)而得出參數(shù)的值；2已知函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值或解析式，將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性得出關(guān)于f(x)的方程(組)，從而可得f(x)的值或解析式變式訓(xùn)練2(2017·南通一模)若函數(shù)f(x)(a>0，b>0)為奇函數(shù)，則f(ab)的值為_(kāi)1f(x)為奇函數(shù)，即解得a1，b2.f(ab)f(1)1b1.函數(shù)的周期性及其應(yīng)用設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x2)f(x)，且當(dāng)x0,2)時(shí)，f(x)2xx2，則f(0)f(1)f(2)f(2 017)_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172031】1 009f(x2)f(x)，函數(shù)f(x)的周期T2.又當(dāng)x0,2)時(shí)，f(x)2xx2，f(0)0，f(1)1，f(0)f(1)1.f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(2 016)f(2 017)1，f(0)f(1)f(2)f(2 017)1 009.遷移探究1若將本例中“f(x2)f(x)”改為“f(x1)f(x)”，則結(jié)論如何？解f(x1)f(x)，f(x2)f(x1)1f(x1)f(x)故函數(shù)f(x)的周期為2.由本例可知，f(0)f(1)f(2)f(2 017)1 009.遷移探究2若將本例中“f(x2)f(x)”改為“f(x1)”，則結(jié)論如何？解f(x1)，f(x2)f(x1)1f(x)故函數(shù)f(x)的周期為2.由本例可知，f(0)f(1)f(2)f(2 017)1 009.規(guī)律方法1.判斷函數(shù)的周期只需證明f(xT)f(x)(T0)便可證明函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為T，根據(jù)函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)局部的性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì)2函數(shù)周期性的三個(gè)常用結(jié)論：(1)若f(xa)f(x)，則T2a，(2)若f(xa)，則T2a，(3)若f(xa)，則T2a(a0)變式訓(xùn)練3(2017·南通第一次學(xué)情檢測(cè))已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x4)f(x)，且x(0,2)時(shí)f(x)x21，則f(7)的值為_(kāi)2由f(x4)f(x)可知f(x)的周期T4，f(7)f(74×2)f(1)又f(x)為奇函數(shù)，故f(1)f(1)又f(x)x21，x(0,2)，故f(1)2.f(7)f(1)f(1)2.思想與方法1函數(shù)奇偶性的三個(gè)常用性質(zhì)(1)若奇函數(shù)f(x)在x0處有定義，則f(0)0.(2)若f(x)為偶函數(shù)，則f(|x|)f(x)(3)設(shè)f(x)，g(x)的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上：奇奇奇，奇×奇偶，偶偶偶，偶×偶偶，奇×偶奇2利用函數(shù)奇偶性可以解決以下問(wèn)題(1)求函數(shù)值；(2)求解析式；(3)求函數(shù)解析式中參數(shù)的值；(4)畫(huà)函數(shù)圖象，確定函數(shù)單調(diào)性3在解決具體問(wèn)題時(shí)，要注意結(jié)論“若T是函數(shù)的周期，則kT(kZ且k0)也是函數(shù)的周期”的應(yīng)用易錯(cuò)與防范1判斷函數(shù)的奇偶性，應(yīng)首先判斷函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件2f(0)0既不是f(x)是奇函數(shù)的充分條件，也不是必要條件應(yīng)用時(shí)要注意函數(shù)的定義域并進(jìn)行檢驗(yàn)3判斷分段函數(shù)的奇偶性時(shí)，要以整體的觀點(diǎn)進(jìn)行判斷，不能用函數(shù)在定義域某一區(qū)間上不是奇偶函數(shù)而否定函數(shù)在整個(gè)定義域上的奇偶性課時(shí)分層訓(xùn)練(六)A組基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)(建議用時(shí)：30分鐘)一、填空題1在函數(shù)yxcos x，yexx2，ylg，yxsin x中，偶函數(shù)的個(gè)數(shù)是_2yxcos x是奇函數(shù)，ylg和yxsin x是偶函數(shù)，yexx2是非奇非偶函數(shù)2函數(shù)ylog2的圖象關(guān)于_對(duì)稱(填序號(hào))原點(diǎn)；y軸；yx；yx.由0得1x1，即函數(shù)定義域?yàn)?1,1)，又f(x)log2log2f(x)，函數(shù)ylog2為奇函數(shù)3(2016·蘇州期中)定義在R上的奇函數(shù)f(x)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)2xx2，則f(1)f(0)f(3)_.2f(x)為奇函數(shù)，f(1)f(1)，f(0)0.又x>0時(shí)，f(x)2xx2，f(1)f(0)f(3)f(1)0f(3)210892.4已知f(x)在R上是奇函數(shù)，且滿足f(x4)f(x)，當(dāng)x(0,2)時(shí)，f(x)2x2，則f(2 019)_.2f(x4)f(x)，f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，f(2 019)f(504×43)f(3)f(1)又f(x)為奇函數(shù)，f(1)f(1)2×122，即f(2 019)2.5函數(shù)f(x)在R上為奇函數(shù)，且x0時(shí)，f(x)1，則當(dāng)x0時(shí)，f(x)_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172032】1f(x)為奇函數(shù)，x0時(shí)，f(x)1，當(dāng)x0時(shí)，x0，f(x)f(x)(1)，即x0時(shí)，f(x)(1)1.6(2017·安徽蚌埠二模)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172033】2由題意知，g(x)(x2)(xa)為偶函數(shù)，a2.7(2016·山東高考改編)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽.