（浙江專用）2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)精準(zhǔn)提分 第三篇 滲透數(shù)學(xué)思想提升學(xué)科素養(yǎng)（二）分類與整合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想試題.docx

2分類與整合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想一、概念、定理分類整合概念、定理分類整合即利用數(shù)學(xué)中的基本概念、定理對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行分類，如絕對(duì)值的定義、不等式的轉(zhuǎn)化、等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和公式等，然后分別對(duì)每類問題進(jìn)行解決解決此問題可以分解為三個(gè)步驟：分類轉(zhuǎn)化、依次求解、匯總結(jié)論匯總結(jié)論就是對(duì)分類討論的結(jié)果進(jìn)行整合1若一條直線過點(diǎn)(5,2)，且在x軸，y軸上截距相等，則這條直線的方程為()Axy70B2x5y0Cxy70或2x5y0Dxy70或2y5x0答案C解析設(shè)該直線在x軸，y軸上的截距均為a，當(dāng)a0時(shí)，直線過原點(diǎn)，此時(shí)直線方程為yx，即2x5y0；當(dāng)a0時(shí)，設(shè)直線方程為1，求得a7，則直線方程為xy70.2已知Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且Sn2an2，則S5S4的值為()A8B10C16D32答案D解析當(dāng)n1時(shí)，a1S12a12，解得a12.因?yàn)镾n2an2，當(dāng)n2時(shí)，Sn12an12，兩式相減得an2an2an1，即an2an1，則數(shù)列an為首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，則S5S4a52532.3已知集合A，Bx|mx10，mR，若ABB，則所有符合條件的實(shí)數(shù)m組成的集合是()A0，1,2B.C1,2D.答案A解析因?yàn)锳BB，所以BA.若B為，則m0；若B，則m10或m10，解得m1或2.綜上，m0，1,2故選A.4已知函數(shù)f(x)x|xa|a，aR，若對(duì)任意x3,5，f(x)0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案解析因?yàn)閷?duì)任意x3,5，f(x)0恒成立，所以f(x)min0.當(dāng)a0時(shí)，對(duì)任意x3,5，f(x)x|xa|a0恒成立；當(dāng)a>0時(shí)，f(x)易知f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在a，)上單調(diào)遞增當(dāng)0<a<3時(shí)，f(x)minf(3)3(3a)a0，解得a，所以0<a；當(dāng)3a5時(shí)，f(x)minf(a)a0，解得a0，不符合題意；當(dāng)a>5時(shí)，f(x)minmin3(a3)a，5(a5)a0，解得a，所以a.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.二、圖形位置、形狀分類整合圖形位置、形狀分類整合是指由幾何圖形的不確定性而引起的分類討論，這種方法適用于幾何圖形中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的研究以及解析幾何中直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.5已知正三棱柱的側(cè)面展開圖是邊長分別為6和4的矩形，則它的體積為()A.B4C.D4或答案D解析當(dāng)6是下底面周長，4是三棱柱的高時(shí)，體積V244；當(dāng)4是下底面周長，6是三棱柱的高時(shí)，體積V6.6已知變量x，y滿足的不等式組表示的是一個(gè)直角三角形圍成的平面區(qū)域，則實(shí)數(shù)k等于()AB.C0D0或答案D解析不等式組表示的可行域如圖陰影部分所示(含邊界)，由圖可知，若要使不等式組表示的平面區(qū)域是直角三角形，只有當(dāng)直線ykx1與直線x0或y2x垂直時(shí)才滿足結(jié)合圖形可知斜率k的值為0或.7已知雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為_答案yx或yx解析由e，得，則a23b2.若雙曲線焦點(diǎn)在x軸上，則漸近線方程為yx.