（江蘇專用）2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第三篇 第30練 計數(shù)原理、隨機(jī)變量、數(shù)學(xué)歸納法試題 理.docx

第30練計數(shù)原理、隨機(jī)變量、數(shù)學(xué)歸納法明晰考情1.命題角度：計數(shù)原理與排列、組合的簡單應(yīng)用；n次獨(dú)立重復(fù)試驗的模型及二項分布、離散型隨機(jī)變量的均值與方差；數(shù)學(xué)歸納法的簡單應(yīng)用.2.題目難度：中檔難度.考點(diǎn)一計數(shù)原理與二項式定理的綜合方法技巧(1)區(qū)分某一項的二項式系數(shù)與這一項的系數(shù)兩個不同的概念；(2)在二項式展開式中，利用通項公式求一些特殊的項，如常數(shù)項、有理項、整式項等；(3)根據(jù)所給式子的結(jié)構(gòu)特征，對二項式定理的逆用或變用；(4)關(guān)于x的二項式(abx)n(a，b為常數(shù))的展開式可以看成是關(guān)于x的函數(shù)，當(dāng)展開式涉及到與系數(shù)有關(guān)的問題時，可以利用函數(shù)思想來解決.1.設(shè)A，B均為非空集合，且AB，AB1,2,3，n(n3，nN*).記A，B中元素的個數(shù)分別為a，b，所有滿足“aB，且bA”的集合對(A，B)的個數(shù)為an.(1)求a3，a4的值；(2)求an.解(1)當(dāng)n3時，AB1,2,3，且AB.若a1，b2，則1B,2A，共C種；若a2，b1，則2B,1A，共C種，所以a3CC2；當(dāng)n4時，AB1,2,3,4，且AB.若a1，b3，則1B,3A，共C種；若a2，b2，則2B,2A，這與AB矛盾；若a3，b1，則3B,1A，共C種，所以a4CC2.(2)當(dāng)n為偶數(shù)時，AB1,2,3，n，且AB.若a1，bn1，則1B，n1A，共C(考慮A)種；若a2，bn2，則2B，n2A，共C(考慮A)種；若a1，b1，則1B，1A，共(考慮A)種；若a，b，則B，A，這與AB矛盾；若a1，b1，則1B，1A，共(考慮A)種；若an1，b1，則n1B,1A，共C(考慮A)種.所以anCCC2n2；當(dāng)n為奇數(shù)時，同理，anCCC2n2.綜上所述，當(dāng)n3，且nN*時，an2.已知等式(1x)2n1(1x)n1(1x)n.(1)求(1x)2n1的展開式中含xn的項的系數(shù)，并化簡：CCCCCC；(2)證明：(C)22(C)2n(C)2nC.(1)解(1x)2n1的展開式中含xn的項的系數(shù)為C，由(1x)n1(1x)n(CCxCxn1)(CCxCxn)可知，(1x)n1(1x)n的展開式中含xn的項的系數(shù)為CCCCCC.所以CCCCCCC.(2)證明當(dāng)kN*時，kCknnC，所以(C)22(C)2n(C)2k(C)2 (kCC)(nCC)n(CC)n (CC).由(1)知，CCCCCCC，即(CC)C，所以(C)22(C)2n(C)2nC.3.設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù)，已知nN*，且g(x)Cfx0(1x)nCfx1(1x)n1Cfx2(1x)n2Cfxn(1x)0.(1)若f(x)1，求g(x)；(2)若f(x)x，求g(x).解(1)f(x)1，fff1，g(x)Cx0(1x)nCx1(1x)n1Cx2(1x)n2Cxn(1x)0(1x)xn1.零的零次冪無意義，g(x)1，且x0，x1，xR.(2)rCrnnC，其中r1,2，n，rCnC(r1,2，n).又f(x)x，g(x)C0x0(1x)nCx1(1x)n1Cx2(1x)n2Cxn(1x)0Cx1(1x)n12Cx2(1x)n2rCxr(1x)nrnCxn(1x)0nCx1(1x)n1Cx2(1x)n2Cxr(1x)nrCxn(1x)0xCx0(1x)n1Cx1(1x)n2Cxr1(1x)(n1)(r1)Cxn1(1x)0x(1x)xn1x，即g(x)x，x0，x1，xR.4.