(通用版)2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二篇 第30練 坐標(biāo)系與參數(shù)方程精準(zhǔn)提分練習(xí) 文.docx
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(通用版)2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二篇 第30練 坐標(biāo)系與參數(shù)方程精準(zhǔn)提分練習(xí) 文.docx
第30練坐標(biāo)系與參數(shù)方程明晰考情1.命題角度:高考主要考查平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換、直線和圓的極坐標(biāo)方程;參數(shù)方程與普通方程的互化,常見曲線的參數(shù)方程及參數(shù)方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用.以極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程與普通方程的互化為主要考查形式,同時(shí)考查直線與曲線位置關(guān)系等解析幾何知識(shí).2.題目難度:中檔難度.考點(diǎn)一曲線的極坐標(biāo)方程方法技巧(1)進(jìn)行極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化的關(guān)鍵是抓住互化公式:xcos,ysin,2x2y2,tan(x0),要注意,的取值范圍及其影響,靈活運(yùn)用代入法和平方法等技巧.(2)由極坐標(biāo)方程求曲線交點(diǎn)、距離等幾何問題時(shí),如果不能直接用極坐標(biāo)解決,可先轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程,然后求解.1.已知圓的極坐標(biāo)方程為4cos,圓心為C,點(diǎn)P的極坐標(biāo)為,求CP的長(zhǎng).解由4cos,得24cos,即x2y24x,即(x2)2y24,圓心C(2,0),又由點(diǎn)P的極坐標(biāo)為,可得點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(2,2),|CP|2.2.在極坐標(biāo)系中,曲線C1:(cossin)1與曲線C2:a(a>0)的一個(gè)交點(diǎn)在極軸上,求a的值.解(cossin)1,即cossin1對(duì)應(yīng)的普通方程為xy10,a(a>0)對(duì)應(yīng)的普通方程為x2y2a2.在xy10中,令y0,得x.將代入x2y2a2,得a.3.在以O(shè)為極點(diǎn)的極坐標(biāo)系中,直線l與曲線C的極坐標(biāo)方程分別是cos3和sin28cos,直線l與曲線C交于點(diǎn)A,B,求線段AB的長(zhǎng).解coscoscossinsincossin3,直線l對(duì)應(yīng)的直角坐標(biāo)方程為xy6.又sin28cos,2sin28cos,曲線C對(duì)應(yīng)的直角坐標(biāo)方程是y28x.解方程組得或不妨取A(2,4),B(18,12),|AB|16.即線段AB的長(zhǎng)為16.考點(diǎn)二參數(shù)方程及其應(yīng)用要點(diǎn)重組過定點(diǎn)P0(x0,y0),傾斜角為的直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為(t為參數(shù)),t的幾何意義是的數(shù)量,即|t|表示P0到P的距離,t有正負(fù)之分.使用該式時(shí)直線上任意兩點(diǎn)P1,P2對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,則|P1P2|t1t2|,P1P2的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為(t1t2).方法技巧(1)參數(shù)方程化為普通方程:由參數(shù)方程化為普通方程就是要消去參數(shù),消參數(shù)時(shí)常常采用代入消元法、加減消元法、乘除消元法、三角代換法,且消參數(shù)時(shí)要注意參數(shù)的取值范圍對(duì)x,y的限制.(2)在與直線、圓、橢圓有關(guān)的題目中,參數(shù)方程的使用會(huì)使問題的解決事半功倍,尤其是求取值范圍和最值問題,可將參數(shù)方程代入相關(guān)曲線的普通方程中,根據(jù)參數(shù)的取值條件求解.4.已知曲線C:1,直線l:(t為參數(shù)).(1)寫出曲線C的參數(shù)方程,直線l的普通方程;(2)過曲線C上任意一點(diǎn)P作與l夾角為30的直線,交l于點(diǎn)A,求|PA|的最大值與最小值.解(1)曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)).直線l的普通方程為2xy60.(2)曲線C上任意一點(diǎn)P(2cos,3sin)到l的距離為d|4cos3sin6|,則|PA|5sin()6|,其中為銳角,且tan.當(dāng)sin()1時(shí),|PA|取得最大值,最大值為.當(dāng)sin()1時(shí),|PA|取得最小值,最小值為.5.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線l經(jīng)過點(diǎn)P(1,2),傾斜角.