若雙曲線焦點(diǎn)在y軸上，則漸近線方程為yx.8拋物線y24px(p>0)的焦點(diǎn)為F，P為其上的一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OPF為等腰三角形，則這樣的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為_答案4解析當(dāng)|PO|PF|時(shí)，點(diǎn)P在線段OF的中垂線上，此時(shí)，點(diǎn)P的位置有兩個(gè)；當(dāng)|OP|OF|時(shí)，點(diǎn)P的位置也有兩個(gè)；對(duì)|FO|FP|的情形，點(diǎn)P不存在事實(shí)上，F(xiàn)(p，0)，若設(shè)P(x，y)，則|FO|p，|FP|，若p，則有x22pxy20，又y24px，x22px0，解得x0或x2p，當(dāng)x0時(shí)，不構(gòu)成三角形當(dāng)x2p(p>0)時(shí)，與點(diǎn)P在拋物線上矛盾符合要求的點(diǎn)P有4個(gè)三、含參問題分類整合某些含有參數(shù)的問題，由于參數(shù)的取值不同會(huì)導(dǎo)致所得的結(jié)果不同，需對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論，如含參數(shù)的方程、不等式、函數(shù)等.解決這類問題要根據(jù)解決問題需要合理確定分類標(biāo)準(zhǔn)，討論中做到不重不漏，結(jié)論整合要周全.9已知實(shí)數(shù)a，x，a>0且a1，則“ax>1”的充要條件為()A0<a<1，x<0Ba>1，x>0C(a1)x>0Dx0答案C解析由ax>1知，ax>a0，當(dāng)0<a<1時(shí)，x<0；當(dāng)a>1時(shí)，x>0.故“ax>1”的充要條件為“(a1)x>0”10若函數(shù)f(x)ax24x3在0,2上有最大值f(2)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A(，1 B1，)C(，0) D(0，)答案B解析方法一當(dāng)a0時(shí)，f(x)4x3在0,2上為增函數(shù)，最大值為f(2)，滿足題意當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)ax24x3a23，其對(duì)稱軸為x.當(dāng)a>0時(shí)，f(x)ax24x3在0,2上為增函數(shù)，最大值為f(2)，滿足題意當(dāng)a<0時(shí)，只有當(dāng)2，即1a<0時(shí)，f(x)ax24x3在0,2上為增函數(shù)，最大值為f(2)，滿足題意綜上，當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)f(x)ax24x3在0,2上有最大值f(2)故選B.方法二由f(x)ax24x3，得f(x)2ax4，要使函數(shù)f(x)ax24x3在0,2上有最大值f(2)，需使f(x)ax24x3在0,2上為增函數(shù)，則f(x)2ax40在0,2上恒成立，當(dāng)x0時(shí)成立，當(dāng)x0時(shí)，由x(0,2，得a，因?yàn)樵?0,2上的最大值為1，所以a1.綜上，當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)f(x)ax24x3在0,2上有最大值f(2)故選B.11設(shè)函數(shù)f(x)x2axa3，g(x)ax2a，若存在x0R，使得f(x0)<0和g(x0)<0同時(shí)成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A(7，) B(，2)(6，)C(，2) D(，2)(7，)答案A解析由f(x)x2axa3知，f(0)a3，f(1)4.又存在x0R，使得f(x0)<0，所以a24(a3)>0，解得a<2或a>6.又g(x)ax2a的圖象恒過點(diǎn)(2,0)，故當(dāng)a>6時(shí)，作出函數(shù)f(x)和g(x)的圖象如圖1所示，當(dāng)a<2時(shí)，作出函數(shù)f(x)和g(x)的圖象如圖2所示由函數(shù)的圖象知，當(dāng)a>6時(shí)，若g(x0)<0，則x0<2，要使f(x0)<0，則需解得a>7.當(dāng)a<2時(shí)，若g(x0)<0，則x0>2，此時(shí)函數(shù)f(x)x2axa3的圖象的對(duì)稱軸x<1，故函數(shù)f(x)在區(qū)間上為增函數(shù)，又f(1)4，f(x0)<0不成立綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(7，)一、特殊與一般的轉(zhuǎn)化一般問題特殊化，使問題處理變得直接、簡單，也可以通過一般問題的特殊情形找到一般思路；特殊問題一般化，可以使我們從宏觀整體的高度把握問題的一般規(guī)律，從而達(dá)到成批處理問題的效果；對(duì)于某些選擇題、填空題，可以把題中變化的量用特殊值代替，得到問題答案或者思路.1據(jù)統(tǒng)計(jì)某超市兩種蔬菜A，B連續(xù)n天價(jià)格分別為a1，a2，a3，an和b1，b2，b3，bn，令Mm|ambm，m1,2，n，若M中元素個(gè)數(shù)大于n，則稱蔬菜A在這n天的價(jià)格低于蔬菜B的價(jià)格，記作：AB，現(xiàn)有三種蔬菜A，B，C，下列說法正確的是()A若AB，BC，則ACB若AB，BC同時(shí)不成立，則AC不成立CAB，BA可同時(shí)不成立DAB，BA可同時(shí)成立答案C解析特例法：例如蔬菜A連續(xù)10天價(jià)格分別為1,2,3,4，10，蔬菜B連續(xù)10天價(jià)格分別為10,9，1時(shí)，AB，BA同時(shí)不成立，故選C.2過拋物線yax2(a>0)的焦點(diǎn)F，作一直線交拋物線于P，Q兩點(diǎn)若線段PF與FQ的長度分別為p，q，則等于()A2aB.C4aD.