設(shè)集合S1,2,3，n(nN*，n2)，A，B是S的兩個非空子集，且滿足集合A中的最大數(shù)小于集合B中的最小數(shù)，記滿足條件的集合對(A，B)的個數(shù)為Pn.(1)求P2，P3的值；(2)求Pn的表達(dá)式.解(1)當(dāng)n2時，即S1,2，此時A1，B2，所以P21.當(dāng)n3時，即S1,2,3.若A1，則B2或B3或B2,3；若A2或A1,2，則B3.所以P35.(2)當(dāng)集合A中的最大元素為“k”時，集合A的其余元素可在1,2，k1中任取若干個(包含不取)，所以集合A共有CCCC2k1(種)情況，此時集合B的元素只能在k1，k2，n中任取若干個(至少取1個)，所以集合B共有CCCC2nk1(種)情況，所以當(dāng)集合A中的最大元素為“k”時，集合對(A，B)共有2k1(2nk1)2n12k1(對)，當(dāng)k依次取1,2,3，n1時，可分別得到集合對(A，B)的個數(shù)，求和可得Pn(n1)2n1(2021222n2)(n2)2n11.考點(diǎn)二隨機(jī)變量及其概率分布方法技巧求解離散型隨機(jī)變量的概率分布問題，先要明確離散型隨機(jī)變量的所有可能取值及其對應(yīng)事件，然后確定概率分布的類型，求出相應(yīng)事件的概率，即可列出概率分布，再求其數(shù)學(xué)期望與方差即可.若所求事件比較復(fù)雜，可以根據(jù)事件的性質(zhì)將其分為互斥事件之和或轉(zhuǎn)化為對立事件求解即可.5.(2018蘇州調(diào)研)某公司年會舉行抽獎活動，每位員工均有一次抽獎機(jī)會.活動規(guī)則如下：一個盒子里裝有大小相同的6個小球，其中3個白球，2個紅球，1個黑球，抽獎時從中一次摸出3個小球，若所得的小球同色，則獲得一等獎，獎金為300元；若所得的小球顏色互不相同，則獲得二等獎，獎金為200元；若所得的小球恰有2個同色，則獲得三等獎，獎金為100元.(1)求小張在這次活動中獲得的獎金數(shù)X的概率分布及數(shù)學(xué)期望；(2)若每個人獲獎與否互不影響，求該公司某部門3個人中至少有2個人獲二等獎的概率.解(1)小張在這次活動中獲得的獎金數(shù)X的所有可能取值為100,200,300.P(X300)，P(X200)，P(X100)，所以獎金數(shù)X的概率分布為X100200300P獎金數(shù)X的數(shù)學(xué)期望E(X)100200300140.(2)設(shè)3個人中獲二等獎的人數(shù)為Y，則YB，所以P(Yk)Ck3k (k0,1,2,3)，設(shè)該公司某部門3個人中至少有2個人獲二等獎為事件A，則P(A)P(Y2)P(Y3) C2C3.答該公司某部門3個人中至少有2個人獲二等獎的概率為.6.射擊測試有兩種方案.方案1：先在甲靶射擊一次，以后都在乙靶射擊；方案2：始終在乙靶射擊.某射手命中甲靶的概率為，命中一次得3分；命中乙靶的概率為，命中一次得2分.若沒有命中則得0分.用隨機(jī)變量表示該射手一次測試?yán)塾嫷梅?，如果的值不低?分就認(rèn)為通過測試，立即停止射擊；否則繼續(xù)射擊，但一次測試最多打靶3次，每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立.(1)如果該射手選擇方案1，求其測試結(jié)束后所得總分的概率分布和數(shù)學(xué)期望E()；(2)該射手選擇哪種方案通過測試的可能性大？請說明理由.解在甲靶射擊命中記作A，不中記作，在乙靶射擊命中記作B，不中記作，其中P(A)，P()1，P(B)，P()1.(1)的所有可能取值為0,2,3,4，則P(0)P()P()P()P()，P(2)P(B)P(B)P()P(B)P()P()P()P(B)，P(3)P(A)，P(4)P(BB)P()P(B)P(B).所以的概率分布為0234P所以E()02343.(2)設(shè)射手選擇方案1通過測試的概率為P1，選擇方案2通過測試的概率為P2，P1P(3).P2P(3)P(BB)P(BB)P(BB).