（浙江專用）2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)精準(zhǔn)提分 第二篇 重點(diǎn)專題分層練中高檔題得高分 第19練 圓錐曲線熱點(diǎn)問(wèn)題試題.docx

第19練圓錐曲線熱點(diǎn)問(wèn)題明晰考情1.命題角度：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是高考必考題，范圍、最值問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)；圓錐曲線中的證明問(wèn)題是常見(jiàn)的題型.2.題目難度：中高檔難度考點(diǎn)一直線與圓錐曲線方法技巧對(duì)于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題，一般要把圓錐曲線的方程與直線方程聯(lián)立來(lái)處理(1)設(shè)直線方程，在直線的斜率不確定的情況下要分斜率存在和不存在兩種情況進(jìn)行討論，或者將直線方程設(shè)成xmyb(斜率不為0)的形式(2)聯(lián)立直線方程與曲線方程并將其轉(zhuǎn)化成一元二次方程，利用方程根的判別式或根與系數(shù)的關(guān)系得到交點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)的關(guān)系(3)一般涉及弦長(zhǎng)的問(wèn)題，要用到弦長(zhǎng)公式|AB|x1x2|或|AB|y1y2|.1已知F是橢圓1的右焦點(diǎn)，過(guò)F的直線l與橢圓相交于A(x1，y1)，B(x1，y2)兩點(diǎn)(1)若x1x23，求弦AB的長(zhǎng)；(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，AOB，滿足3tan4，求直線l的方程解(1)由題意可知過(guò)F的直線l斜率存在，設(shè)直線l的方程為yk(x2)，聯(lián)立得(3k21)x212k2x12k260，>0顯然成立x1x23，3，k21，則x1x2，|AB|x1x2|.(2)3tan4，|sin，SAOB，即2|y1y2|，由題意知，l的斜率不為0，故設(shè)直線l的方程為xmy2，聯(lián)立得(m23)y24my20，>0顯然成立y1y2，y1y2，(y1y2)24y1y2，即m43m20，m0或m，直線l的方程為x2或xy20.2設(shè)A，B為曲線C：y上兩點(diǎn)，A與B的橫坐標(biāo)之和為4.(1)求直線AB的斜率；(2)設(shè)M為曲線C上一點(diǎn)，C在M處的切線與直線AB平行，且AMBM，求直線AB的方程解(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，y1，y2，x1x24，于是直線AB的斜率k1.(2)由y，得y.設(shè)M(x3，y3)，由題設(shè)知1，解得x32，于是M(2,1)設(shè)直線AB的方程為yxm，故線段AB的中點(diǎn)為N(2,2m)，|MN|m1|.將yxm代入y，得x24x4m0.當(dāng)16(m1)>0，即m>1時(shí)，x1,222.從而|AB|x1x2|4.由題設(shè)知|AB|2|MN|，即42(m1)，解得m7或m1(舍)所以直線AB的方程為xy70.3設(shè)橢圓1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，離心率為.已知A是拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)，F(xiàn)到拋物線的準(zhǔn)線l的距離為.(1)求橢圓的方程和拋物線的方程；(2)設(shè)l上兩點(diǎn)P，Q關(guān)于x軸對(duì)稱，直線AP與橢圓相交于點(diǎn)B(點(diǎn)B異于點(diǎn)A)，直線BQ與x軸相交于點(diǎn)D.若APD的面積為，求直線AP的方程解(1)設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(c，0)，依題意，得，a，ac，解得a1，c，p2，于是b2a2c2.所以橢圓的方程為x21，拋物線的方程為y24x.(2)設(shè)直線AP的方程為xmy1(m0)，與直線l的方程x1聯(lián)立，可得點(diǎn)P，故點(diǎn)Q.將xmy1與x21聯(lián)立，消去x，整理得(3m24)y26my0，解得y0或y.由點(diǎn)B異于點(diǎn)A，可得點(diǎn)B，由Q，可得直線BQ的方程為(x1)0，令y0，解得x，故點(diǎn)D.所以|AD|1.又因?yàn)锳PD的面積為，故，整理得3m22|m|20，解得|m|，所以m.所以直線AP的方程為3xy30或3xy30.考點(diǎn)二圓錐曲線中的范圍、最值問(wèn)題方法技巧求圓錐曲線中范圍、最值的主要方法(1)幾何法：若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)數(shù)形結(jié)合求解(2)代數(shù)法：若題目中的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，或者不等關(guān)系，或者已知參數(shù)與新參數(shù)之間的等量關(guān)系等，則利用代數(shù)法求參數(shù)的范圍4已知橢圓E：1的焦點(diǎn)在x軸上，A是E的左頂點(diǎn)，斜率為k(k>0)的直線交E于A，M兩點(diǎn)，點(diǎn)N在E上，MANA.