(江蘇專用)2019高考數(shù)學二輪復習 第二篇 第14練 不等式試題 理.docx
第14練不等式明晰考情1.命題角度:不等式的性質(zhì),“二次函數(shù)、二次方程、二次不等式”的相互轉(zhuǎn)化,基本不等式及其應(yīng)用,線性規(guī)劃.2.題目難度:基本不等式和三個“二次”高考中會綜合考查,中高檔難度;不等式的性質(zhì)和線性規(guī)劃為基礎(chǔ)題,中低檔難度.考點一不等關(guān)系與不等式的性質(zhì)要點重組不等式的常用性質(zhì)(1)如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.(2)如果a>b>0,那么an>bn(nN,n2).(3)如果a>b>0,那么>(nN,n2).1.若m3且n2,則Mm2n26m4n的值與13的大小關(guān)系為_.答案M>13解析m3且n2,M(m3)2(n2)213>13.2.(2018無錫月考)若P,Q(a>0),則P,Q的大小關(guān)系是_.答案P<Q解析QP>0,所以P<Q.3.已知1xy4,且2xy3,則z2x3y的取值范圍是_.(用區(qū)間表示)答案3,8解析z(xy)(xy),3(xy)(xy)8,z的取值范圍是3,8.4.對于實數(shù)a,b,c,下列命題中:若a>b,則ac>bc;若a>b,則ac2>bc2;若a<b<0,則a2>ab>b2;若a<b<0,則>;若a<b<0,則>.其中真命題的序號為_.答案解析因為未知數(shù)c可以是正數(shù)、負數(shù)或零,所以無法確定ac與bc的大小,所以是假命題;因為c20,所以只有c20時才正確.當c0時,ac2bc2,所以是假命題;由a<b,a<0,得a2>ab;a<b,b<0ab>b2,所以是真命題;由性質(zhì)定理知,由a<b<0得>,命題是真命題;由a<b<0,得得得>,命題是假命題.考點二不等式的解法方法技巧(1)解一元二次不等式的步驟一化(二次項系數(shù)化為正),二判(看判別式),三解(解對應(yīng)的一元二次方程),四寫(根據(jù)“大于取兩邊,小于取中間”寫出不等式解集).(2)可化為0(或0)型的分式不等式,轉(zhuǎn)化為一元二次不等式求解.(3)指數(shù)不等式、對數(shù)不等式可利用函數(shù)單調(diào)性求解.5.函數(shù)y的定義域是_.答案3,1解析要使原函數(shù)有意義,需且僅需32xx20.解得3x1.故函數(shù)的定義域為3,1.6.(2018啟東檢測)若關(guān)于x的不等式2x22ax5a的解集是1,3,則實數(shù)a的值是_.答案2解析因為關(guān)于x的不等式2x22ax5a的解集是1,3,所以2x22ax5恒成立且x22ax5a的兩根為1,3,所以所以a2.7.若關(guān)于x的不等式ex(x2axa)ea在a,)上有解,則正數(shù)a的取值范圍是_.答案解析令f(x)ex(x2axa),xa,),不等式ex(x2axa)ea在a,)上有解,即f(x)minea.f(x)exx2(a2)x2aex(x2)(xa),a>0,則f(x)>0在a,)上恒成立,則f(x)在a,)上單調(diào)遞增,所以f(x)minf(a)ea(2a2a)ea,所以2a2a10,解得1a,又a>0,則0<a,故正數(shù)a的取值范圍是.8.對于滿足0a4的實數(shù)a,使x2ax>4xa3恒成立的x的取值范圍是_.答案(,1)(3,)解析原不等式可化為x2ax4xa3>0,即a(x1)x24x3>0,令f(a)a(x1)x24x3,則函數(shù)f(a)a(x1)x24x3表示直線,要使f(a)a(x1)x24x3>0在a0,4上恒成立,則有f(0)>0,且f(4)>0,即x24x3>0且x21>0,解得x>3或x<1,即x的取值范圍為(,1)(3,).考點三基本不等式要點重組基本不等式:,a0,b0(1)利用基本不等式求最值的條件:一正二定三相等.(2)求最值時若連續(xù)利用兩次基本不等式,必須保證兩次等號成立的條件一致.9.若正數(shù)a,b滿足1,則的最小值是_.