因為P1P2，所以選擇方案1通過測試的概率更大.7. (2018無錫調(diào)研)有甲、乙兩個游戲項目，要參與游戲，均需每次先付費(fèi)10元(不返還)，游戲甲有3種結(jié)果：可能獲得15元，可能獲得10元，可能獲得5元，這三種情況的概率分別為，；游戲乙有2種結(jié)果：可能獲得20元，可能獲得0元，這兩種情況的概率均為.(1)某人花20元參與游戲甲兩次，用X表示該人參加游戲甲的收益(收益參與游戲獲得的錢數(shù)付費(fèi)錢數(shù))，求X的概率分布及數(shù)學(xué)期望；(2)用表示某人參加n次游戲乙的收益，n為任意正整數(shù)，求證：的數(shù)學(xué)期望為0.(1)解X的所有可能取值為10,5,0，5，10，P(X10)2，P(X5)C，P(X0)C2，P(X5)C，P(X10)2，所以X的概率分布為X1050510PE(X)1050(5)(10).(2)證明的所有可能取值為10n,10(n2)，10(n4)，10(n2k)，10n(kN且0kn)，P(10(n2k)Cn(kN且0kn)，E()10nCn10(n2)Cn10(n2k)Cn10(n2n)CnnC(n2)C(n2k) C(n)C，又E()nCn(2n2)Cn(2n2k)CnC，得2E()(nn)C(n22n)C(n2k2kn)C(nn)C，所以E()0.8.(2017江蘇)已知一個口袋有m個白球，n個黑球(m，nN*，n2)，這些球除顏色外完全相同.現(xiàn)將口袋中的球隨機(jī)的逐個取出，并放入如圖所示的編號為1,2,3，mn的抽屜內(nèi)，其中第k次取球放入編號為k的抽屜(k1,2,3，mn).123mn(1)試求編號為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率P；(2)隨機(jī)變量X表示最后一個取出的黑球所在抽屜編號的倒數(shù)，E(X)是X的數(shù)學(xué)期望，證明：E(X)<.(1)解編號為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率為P.(2)證明隨機(jī)變量X的概率分布為XP隨機(jī)變量X的期望為E(X).所以E(X)<(1CCC)(CCCC)(CCC)(CC)，即E(X)<.考點(diǎn)三數(shù)學(xué)歸納法方法技巧利用數(shù)學(xué)歸納法證明問題，在第二步證明nk1成立時，一定要利用歸納假設(shè)，即必須把歸納假設(shè)“nk時命題成立”作為條件來導(dǎo)出“nk1時命題也成立”，在書寫f(k1)時，一定要把包含f(k)的式子寫出來，尤其是f(k)中的最后一項，這是數(shù)學(xué)歸納法的核心.9.在數(shù)列an中，ancos(nN*)(1)試將an1表示為an的函數(shù)關(guān)系式；(2)若數(shù)列bn滿足bn1(nN*)，猜想an與bn的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.解(1)ancoscos221，an2a1，an1，又nN*，n12，an10，an1.(2)當(dāng)n1時，a1，b1121，a1b1，當(dāng)n2時，a2，b21，a2b2，當(dāng)n3時，a3，b31，a3b3，猜想：當(dāng)n3時，anbn，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)n3時，由上知，a3b3，結(jié)論成立.假設(shè)當(dāng)nk，k3，nN*時，akbk成立，即ak1，則當(dāng)nk1時，ak1，bk11，要證ak1bk1，即證明22，即證明112，即證明20，即證明20，顯然成立.當(dāng)nk1時，結(jié)論也成立.綜合可知：當(dāng)n3時，anbn成立.綜上可得：當(dāng)n1時，a1b1；當(dāng)n2時，a2b2，當(dāng)n3，nN*時，anbn.10.(2018江蘇省南京六校聯(lián)考)把圓分成n(n3)個扇形，設(shè)用4種顏色給這些扇形染色，每個扇形恰染一種顏色，并且要求相鄰扇形的顏色互不相同，設(shè)共有f(n)種方法.