答案C解析拋物線yax2(a>0)的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y(a>0)，焦點(diǎn)F.過焦點(diǎn)F作直線垂直于y軸，則|PF|QF|，4a.3已知函數(shù)f(x)(a3)xax3在1,1上的最小值為3，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(，1 B12，)C1,12D.答案D解析當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)3x，x1,1，顯然滿足條件，故排除A，B；當(dāng)a時(shí)，函數(shù)f(x)x3x，f(x)x2(x21)，當(dāng)1x1時(shí)，f(x)0，所以f(x)在1,1上為減函數(shù)，所以f(x)minf(1)3，滿足條件，故排除C.綜上，選D.4在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a，b，c成等差數(shù)列，則_.答案解析令abc，則ABC為等邊三角形，且cosAcosC，代入所求式子，得.二、命題的等價(jià)轉(zhuǎn)化將題目已知條件或結(jié)論進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使深?yuàn)W的問題淺顯化、繁雜的問題簡單化，讓題目得以解決.一般包括數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，正與反的轉(zhuǎn)化，常量與變量的轉(zhuǎn)化，圖形形體及位置的轉(zhuǎn)化.5若對(duì)于任意t1,2，函數(shù)g(x)x3x22x在區(qū)間(t,3)上總不為單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_答案解析g(x)3x2(m4)x2，若g(x)在區(qū)間(t，3)上總為單調(diào)函數(shù)，則g(x)0在(t,3)上恒成立，或g(x)0在(t，3)上恒成立由得3x2(m4)x20，即m43x在x(t，3)上恒成立，函數(shù)y3x在(t，3)上為減函數(shù)，m43t恒成立，則m41，即m5；由得m43x在x(t，3)上恒成立，函數(shù)y3x在(t，3)上為減函數(shù)，則m49，即m.函數(shù)g(x)在區(qū)間(t，3)上總不為單調(diào)函數(shù)時(shí)m的取值范圍為.6.如圖所示，已知三棱錐PABC，PABC2，PBAC10，PCAB2，則三棱錐PABC的體積為()A40B80C160D240答案C解析因?yàn)槿忮FPABC的三組對(duì)棱兩兩相等，則可將此三棱錐放在一個(gè)特定的長方體中(如圖所示)，把三棱錐PABC補(bǔ)成一個(gè)長方體AEBGFPDC，可知三棱錐PABC的各棱分別是此長方體的面對(duì)角線不妨令PEx，EBy，EAz，則由已知，可得解得從而知VPABCVAEBGFPDCVPAEBVCABGVBPDCVAFPCVAEBGFPDC4VPAEB681046810160.7對(duì)于滿足0p4的所有實(shí)數(shù)p，使不等式x2px>4xp3成立的x的取值范圍是_答案(，1)(3，)解析設(shè)f(p)(x1)px24x3，則當(dāng)x1時(shí)，f(p)0，所以x1.f(p)在0,4上恒為正等價(jià)于即解得x>3或x<1.8如果實(shí)數(shù)x，y滿足等式(x2)2y21，那么的取值范圍是_答案解析設(shè)k，則y表示點(diǎn)P(1，3)和圓(x2)2y21上的點(diǎn)的連線的斜率(如圖)從圖中可知，當(dāng)過P的直線與圓相切時(shí)斜率取最值，此時(shí)對(duì)應(yīng)的直線斜率分別為kPB和kPA，其中kPB不存在由圓心C(2,0)到直線ykx(k3)的距離r1，解得k，所以的取值范圍是.三、 函數(shù)、方程、不等式之間的轉(zhuǎn)化函數(shù)、方程與不等式就像“一胞三兄弟”，解決方程、不等式的問題需要函數(shù)的幫助，解決函數(shù)的問題需要方程、不等式的協(xié)作.9已知偶函數(shù)f(x)在0，)上單調(diào)遞減，f(2)0，若f(x1)>0，則x的取值范圍為_答案(1,3)解析f(x)是偶函數(shù)，且f(x)在0，)上單調(diào)遞減，f(2)0，不等式f(x1)>0等價(jià)于f(|x1|)>f(2)，即|x1|<2，則1<x<3，x的取值范圍是(1,3)10在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(12,0)，B(0,6)，點(diǎn)P在圓O：x2y250上，若20，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是_答案5，1解析方法一因?yàn)辄c(diǎn)P在圓O：x2y250上，所以設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x，)(5x5)因?yàn)锳(12,0)，B(0,6)，所以(12x，)或(12x，)，(x，6)或(x，6)因?yàn)?0，先取P(x，)進(jìn)行計(jì)算，所以(12x)(x)()(6)20，即2x5.