答案6解析正數(shù)a,b滿足1,abab,1>0,1>0,b>1,a>1,則226(當且僅當a,b4時等號成立),的最小值為6.10.(2018江蘇鹽城市阜寧中學調(diào)研)已知2且b>1,則b4a的最小值為_.答案解析令m,n,則a1,b1,mn2,由b>1得,m>0,n>0,b4a143333,當且僅當m4,n2時等號成立.b4a的最小值為.11.已知a0,b0,若不等式0恒成立,則實數(shù)m的最大值為_.答案16解析因為a0,b0,所以由0恒成立,得m(3ab)10恒成立.因為26,當且僅當ab時等號成立,所以1016,所以m16,即實數(shù)m的最大值為16.12.(2018鹽城月考)若x>0,y>0,且xy9,則的最大值為_.答案解析由題意并根據(jù)基本不等式可知,(xy)149(當且僅當y2x時等號成立),由xy9,可得(xy)9,故(xy)9,所以299,解得,故的最大值為.考點四簡單的線性規(guī)劃問題方法技巧(1)求目標函數(shù)最值的一般步驟:一畫二移三求.(2)常見的目標函數(shù)截距型:zaxby;距離型:z(xa)2(yb)2;斜率型:z.13.(2018鹽城調(diào)研)若變量x,y滿足約束條件則z3xy的最大值為_.答案9解析作出可行域(陰影部分包含邊界)如圖所示:可知當目標函數(shù)經(jīng)過點A(2,3)時取得最大值,故最大值為9.14.設(shè)實數(shù)x,y滿足約束條件則z的最大值是_.答案1解析滿足條件的可行域如圖陰影部分(包括邊界)所示.z表示可行域內(nèi)的點(x,y)與(0,0)連線的斜率,由圖可知,最大值為kOA1.15.已知圓C:(xa)2(yb)21,平面區(qū)域:若圓心C,且圓C與x軸相切,則a2b2的最大值為_.答案37解析如圖,由已知得平面區(qū)域為MNP內(nèi)部及邊界.圓C與x軸相切,b1.顯然當圓心C位于直線y1與xy70的交點(6,1)處時,|a|max6.a2b2的最大值為621237.16.已知實數(shù)x,y滿足若目標函數(shù)z2xy的最大值與最小值的差為2,則實數(shù)m的值為_.答案2解析表示的可行域如圖中陰影部分(包含邊界)所示.將直線l0:2xy0向上平移至過點A,B時,z2xy分別取得最小值與最大值.由得A(m1,m),由得B(4m,m),所以zmin2(m1)m3m2,zmax2(4m)m8m,所以zmaxzmin8m(3m2)2,解得m2.1.在區(qū)間(1,2)上不等式x2mx40有解,則m的取值范圍為_.答案(5,)解析由題意知,m在(1,2)上有解,又函數(shù)t,x(1,2)的值域為(5,4),m5.2.已知a>0,b>0,則的最小值是_.答案2解析當abab1時,2,當且僅當ab1時等號都成立;當ab<ab1時,>2,故的最小值是2.3.當x(0,1)時,不等式m恒成立,則m的最大值為_.答案9解析方法一(函數(shù)法)由已知不等式可得m,設(shè)f(x),x(0,1).令t3x1,則x,t(1,4),則函數(shù)f(x)可轉(zhuǎn)化為g(t),因為t(1,4),所以4t<5,051,9,即g(t)9,),故m的最大值為9.方法二(基本不等式法)由已知不等式可得m,因為x(0,1),則1x(0,1),設(shè)y1x(0,1),顯然xy1.故5529,當且僅當,即y,x時等號成立.所以要使不等式m恒成立,m的最大值為9.4.設(shè)實數(shù)x,y滿足條件若目標函數(shù)zaxby(a0,b0)的最大值為12,則的最小值為_.答案4解析畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分(包括邊界)所示,當直線zaxby(a0,b0)過直線xy20與直線3xy60的交點(4,6)時,目標函數(shù)zaxby(a0,b0)取得最大值12,即2a3b6,則24,當且僅當,即時取等號.1.已知三個正數(shù)a,b,c成等比數(shù)列,則的最小值為_.答案解析由條件可知a0,b0,c0,且b2ac,即b,故2,令t,則t2,所以yt在2,)上單調(diào)遞增,故其最小值為2.2.設(shè)函數(shù)f(x),則不等式f(x)f的解集是_.