(1)寫出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線l的參數(shù)方程;(2)設(shè)直線l與圓C相交于A,B兩點(diǎn),求|PA|PB|的值.解(1)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y216.直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),即(t為參數(shù)).(2)把直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù))代入x2y216,得2216,即t2(2)t110.所以t1t211,即|PA|PB|t1t2|11.6.已知橢圓C:1,直線l:(t為參數(shù)).(1)寫出橢圓C的參數(shù)方程及直線l的普通方程;(2)設(shè)A(1,0),若橢圓C上的點(diǎn)P滿足到點(diǎn)A的距離與其到直線l的距離相等,求點(diǎn)P的坐標(biāo).解(1)橢圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線l的普通方程為xy90.(2)設(shè)P(2cos,sin),則|AP|2cos,點(diǎn)P到直線l的距離d.由|AP|d,得3sin4cos5,又sin2cos21,得sin,cos.故P.考點(diǎn)三極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用方法技巧(1)解決極坐標(biāo)與參數(shù)方程的綜合問題的關(guān)鍵是掌握極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化,參數(shù)方程與普通方程的互化.涉及圓、圓錐曲線上的點(diǎn)的最值問題,往往通過參數(shù)方程引入三角函數(shù),利用三角函數(shù)的最值求解.(2)數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用,即充分利用參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義,或者利用和的幾何意義,直接求解,能達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的解題目的.7.(2017全國(guó))在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為 (為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).(1)若a1,求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo);(2)若C上的點(diǎn)到l的距離的最大值為,求a.解(1)曲線C的普通方程為y21.當(dāng)a1時(shí),直線l的普通方程為x4y30.由解得或從而C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)是(3,0),.(2)直線l的普通方程是x4y4a0,故C上的點(diǎn)(3cos,sin)到l距離d.當(dāng)a4時(shí),d的最大值為.由題設(shè)得,所以a8;當(dāng)a<4時(shí),d的最大值為.由題設(shè)得,所以a16.綜上,a8或a16.8.已知曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為sin4.(1)寫出曲線C的極坐標(biāo)方程和直線l的普通方程;(2)若射線與曲線C交于O,A兩點(diǎn),與直線l交于B點(diǎn),射線與曲線C交于O,P兩點(diǎn),求PAB的面積.解(1)由(為參數(shù)),消去,得普通方程為(x2)2y24.從而曲線C的極坐標(biāo)方程為24cos0,即4cos,直線l的極坐標(biāo)方程為sin4,即sincos4,直線l的直角坐標(biāo)方程為xy80.(2)依題意知,A,B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為,聯(lián)立射線與曲線C的極坐標(biāo)方程,得P點(diǎn)極坐標(biāo)為,|AB|2,SPAB22sin2.9.在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為 (為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為sin2.(1)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)點(diǎn)P在C1上,點(diǎn)Q在C2上,求|PQ|的最小值及此時(shí)P的直角坐標(biāo).解(1)C1的普通方程為y21.C2的直角坐標(biāo)方程為xy40.(2)由題意,可設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(cos,sin).因?yàn)镃2是直線,所以|PQ|的最小值即為點(diǎn)P到C2的距離d()的最小值,d().當(dāng)且僅當(dāng)2k(kZ)時(shí),d()取得最小值,最小值為,此時(shí)P的直角坐標(biāo)為.