當(dāng)2x5<0，即x<時(shí)，上式恒成立當(dāng)2x50，即x時(shí)，(2x5)250x2，解得x1，故x1.同理可得P(x，)時(shí)，x5.又5x5，所以5x1.故點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍為5，1方法二設(shè)P(x，y)，則(12x，y)，(x，6y)20，(12x)(x)(y)(6y)20，即2xy50.如圖，作圓O：x2y250，直線2xy50與O交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，P在圓O上且滿足2xy50，點(diǎn)P在上由得F點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，又D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為5，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為5，111已知函數(shù)f(x)x33ax1，g(x)f(x)ax5，其中f(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)對(duì)滿足1a1的一切a的值，都有g(shù)(x)<0，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為_答案解析由題意知，g(x)3x2ax3a5，令(a)(3x)a3x25(1a1)對(duì)1a1，恒有g(shù)(x)<0，即(a)<0，解得<x<1.故當(dāng)x時(shí)，對(duì)滿足1a1的一切a的值，都有g(shù)(x)<0.12已知函數(shù)f(x)lnx若不等式mf(x)ax對(duì)所有m0,1，x都成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_答案(，e2解析由題意得，amlnxx對(duì)所有的m0,1，x都成立，令H(m)lnxmx，m0,1，x是關(guān)于m的一次函數(shù)，因?yàn)閤，所以1lnx2，所以所以所以令g(x)lnxx，所以g(x)，所以函數(shù)g(x)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，所以g(x)ming(e2)2e2，所以a2e2.綜上知ae2.1如果a1，a2，a8為各項(xiàng)都大于零的等差數(shù)列，公差d0，那么()Aa1a8>a4a5Ba1a8<a4a5Ca1a8>a4a5Da1a8a4a5答案B解析取特殊數(shù)列1,2,3,4,5,6,7,8，顯然只有18<45成立，即a1a8<a4a5.2若函數(shù)f(x)x2axa在區(qū)間0,2上的最大值為1，則實(shí)數(shù)a等于()A1B1C2D2答案B解析函數(shù)f(x)的圖象為開口向上的拋物線，函數(shù)的最大值在區(qū)間端點(diǎn)處取得f(0)a，f(2)43a，當(dāng)f(0)為最大值時(shí)，無解；當(dāng)f(2)為最大值時(shí)，解得a1.綜上，實(shí)數(shù)a的值為1.3過雙曲線x21的右焦點(diǎn)F作直線l交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，若|AB|4，則這樣的直線l有()A1條B2條C3條D4條答案C解析因?yàn)殡p曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)之間的距離是2，小于4，所以當(dāng)直線l與雙曲線左、右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，過雙曲線的右焦點(diǎn)一定有兩條直線滿足要求；當(dāng)直線l與實(shí)軸垂直時(shí)，由31，解得y2或y2，所以此時(shí)線段AB的長度是4，即只與雙曲線右支有兩個(gè)交點(diǎn)的所截弦長為4的直線僅有一條綜上可知，有3條直線滿足|AB|4.4已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snpn1(p是常數(shù))，則數(shù)列an是()A等差數(shù)列B等比數(shù)列C等差數(shù)列或等比數(shù)列D以上都不對(duì)答案D解析Snpn1，a1p1，anSnSn1(p1)pn1(n2)，當(dāng)p1且p0時(shí)，an是等比數(shù)列；當(dāng)p1時(shí)，an是等差數(shù)列；當(dāng)p0時(shí)，a11，an0(n2)，此時(shí)an既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列5.