(1)當(dāng)t4，|AM|AN|時(shí)，求AMN的面積；(2)當(dāng)2|AM|AN|時(shí)，求k的取值范圍解(1)設(shè)M(x1，y1)，則由題意知y1>0.當(dāng)t4時(shí)，橢圓E的方程為1，A(2,0)由|AM|AN|及橢圓的對(duì)稱性知，直線AM的傾斜角為.因此直線AM的方程為yx2.將xy2代入1，得7y212y0，解得y0或y，所以y1.因此AMN的面積SAMN2.(2)由題意知t>3，k>0，A(，0)，設(shè)M(x1，y1)，將直線AM的方程yk(x)代入1，得(3tk2)x22tk2xt2k23t0.由x1()，得x1，故|AM|x1|.由題設(shè)，直線AN的方程為y(x)，故同理可得|AN|.由2|AM|AN|，得，即(k32)t3k(2k1)，當(dāng)k時(shí)上式不成立，因此t.t>3等價(jià)于<0，即<0.由此得或解得<k<2.因此k的取值范圍是(，2)5已知點(diǎn)A(0，2)，橢圓E：1(a>b>0)的離心率為，F(xiàn)是橢圓E的右焦點(diǎn)，直線AF的斜率為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)求E的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線l與E相交于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)OPQ的面積最大時(shí)，求l的方程解(1)設(shè)F(c，0)，由條件知，得c.又，所以a2，b2a2c21.故E的方程為y21.(2)當(dāng)lx軸時(shí)不合題意，故設(shè)l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)將ykx2代入y21，得(14k2)x216kx120.當(dāng)16(4k23)>0，即k2>時(shí)，x1,2.從而|PQ|x1x2|.又點(diǎn)O到直線PQ的距離d，所以O(shè)PQ的面積SOPQd|PQ|.設(shè)t，則t>0，SOPQ1.當(dāng)且僅當(dāng)t2，即k時(shí)等號(hào)成立，且滿足>0.所以當(dāng)OPQ的面積最大時(shí)，l的方程為2yx40.6(2016浙江)如圖所示，設(shè)拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)為F，拋物線上的點(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離等于|AF|1.(1)求p的值；(2)若直線AF交拋物線于另一點(diǎn)B，過(guò)B與x軸平行的直線和過(guò)F與AB垂直的直線交于點(diǎn)N，AN與x軸交于點(diǎn)M，求M的橫坐標(biāo)的取值范圍解(1)由題意可得，拋物線上點(diǎn)A到焦點(diǎn)F的距離等于點(diǎn)A到直線x1的距離，由拋物線的定義得1，即p2.(2)由(1)得，拋物線方程為y24x，F(xiàn)(1,0)，可設(shè)A(t2，2t)，t0，t1，B(xB，yB)AF不垂直于y軸，可設(shè)直線AF：xsy1(s0)，由消去x得y24sy40，>0顯然成立故2tyB4，yB，B.又直線AB的斜率為，故直線FN的斜率為，從而得直線FN：y(x1)，直線BN：y.N.設(shè)M(m，0)，由A，M，N三點(diǎn)共線得，于是m2，m<0或m>2.經(jīng)檢驗(yàn)知，m<0或m>2滿足題意綜上，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的取值范圍是(，0)(2，)考點(diǎn)三圓錐曲線中的證明問(wèn)題方法技巧圓錐曲線中的證明問(wèn)題是轉(zhuǎn)化與化歸思想的充分體現(xiàn)無(wú)論證明什么結(jié)論，要對(duì)已知條件進(jìn)行化簡(jiǎn)，同時(shí)對(duì)要證結(jié)論合理轉(zhuǎn)化，尋求條件和結(jié)論間的聯(lián)系，從而確定解題思路及轉(zhuǎn)化方向7(2018全國(guó)) 設(shè)橢圓C：y21的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0)(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線AM的方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：OMAOMB.(1)解由已知得F(1,0)，l的方程為x1.由已知可得，點(diǎn)A的坐標(biāo)為或.又M(2,0)，所以AM的方程為yx或yx.即xy20或xy20.(2)證明當(dāng)l與x軸重合時(shí)，OMAOMB0.當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，OM為AB的垂直平分線，所以O(shè)MAOMB.當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為yk(x1)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1，x2，直線MA，MB的斜率之和kMAkMB.由y1kx1k，y2kx2k，得kMAkMB.將yk(x1)代入y21，得(2k21)x24k2x2k220，由題意知0恒成立，所以x1x2，x1x2.