典例(10分)在平面直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知直線l與橢圓C的極坐標(biāo)方程分別為cos2sin0和2.(1)求直線l與橢圓C的直角坐標(biāo)方程;(2)若Q是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn),求點(diǎn)Q到直線l距離的最大值.審題路線圖規(guī)范解答評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)解(1)由cos2sin0,得cos2sin0,即x2y0,所以直線l的直角坐標(biāo)方程為x2y0.由2,得2cos242sin24,即x24y24,所以y21.所以橢圓C的直角坐標(biāo)方程為y21.4分(2)因?yàn)闄E圓C:y21的參數(shù)方程為(為參數(shù)),6分可設(shè)Q(2cos,sin),因此點(diǎn)Q到直線l:x2y0的距離d,8分所以當(dāng)k,kZ時(shí),d取得最大值.故點(diǎn)Q到直線l的距離的最大值為.10分構(gòu)建答題模板第一步互化:將極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化;第二步引參:引進(jìn)參數(shù),建立橢圓的參數(shù)方程;第三步列式:利用距離公式求出距離表達(dá)式;第四步求最值:利用三角函數(shù)求出距離的最值.1.(2018全國(guó))在平面直角坐標(biāo)系xOy中,O的參數(shù)方程為(為參數(shù)),過點(diǎn)(0,)且傾斜角為的直線l與O交于A,B兩點(diǎn).(1)求的取值范圍;(2)求AB中點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程.解(1)O的直角坐標(biāo)方程為x2y21.當(dāng)時(shí),l與O交于兩點(diǎn).當(dāng)時(shí),記tank,則l的方程為ykx.l與O交于兩點(diǎn),即點(diǎn)O到l的距離小于半徑1,當(dāng)且僅當(dāng)1,解得k1或k1,即或.綜上,的取值范圍是.(2)l的參數(shù)方程為.設(shè)A,B,P對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為tA,tB,tP,則tP,且tA,tB滿足t22tsin10.于是tAtB2sin,tPsin.又點(diǎn)P的坐標(biāo)(x,y)滿足所以點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程是.2.已知曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程,并說明方程表示什么軌跡;(2)若直線l的極坐標(biāo)方程為sincos,求直線l被曲線C截得的弦長(zhǎng).解(1)因?yàn)榍€C的參數(shù)方程為 (為參數(shù)),所以曲線C的普通方程為(x3)2(y1)210,曲線C表示以C(3,1)為圓心,為半徑的圓.將代入并化簡(jiǎn),得6cos2sin,即曲線C的極坐標(biāo)方程為6cos2sin.(2)因?yàn)橹本€l的直角坐標(biāo)方程為yx1,所以圓心C到直線yx1的距離d,所以直線被曲線C截得的弦長(zhǎng)為2.3.已知曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),曲線C2的極坐標(biāo)方程為2cos,以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系.(1)求曲線C2的直角坐標(biāo)方程;(2)求曲線C2上的動(dòng)點(diǎn)M到曲線C1的距離的最大值.解(1)2cos2(cossin),即22(cossin),可得x2y22x2y0,故C2的直角坐標(biāo)方程為(x1)2(y1)22.(2)由C1的參數(shù)方程可得,C1的普通方程為xy20.由(1)知曲線C2是以(1,1)為圓心,為半徑的圓,且圓心到直線C1的距離d,所以動(dòng)點(diǎn)M到曲線C1的距離的最大值為.4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù),0<),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,圓C的極坐標(biāo)方程為4cos,圓C的圓心到直線l的距離為.(1)求的值;(2)已知P(1,0),若直線l與圓C交于A,B兩點(diǎn),求的值.解(1)由直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù),0<),消去參數(shù)t,得xsinycossin0.圓C的極坐標(biāo)方程為4cos,即24cos,可得圓C的普通方程為x2y24x0,即為(x2)2y24,可知圓心為(2,0),半徑為2,圓C的圓心到直線l的距離為d3sin.由題意可得d,即3sin,則sin,0<,或.(2)已知P(1,0),則點(diǎn)P在直線l上,直線l與圓C交于A,B兩點(diǎn),將代入圓C的普通方程x2y24x0,得(1tcos)2(tsin)24(1tcos)0,t26tcos50.設(shè)A,B對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t1,t2,則t1t26cos,t1t25,t1t2>0,t1,t2同號(hào),.