（浙江專用）2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)精準(zhǔn)提分 第二篇 重點(diǎn)專題分層練中高檔題得高分 第10練 正弦定理、余弦定理及應(yīng)用試題.docx

第10練正弦定理、余弦定理及應(yīng)用明晰考情1.命題角度：考查正弦定理、余弦定理和三角形面積公式，常與三角恒等變換相結(jié)合.2.題目難度：?jiǎn)为?dú)考查正弦、余弦定理時(shí)，難度中檔偏下；和三角恒等變換交匯考查時(shí)，中檔難度考點(diǎn)一正弦定理、余弦定理方法技巧(1)分析已知的邊角關(guān)系，合理設(shè)計(jì)邊角互化(2)結(jié)合三角函數(shù)公式，三角形內(nèi)角和定理，大邊對(duì)大角等求出三角形的基本量1ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知a，c2，cosA，則b等于()A.B.C2D3答案D解析由余弦定理，得a2b2c22bccosA，即5b2222b2，解得b3，故選D.2(2018全國(guó))在ABC中，cos，BC1，AC5，則AB等于()A4B.C.D2答案A解析cos，cosC2cos21221.在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcosC521225132，AB4.故選A.3ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若2bcosBacosCccosA，則B_.答案解析方法一由2bcosBacosCccosA及正弦定理，得2sinBcosBsinAcosCsinCcosA.2sinBcosBsin(AC)又ABC，ACB.2sinBcosBsin(B)sinB.又sinB0，cosB.又B(0，)，B.方法二在ABC中，由余弦定理，得acosCccosAacb，條件等式變?yōu)?bcosBb，cosB.又0B，B.4在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a23b23c22bcsinA，則C_.答案解析由余弦定理，得a2b2c22bccosA，所以b2c22bccosA3b23c22bcsinA，sinAcosA，2sin2，當(dāng)且僅當(dāng)bc時(shí)，等號(hào)成立，因此bc，A，所以A，所以C.考點(diǎn)二與三角形的面積有關(guān)的問題要點(diǎn)重組三角形的面積公式(1)Sahabhbchc(ha，hb，hc分別表示a，b，c邊上的高)(2)SabsinCbcsinAcasinB.(3)Sr(abc)(r為ABC內(nèi)切圓的半徑)5(2018全國(guó))ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若ABC的面積為，則C等于()A.B.C.D.答案C解析SabsinCabcosC，sinCcosC，即tanC1.又C(0，)，C.6鈍角三角形ABC的面積是，AB1，BC，則AC等于()A5B.C2D1答案B解析SABBCsinB1sinB，sinB，B或.當(dāng)B時(shí)，根據(jù)余弦定理有AC2AB2BC22ABBCcosB1225，AC，此時(shí)ABC為鈍角三角形，符合題意；當(dāng)B時(shí)，根據(jù)余弦定理有AC2AB2BC22ABBCcosB1221，AC1，此時(shí)AB2AC2BC2，ABC為直角三角形，不符合題意故AC.7.(2018全國(guó))ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知bsin Ccsin B4asin Bsin C，b2c2a28，則ABC的面積為_答案解析bsinCcsinB4asinBsinC，由正弦定理得sinBsinCsinCsinB4sinAsinBsinC.又sinBsinC0，sinA.由余弦定理得cosA0，cosA，bc，SABCbcsinA.8在ABC中，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且bcosC3acosBccosB，2，則ABC的面積為_答案2解析因?yàn)閎cosC3acosBccosB，由正弦定理得sinBcosC3sinAcosBsinCcosB，即sinBcosCsinCcosB3sinAcosB，所以sin(BC)3sinAcosB.又sin(BC)sin(A)sinA，所以sinA3sinAcosB，又sinA0，解得cosB，所以sinB.由2，可得cacosB2，解得ac6.所以SABCacsinB62.考點(diǎn)三解三角形中的最值(范圍)問題方法技巧由余弦定理中含兩邊和的平方(如a2b22abcosCc2)且a2b22ab，因此在解三角形中，若涉及已知條件中含邊長(zhǎng)之間的關(guān)系，且與面積有關(guān)的最值問題，一般利用SabsinC型面積公式及基本不等式求解，有時(shí)也用到三角函數(shù)的有界性9在ABC中，|3，則ABC的面積的最大值為()A.B.C.D3答案B解析設(shè)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，|3，即bccosA3，a3，cosA11，cosA，0sinA，0tanA.ABC的面積SbcsinAtanA，故ABC面積的最大值為.10已知a，b，c分別為ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，其面積滿足SABCa2，則的最大值為()A.1B.C.1D.2答案C解析根據(jù)題意，有SABCa2bcsinA，即a22bcsinA應(yīng)用余弦定理，可得b2c22bccosAa22bcsinA，令t，于是t212tcosA2tsinA于是2tsinA2tcosAt21，所以2sint，從而t2，當(dāng)且僅當(dāng)A時(shí)，“”成立，解得t的最大值為1.11已知a，b，c分別是ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，滿足cosAsinBsinCcosBsinAsinC2cosCsinAsinB，則C的最大值為_答案解析由正弦定理，得bccosAaccosB2abcosC，由余弦定理，得bcac2ab，a2b22c2，cosC，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，取等號(hào)0<C<，0<C，C的最大值為.12在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且acosBbcosAc，當(dāng)tan(AB)取最大值時(shí)，角B的值為_答案解析由acosBbcosAc及正弦定理，得sinAcosBsinBcosAsinCsin(AB)(sinAcosBcosAsinB)，整理得sinAcosB3cosAsinB，即tanA3tanB，易得tanA>0，tanB>0.