當(dāng)x<0時(shí)，f(x)x31；當(dāng)1x1時(shí)，f(x)f(x)；當(dāng)x>時(shí)，ff，則f(6)_.2由題意知當(dāng)x>時(shí)，ff，則當(dāng)x>0時(shí)，f(x1)f(x)又當(dāng)1x1時(shí)，f(x)f(x)，f(6)f(1)f(1)又當(dāng)x<0時(shí)，f(x)x31，f(1)2，f(6)2.8(2016·四川高考)若函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)4x，則ff(2)_.2f(x)是周期為2的奇函數(shù)，fff42，f(2)f(0)0，ff(2)202.9已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)x22x，若f(2a2)>f(a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172034】(2,1)f(x)x22x(x1)21在(0，)上單調(diào)遞增，又f(x)為R上的奇函數(shù)，故f(x)在(，0)上單調(diào)遞增f(x)在R上是單調(diào)遞增函數(shù)又f(2a2)>f(a)可知2a2>a，解得2<a<1.10(2017·泰州中學(xué)高三摸底考試)函數(shù)y1(xR)的最大值與最小值之和為_(kāi)2因?yàn)閥為奇函數(shù)，其最大值與最小值之和為0，因此函數(shù)y1(xR)的最大值與最小值之和為2.二、解答題11若f(x)，g(x)是定義在R上的函數(shù)，f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且f(x)g(x)，求f(x)的表達(dá)式解在f(x)g(x)中用x代替x，得f(x)g(x)，又f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，所以f(x)g(x)，聯(lián)立方程兩式相減得f(x).12已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)有最小正周期2，且當(dāng)x(0,1)時(shí)，f(x).(1)求f(1)和f(1)的值；(2)求f(x)在1,1上的解析式. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172035】解(1)f(x)是周期為2的奇函數(shù)，f(1)f(21)f(1)f(1)，f(1)0，f(1)0.(2)由題意知，f(0)0.當(dāng)x(1,0)時(shí)，x(0,1)由f(x)是奇函數(shù)，f(x)f(x)，綜上，在1,1上，f(x)B組能力提升(建議用時(shí)：15分鐘)1(2017·啟東中學(xué)高三第一次月考)已知函數(shù)f(x)在定義域2a,3上是偶函數(shù)，在0,3上單調(diào)遞減，并且f>f(m22m2)，則m的取值范圍是_因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在定義域2a,3上是偶函數(shù)，所以2a30，所以a5.所以f>f，即f(m21)>f(m22m2)，所以偶函數(shù)f(x)在3,0上單調(diào)遞增，而m21<0，m22m2(m1)21<0，所以由f(m21)>f(m22m2)得，解得1m.2設(shè)f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間1,1上，f(x)其中a，bR.若ff，則a3b的值為_(kāi)10因?yàn)閒(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，所以ff，且f(1)f(1)，故ff，從而a1，即3a2b2.由f(1)f(1)，得a1，即b2a.由得a2，b4，從而a3b10.3已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，(1)求實(shí)數(shù)m的值；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間1，a2上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)設(shè)x0，則x0，所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)為奇函數(shù)，所以f(x)f(x)，于是x0時(shí)，f(x)x22xx2mx，所以m2.(2)由(1)知f(x)在1,1上是增函數(shù)，要使f(x)在1，a2上單調(diào)遞增結(jié)合f(x)的圖象(略)知所以1a3，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,34(2017·南京模擬)已知f(x)是偶函數(shù)，定義x0時(shí)，f(x)(1)求f(2)；(2)當(dāng)x<3時(shí)，求f(x)的解析式；(3)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間5,5上的最大值為g(a)，試求g(a)的表達(dá)式解(1)由題意，得f(2)f(2)2×(32)2.(2)當(dāng)x<3時(shí)，x>3，所以f(x)f(x)(x3)(ax)(x3)(ax)，所以當(dāng)x<3時(shí)，f(x)的解析式為f(x)(x3)(ax)(3)因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以它在區(qū)間5,5上的最大值即為它在區(qū)間0,5上的最大值當(dāng)x0時(shí)，f(x)當(dāng)a3時(shí)，f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以g(a)f.當(dāng)3<a<7時(shí) ，f(x)在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，所以此時(shí)只需比較f與f的大小()當(dāng)3<a6時(shí)，所以g(a)f；()當(dāng)6<a<7時(shí)，<，所以g(a)f.當(dāng)a7時(shí)，f(x)在，3,5上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且f<f(5)2(a5)，所以g(a)f(5)2(a5)綜上所述，g(a)