高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)教案： 立體幾何中的向量方法(一)——證明平行與垂直備考策略

立體幾何中的向量方法(一)證明平行與垂直備考策略主標(biāo)題：立體幾何中的向量方法(一)證明平行與垂直備考策略副標(biāo)題：通過考點(diǎn)分析高考命題方向，把握高考規(guī)律，為學(xué)生備考復(fù)習(xí)打通快速通道。關(guān)鍵詞：向量證平行，向量證垂直，向量求角，備考策略難度：2重要程度：4內(nèi)容考點(diǎn)一利用空間向量證明平行問題【例1】 如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別是C1C，B1C1的中點(diǎn)求證：MN平面A1BD.思路若用向量證明線面平行，可轉(zhuǎn)化為判定向量，或證明與平面A1BD的法向量垂直證明法一如圖所示，以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1，則可求得M，N，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)于是，(1,0,1)，(1,1,0)設(shè)平面A1BD的法向量是n(x，y，z)則n·0，且n·0，得取x1，得y1，z1.n(1，1，1)又·n·(1，1，1)0，n，又MN平面A1BD，MN平面A1BD.法二().，又MN與DA1不共線，MNDA1，又MN平面A1BD，A1D平面A1BD，MN平面A1BD.【備考策略】 (1)恰當(dāng)建立坐標(biāo)系，準(zhǔn)確表示各點(diǎn)與相關(guān)向量的坐標(biāo)，是運(yùn)用向量法證明平行和垂直的關(guān)鍵(2)證明直線與平面平行，只須證明直線的方向向量與平面的法向量的數(shù)量積為零，或證直線的方向向量與平面內(nèi)的不共線的兩個(gè)向量共面，或證直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行，然后說明直線在平面外即可這樣就把幾何的證明問題轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算考點(diǎn)二利用空間向量證明垂直問題【例2】如圖，在三棱錐PABC中，ABAC，D為BC的中點(diǎn)，PO平面ABC，垂足O落在線段AD上已知BC8，PO4，AO3，OD2.(1)證明：APBC；(2)若點(diǎn)M是線段AP上一點(diǎn)，且AM3.試證明平面AMC平面BMC.證明(1)如圖所示，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以射線OP為z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.則O(0,0,0)，A(0，3,0)，B(4,2,0)，C(4,2,0)，P(0,0,4)于是(0,3,4)，(8,0,0)，·(0,3,4)·(8,0,0)0，所以，即APBC.(2)由(1)知|AP|5，又|AM|3，且點(diǎn)M在線段AP上，又(8,0,0)，(4,5,0)，(4，5,0)，則·(0,3,4)·0，即APBM，又根據(jù)(1)的結(jié)論知APBC，AP平面BMC，于是AM平面BMC.又AM平面AMC，故平面AMC平面BCM.【備考策略】(1)利用已知的線面垂直關(guān)系構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，準(zhǔn)確寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而將幾何證明轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算其中靈活建系是解題的關(guān)鍵(2)其一證明直線與直線垂直，只需要證明兩條直線的方向向量垂直；其二證明面面垂直：證明兩平面的法向量互相垂直；利用面面垂直的判定定理，只要能證明一個(gè)平面內(nèi)的一條直線的方向向量為另一個(gè)平面的法向量即可 考點(diǎn)三利用空間向量解決探索性問題【例3】 如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，E為CD的中點(diǎn)(1)求證：B1EAD1；(2)在棱AA1上是否存在一點(diǎn)P，使得DP平面B1AE？若存在，求AP的長；若不存在，說明理由思路由長方體特征，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系，從而將幾何位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算第(1)問證明·0，第(2)問是存在性問題，由與平面B1AE的法向量垂直，通過計(jì)算作出判定(1)證明以A為原點(diǎn)，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)設(shè)ABa，則A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E，B1(a,0,1)故(0,1,1)，(a,0,1)，.·×01×1(1)×10，B1EAD1.(2)解假設(shè)在棱AA1上存在一點(diǎn)P(0,0，z0)使得DP平面B1AE，此時(shí)(0，1，z0)又設(shè)平面B1AE的法向量n(x，y，z)n平面B1AE，n，n，得取x1，得平面B1AE的一個(gè)法向量n要使DP平面B1AE，只要n，有az00，解得z0.又DP平面B1AE，存在點(diǎn)P，滿足DP平面B1AE，此時(shí)AP.【備考策略】 立體幾何開放性問題求解方法有以下兩種：(1)根據(jù)題目的已知條件進(jìn)行綜合分析和觀察猜想，找出點(diǎn)或線的位置，然后再加以證明，得出結(jié)論；(2)假設(shè)所求的點(diǎn)或線存在，并設(shè)定參數(shù)表達(dá)已知條件，根據(jù)題目進(jìn)行求解，若能求出參數(shù)的值且符合已知限定的范圍，則存在這樣的點(diǎn)或線，否則不存在本題是設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，借助向量運(yùn)算，判定關(guān)于z0的方程是否有解