答案解析函數(shù)f(x)的定義域為(1,1)且在(1,1)上單調(diào)遞增,f(x)f(x),所以f()ff()f1,解得x.3.(2018江蘇如東高級中學月考)關(guān)于x的不等式axb>0的解集是,則關(guān)于x的不等式>0的解集是_.答案(1,2)解析由題意可得ab0,且a<0,所以不等式>0的解集為(1,2).4.(2018江蘇南京金陵中學月考)若實數(shù)x,y滿足條件則z4x2y的取值范圍為_.答案5,13解析x,y滿足條件即畫出可行域如圖陰影部分包含邊界.根據(jù)可行域可知,目標函數(shù)z4x2y在A點處取得最小值,在C點處取得最大值,A,C,所以z4x2y的取值范圍為5,13.5.若實數(shù)x,y滿足xy3x3,則的最小值為_.答案8解析方法一因為實數(shù)x,y滿足xy3x3,所以y3(y3),所以y3y36268,當且僅當y3,即y4時取等號,此時x,所以的最小值為8.方法二因為實數(shù)x,y滿足xy3x3,所以y3(y3),y360,所以66268,當且僅當6,即x時取等號,此時y4,所以的最小值為8.6.若變量x,y滿足條件則(x2)2y2的最小值為_.答案5解析如圖所示,作出不等式組所表示的可行域(陰影部分).設(shè)z(x2)2y2,則z的幾何意義為可行域內(nèi)的點到定點D(2,0)的距離的平方,由圖象可知,C,D兩點間的距離最小,此時z最小,由可得即C(0,1).所以zmin(02)212415.7.已知a>0,b>1,ab2,則的最小值是_.答案解析22,當且僅當,即b12a,又ab2,所以a,b時取等號.8.(2018連云港檢測)已知函數(shù)f(x),若a<b,且f(a)f(b),則a2b的最大值為_.答案83log23解析f(x)|2x11|,a<b,f(a)f(b),0<a<1且b>1,由,得12a12b11,2a12b12,2a12,所以233,可得2a2b3,a2b3log253log23,即a2b83log23,當且僅當2a1,ab1時等號成立,即a2b的最大值為83log23.9.(2018江蘇溧水七校聯(lián)考)已知直線axby1(其中a,b為非零實數(shù))與圓x2y24相交于A,B兩點,O為坐標原點,且AOB,則的最小值為_.答案8解析直線axby1(其中a,b為非零實數(shù))與圓x2y24相交于A,B兩點,且AOB,圓心O(0,0)到直線axby1的距離d1,化為2a2b21.(2a2b2)22428,當且僅當b22a2時取等號.的最小值為 8.10.在平行四邊形ABCD中,BAD60,AB1,AD,P為平行四邊形內(nèi)一點,且AP,若(,R),則的最大值為_.答案解析由題意得(>0,>0),|2()22|22|222|22|22|cosBAD.又AP,BAD60,AB1,AD,222.()222222,解得()2,當且僅當且222,即,時等號成立.故的最大值為.11.若不等式(1)na3對任意的正整數(shù)n恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是_.答案解析當n為奇數(shù)時,不等式可化為a<3,即a>3,要使得不等式對任意正整數(shù)n恒成立,則a3,當n為偶數(shù)時,不等式可化為a<3,要使得不等式對任意正整數(shù)n恒成立,則a<min3,綜上,3a<.即實數(shù)a的取值范圍是.12.(2018連云港檢測)已知實數(shù)a,b滿足ab1,則的最大值是_.答案4解析將原式展開得到(a31)(b31)a3b3b3a31a3b3a2abb21 a3b323ab1a3b33ab2,實數(shù)a,b滿足ab1,則ab,當且僅當ab時,取等號,設(shè)tab,則yt33t2,t,y3(t21),函數(shù)在上是增函數(shù),在上是減函數(shù),故yt33t2,t在t1處取得最大值4.13.(2018江蘇如東高級中學檢測)已知a, b均為正數(shù),且aba4b,則b2的最小值為_.答案6解析由a,b均為正數(shù),且aba4b,則1,又由b2b2b22,b2224,當且僅當,即a8,b2時取等號,所以216,當且僅當a8,b2時取等號,所以b28,所以b226.