所以tan(AB)，當(dāng)且僅當(dāng)3tanB，即tanB時(shí)，tan(AB)取得最大值，所以此時(shí)B.1在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且abc，a2b2c2，則角A的取值范圍是()A.B.C.D.答案C解析因?yàn)閍2b2c2，所以cosA0，所以A為銳角又因?yàn)閍bc，所以A為最大角，所以角A的取值范圍是.2在ABC中，三內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，面積為S，若Sa2(bc)2，則cosA等于()A.BC.D答案D解析由Sa2(bc)2，得a2b2c22bc.由余弦定理，可得sinA1cosA，結(jié)合sin2Acos2A1，可得cosA.3在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，記S為ABC的面積，若A60，b1，S，則c_，cosB_.答案3解析因?yàn)锳60，b1，SbcsinA1c，解得c3.由余弦定理，可得a，所以cosB.解題秘籍(1)解三角形時(shí)要依據(jù)三角形的形狀及邊角大小正確處理多解問題(2)對(duì)已知關(guān)系式進(jìn)行轉(zhuǎn)化時(shí)，一定要等價(jià)變形，尤其注意式子兩邊不可隨意同除以一個(gè)式子1在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a，b，B45，則角A等于()A60B120C90D60或120答案D解析由正弦定理可知，即2，所以sinA，因?yàn)閍>b，所以A>45，所以A60或A120.故選D.2在ABC中，若3，b2a2ac，則cosB的值為()A.B.C.D.答案D解析由題意知，c3a，b2a2acc22accosB，所以cosB.3已知在ABC中，(abc)(sinAsinBsinC)asinB，其中A，B，C為ABC的內(nèi)角，a，b，c分別為A，B，C的對(duì)邊，則C等于()A.B.C.D.答案B解析因?yàn)?abc)(sinAsinBsinC)asinB，所以由正弦定理，可得(abc)(abc)ab，整理得c2a2b2ab，所以cosC，因?yàn)镃(0，)，所以C.故選B.4在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a1，2bc2acos C，sin C，則ABC的面積為()A.B.C.或D.或答案C解析因?yàn)?bc2acosC，所以由正弦定理可得2sinBsinC2sinAcosC，所以2sin(AC)sinC2sinAcosC.所以2cosAsinCsinC，又sinC0，所以cosA，因?yàn)?<A<180，所以A30，因?yàn)閟inC，所以C60或120.當(dāng)C60時(shí)，A30，所以B90，又a1，所以ABC的面積為12；當(dāng)C120時(shí)，A30，所以B30，又a1，所以ABC的面積為11，故選C.5在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知三個(gè)向量m，n，p共線，則ABC的形狀為()A等邊三角形B等腰三角形C直角三角形D等腰直角三角形答案A解析向量m，n共線，acosbcos.由正弦定理得sinAcossinBcos.2sincoscos2sincoscos.則sinsin.0<<，0<<，即AB.同理可得BC.ABC的形狀為等邊三角形故選A.6在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若ABC為銳角三角形，且滿足sinB(12cosC)2sinAcosCcosAsinC，則下列等式成立的是()Aa2bBb2aCA2BDB2A答案A解析等式右邊sinAcosC(sinAcosCcosAsinC)sinAcosCsin(AC)sinAcosCsinB，等式左邊sinB2sinBcosC，sinB2sinBcosCsinAcosCsinB.由cosC0，得sinA2sinB.根據(jù)正弦定理，得a2b.7在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且tanB，則tanB等于()A.B.1C2D2答案D解析由余弦定理，得a2c2b22accosB，再由，得accosB，所以tanB2.故選D.8若G是ABC的重心，a，b，c分別是A，B，C的對(duì)邊，且abc0，則角A等于()A90B60C45D30答案D解析由重心性質(zhì)可知0，故，代入abc0中，得aabc0，即(ba)0.因?yàn)?，不共線，所以即故cosA，因?yàn)?A180，所以A30，故選D.9在ABC中，B，BC邊上的高等于BC，則cosA_.答案解析設(shè)BC邊上的高為AD，則BC3AD，又B，所以BDAD，DC2AD.所以ACAD，ABAD.由余弦定理，知cosA.10已知a，b，c分別為ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，a2，且(2b)(sinAsinB)(cb)sinC，則ABC面積的最大值為_答案解析由正弦定理得(2b)(ab)(cb)c，即(ab)(ab)(cb)c，即b2c2a2bc，所以cosA，因?yàn)锳(0，)，所以A.又b2c2a2bc2bc4，即bc4，故SABCbcsinA4，當(dāng)且僅當(dāng)bc2時(shí)，等號(hào)成立，則ABC面積的最大值為.11.如圖，在ABC中，AB，點(diǎn)D在邊BC上，BD2DC，cosDAC，cosC，則AC_.答案解析因?yàn)锽D2DC，設(shè)CDx，ADy，則BD2x，因?yàn)閏osDAC，cosC，所以sinDAC，sinC，在ACD中，由正弦定理可得，即，即yx.又cosADBcos(DACC)，則ADB.在ABD中，AB2BD2AD22BDADcos，即24x22x222xx，即x21，所以x1，即BD2，DC1，AD，在ACD中，AC2CD2AD22CDADcos5，得AC.12(2018北京)若ABC的面積為(a2c2b2)，且C為鈍角，則B_；的取值范圍是_答案(2，)解析由余弦定理得cosB，a2c2b22accosB.又S(a2c2b2)，acsinB2accosB，tanB，又B(0，)，B.又C為鈍角，CA，0A.由正弦定理得.0tanA，2，即2.的取值范圍是(2，)