則2kx1x23k(x1x2)4k0，從而kMAkMB0，故MA，MB的傾斜角互補(bǔ)所以O(shè)MAOMB.綜上，OMAOMB.8已知橢圓C：1(a>b>0)的焦距為2，且C過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)B1，B2分別是橢圓C的下頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，P是橢圓上異于B1，B2的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PMy軸于M，N為線段PM的中點(diǎn)，直線B2N與直線y1交于點(diǎn)D，E為線段B1D的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：ONEN.(1)解由題設(shè)知焦距為2，所以c. 又因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)，所以代入橢圓方程得1，因?yàn)閍2b2c2，解得a2，b1, 故所求橢圓C的方程是y21. (2)證明設(shè)P(x0，y0)，x00，則M(0，y0)，N.因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓C上，所以y1.即x44y. 又B2(0,1)，所以直線B2N的方程為y1x.令y1，得x，所以D.又B1(0，1)，E為線段B1D的中點(diǎn)，所以E. 所以，.因?yàn)閥0(y01)yy01y01y01y00，所以，即ONEN.9已知拋物線C：y22px過(guò)點(diǎn)P(1,1)，過(guò)點(diǎn)作直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線分別與直線OP，ON交于點(diǎn)A，B，其中O為原點(diǎn)(1)求拋物線C的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；(2)求證：A為線段BM的中點(diǎn)(1)解由拋物線C：y22px過(guò)點(diǎn)P(1,1)，得p，所以拋物線C的方程為y2x，拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為x.(2)證明由題意，直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為ykx(k0)，l與拋物線C的交點(diǎn)為M(x1，y1)，N(x2，y2)由得4k2x2(4k4)x10，則x1x2，x1x2.(4k4)216k216k232k1616k232k16>0，所以k<.因?yàn)辄c(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,1)，所以直線OP的方程為yx，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x1，x1)直線ON的方程為yx，點(diǎn)B的坐標(biāo)為.因?yàn)閥12x10，所以y12x1，故A為線段BM的中點(diǎn)例(15分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，且點(diǎn)在橢圓C上(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)橢圓E：1，P為橢圓C上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線ykxm交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，射線PO交橢圓E于點(diǎn)Q.求的值；求ABQ面積的最大值審題路線圖(1)(2)規(guī)范解答評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)解(1)由題意知1.又，a2b2c2，解得a24，b21.所以橢圓C的方程為y21.3分(2)由(1)知橢圓E的方程為1.設(shè)P(x0，y0)，(0)，由題意知Q(x0，y0)因?yàn)閥1，又1，即1，所以2，即2.7分設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)將ykxm代入橢圓E的方程，可得(14k2)x28kmx4m2160，由0，可得m2416k2，(*)則有x1x2，x1x2.所以|x1x2|.10分因?yàn)橹本€ykxm與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，m)，所以O(shè)AB的面積S|m|x1x2|2.12分設(shè)t，將ykxm代入橢圓C的方程，可得(14k2)x28kmx4m240，由0，可得m214k2.