如圖，在棱長為5的正方體ABCDA1B1C1D1中，EF是棱AB上的一條線段，且EF2，點(diǎn)Q是A1D1的中點(diǎn)，點(diǎn)P是棱C1D1上的動(dòng)點(diǎn)，則四面體PQEF的體積()A是變量且有最大值B是變量且有最小值C是變量且有最大值和最小值D是常數(shù)答案D解析點(diǎn)Q到棱AB的距離為常數(shù)，所以EFQ的面積為定值由C1D1EF，C1D1平面EFQ，EF平面EFQ，可得棱C1D1平面EFQ，所以點(diǎn)P到平面EFQ的距離是常數(shù)，于是可得四面體PQEF的體積為常數(shù)6設(shè)點(diǎn)P(x，y)滿足約束條件則的取值范圍是()A.B.C.D1,1答案B解析作出不等式組所表示的可行域，如圖陰影部分所示(包括邊界)，其中A(2,1)，B(1,2)，令t，f(t)t，根據(jù)t的幾何意義可知，t為可行域內(nèi)的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率，連接OA，OB，顯然OA的斜率最小，OB的斜率2最大，即t2.由于函數(shù)f(t)t在上單調(diào)遞增，故f(t)，即的取值范圍是.7已知函數(shù)f(x)若f(x)f(x)0有四個(gè)不同的實(shí)根，則m的取值范圍是()A(0,2e) B(0，e)C(0,1) D.答案D解析若m0，那么f(x)f(x)只可能有2個(gè)實(shí)根，所以m0，若f(x)f(x)有四個(gè)實(shí)根，根據(jù)對(duì)稱性可知當(dāng)x0時(shí)，lnx有兩個(gè)實(shí)根，即mxlnx有兩個(gè)實(shí)根，設(shè)yxlnx，x>0，則ylnx1，令lnx10，解得x，當(dāng)x時(shí)，y<0，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)x時(shí)，y>0，函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)x時(shí)，yxlnx有最小值，即<m<0，即0<m<，故選D.8已知函數(shù)f(x)x(exex)cosx的定義域?yàn)?,3，則不等式f(x21)>f(2)的解集為()A，1 B，C，1)(1， D(，1)(1，)答案C解析因?yàn)閒(x)x(exex)cos(x)x(exex)cosxf(x)，所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，令g(x)x，易知g(x)在0,3上為增函數(shù)，令h(x)cosx，易知h(x)在0,3上為增函數(shù)，故函數(shù)f(x)x(exex)cosx在0,3上為增函數(shù)，所以f(x21)>f(2)可變形為f(x21)>f(2)，所以2<x213，解得x<1或1<x，故不等式f(x21)>f(2)的解集為，1)(1，9在等比數(shù)列an中，已知a3，S3，則a1_.答案或6解析當(dāng)q1時(shí)，a1a2a3，S33a1，顯然成立當(dāng)q1時(shí)，由a3，S3，得由，得3，即2q2q10，所以q或q1(舍去)當(dāng)q時(shí)，a16.綜上可知，a1或a16.10設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)已知P，F(xiàn)1，F(xiàn)2是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且|PF1|>|PF2|，則的值為_答案或2解析若PF2F190，則|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，又|PF1|PF2|6，|F1F2|2，所以|PF1|，|PF2|，所以.若F1PF290，則|F1F2|2|PF1|2|PF2|2，所以|PF1|2(6|PF1|)220，且|PF1|>|PF2|，所以|PF1|4，|PF2|2，所以2.綜上知，或2.11(2017浙江)已知向量a，b滿足|a|1，|b|2，則|ab|ab|的最小值是_，最大值是_答案42解析設(shè)a，b的夾角為，|a|1，|b|2，|ab|ab|.令y，則y2102.0，cos20,1，y216,20，y4,2，即|ab|ab|4,2|ab|ab|的最小值是4，最大值是2.12已知橢圓C：1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若橢圓上存在點(diǎn)P使得F1PF2120，則橢圓C離心率的取值范圍是_答案解析當(dāng)點(diǎn)P在短軸端點(diǎn)時(shí)，F(xiàn)1PF2達(dá)到最大值，即F1BF2120時(shí)，橢圓上存在點(diǎn)P使得F1PF2120，當(dāng)F1BF2120時(shí)，esin60，而橢圓越扁，F(xiàn)1BF2才可能越大，橢圓越扁，則其離心率越接近1，所以橢圓C離心率的取值范圍是.