(*)由(*)和(*)可知0t1，因此S22，13分故0S2，當(dāng)且僅當(dāng)t1，即m214k2時(shí)取得最大值2.14分由知，ABQ的面積為3S，所以ABQ面積的最大值為6.15分構(gòu)建答題模板第一步求曲線方程：根據(jù)基本量法確定圓錐曲線的方程；第二步聯(lián)立消元：將直線方程和圓錐曲線方程聯(lián)立，得到方程Ax2BxC0，然后研究判別式，利用根與系數(shù)的關(guān)系；第三步找關(guān)系：從題設(shè)中尋求變量的等量或不等關(guān)系；第四步建函數(shù)：對(duì)范圍最值類問(wèn)題，要建立關(guān)于目標(biāo)變量的函數(shù)關(guān)系；第五步得范圍：通過(guò)求解函數(shù)值域或解不等式得目標(biāo)變量的范圍或最值，要注意變量條件的制約，檢查最值取得的條件1如圖，設(shè)點(diǎn)A，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓1的左頂點(diǎn)和左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作斜率為k的直線交橢圓于另一點(diǎn)B，連接BF2并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)C.(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)(用k表示)；(2)若F1CAB，求k的值解(1)設(shè)點(diǎn)B(xB，yB)，直線AB的方程為yk(x2)，聯(lián)立1，得(34k2)x216k2x16k2120，(16k2)24(34k2)(16k212)0，2xB，即xB.yBk(xB2)，即B.(2)易知F2(1,0)，直線BF2，CF1的方程分別為y(x1)，y(x1)由解得C(8k21，8k)，代入1，得192k4208k290，即(24k21)(8k29)0，得k2，所以k.2設(shè)橢圓1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，離心率為，過(guò)點(diǎn)F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)A，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F且斜率為k的直線與橢圓交于C，D兩點(diǎn)若8，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求OCD的面積解(1)因?yàn)檫^(guò)焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為，所以.因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，又a2b2c2，可解得b，c1，a.所以橢圓的方程為1.(2)由(1)可知F(1,0)，則直線CD的方程為yk(x1)聯(lián)立消去y得(23k2)x26k2x3k260.設(shè)C(x1，y1)，D(x2，y2)，所以x1x2，x1x2.又A(，0)，B(，0)，所以(x1，y1)(x2，y2)(x2，y2)(x1，y1)6(22k2)x1x22k2(x1x2)2k268，解得k.從而x1x2，x1x20.所以|x1x2|，|CD|x1x2|.而原點(diǎn)O到直線CD的距離d，所以O(shè)CD的面積S|CD|d.3(2018金華浦江適應(yīng)性考試)如圖，設(shè)橢圓C：1(a>b>0)，左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，上頂點(diǎn)為D，離心率為，且2.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)E是x軸正半軸上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E任作直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，如果是定值，試確定點(diǎn)E的位置，并求SDAESDBE的最大值解(1)由題意知，D(0，b)，F(xiàn)1(c，0)，F(xiàn)2(c，0)，由e，得.由2，得c2b22，又a2b2c2，a，b，c2.橢圓C的方程為1.(2)當(dāng)l的斜率不為0時(shí)，設(shè)AB的方程為xtym，由消去x，得(t23)y22tmym260，4t2m24(m26)(t23)4(6t2183m2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1y2，y1y2，m，它滿足>0，E(，0)，為定值2.當(dāng)E為(，0)，l：y0時(shí)，滿足2，此時(shí)SDAESDBE()().當(dāng)l的斜率不為0時(shí)，y1y2，y1y2，由D到AB的距離d，|AE|y1|，|BE|y2|，得SDAESDBEd|AE|.令ut，則t，則SDAESDBE，當(dāng)且僅當(dāng)，即u3，t時(shí)，等號(hào)成立故(SDAESDBE)max.4(2017浙江)如圖，已知拋物線x2y，點(diǎn)A，B，拋物線上的點(diǎn)P(x，y)，過(guò)點(diǎn)B作直線AP的垂線，垂足為Q.(1)求直線AP斜率的取值范圍；(2)求|PA|PQ|的最大值解(1)設(shè)直線AP的斜率為k，kx，因?yàn)閤.所以直線AP斜率的取值范圍為(1,1)(2)聯(lián)立直線AP與BQ的方程解得點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)是xQ.因?yàn)閨PA|(k1)，|PQ|(xQx)，所以|PA|PQ|(k1)(k1)3，令f(k)(k1)(k1)3，因?yàn)閒(k)(4k2)(k1)2，所以f(k)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減因此當(dāng)k時(shí)，|PA|PQ|取得最大值.