(1)寫出f(3)，f(4)的值；(2)猜想f(n)(n3)，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.解(1)f(3)24，f(4)84.(2)當(dāng)n4時，首先，對于第1個扇形a1，有4種不同的染法，由于第2個扇形a2的顏色與a1的顏色不同，所以，對于a2有3種不同的染法，類似地，對扇形a3，an1均有3種染法.對于扇形an，用與an1不同的3種顏色染色，但是，這樣也包括了它與扇形a1顏色相同的情況，而扇形a1與扇形an顏色相同的不同染色方法數(shù)就是f(n1)，于是可得，f(n)43n1f(n1) ，猜想f(n)3n(1)n3(n3，nN*)，證明如下：當(dāng)n3時，左邊f(xié)(3)24，右邊33(1)3324，所以等式成立.假設(shè)當(dāng)nk(k3)時，f(k)3k(1)k3，則當(dāng)nk1時，f(k1)43kf(k)43k3k(1)k3 3k1(1)k13，即當(dāng)nk1時，等式也成立，綜上，f(n)3n(1)n3(n3).11.設(shè)f(n)是定義在N*上的增函數(shù)，f(4)5，且滿足：對任意的nN*，f(n)Z；對任意的m，nN*，有f(m)f(n)f(mn)f(mn1).(1)求f(1)，f(2)，f(3)的值；(2)求f(n)的表達(dá)式.解因為f(1)f(4)f(4)f(4)，所以5f(1)10，所以f(1)2.因為f(n)是定義在N*上的增函數(shù)，所以2f(1)<f(2)<f(3)<f(4)5.因為f(n)Z，所以f(2)3，f(3)4.(2)由f(1)2，f(2)3，f(3)4，f(4)5，猜想f(n)n1(nN*).下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n1,2,3,4時，命題成立.假設(shè)當(dāng)nk(k4)時，命題成立，即f(k)k1，下面討論當(dāng)nk1時的情形.若k為奇數(shù)，則k1，k3為偶數(shù)，且k，k.根據(jù)歸納假設(shè)知f1，f1.因為f(2)ff(k1)ff(k1)f，所以3f(k1)，即f(k1)k2.若k為偶數(shù)，則k2，k4為偶數(shù)，且k，k.根據(jù)歸納假設(shè)知f1，f1.因為f(2)ff(k2)ff(k2)f，所以3f(k2)，即f(k2)k3，又k1f(k)<f(k1)<f(k2)k3，所以f(k1)k2.因此不論k的奇偶性如何，總有f(k1)k2，即nk1時，命題也成立.于是對一切nN*，f(n)n1.12.(2018江蘇省姜堰、溧陽、前黃中學(xué)聯(lián)考)已知數(shù)列an滿足anC，nN*.(1)求a1, a2,a3的值；(2)猜想數(shù)列an的通項公式，并證明.解(1)a12, a24, a38.(2)猜想：an2n(nN*).證明如下：當(dāng)n1,2,3時，由(1)知結(jié)論成立；假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時結(jié)論成立，則有akC2k.則當(dāng)nk1時，ak1C.由CCC得ak1C2k，2k2k.又CC，所以ak12k，于是ak12kak1.所以ak12k1,故當(dāng)nk1時結(jié)論也成立.由得，an2n，nN*.1.設(shè)nN*，n3，kN*.(1)求值：kCnC；k2Cn(n1)CnC(k2)；(2)化簡：12C22C32C(k1)2C(n1)2C.解(1)kCnCkn0.k2Cn(n1)CnCk2n(n1)nk0.(2)方法一由(1)可知，當(dāng)k2時，(k1)2C(k22k1)Ck2C2kCCn(n1)CnC2nCCn(n1)C3nCC.故12C22C32C(k1)2C(n1)2C(12C22C)n(n1)(CCC)3n(CCC)(CCC)(14n)n(n1)2n23n(2n11)(2n1n)2n2(n25n4).方法二當(dāng)n3時，由二項式定理，有(1x)n1CxCx2CxkCxn.兩邊同乘以x，得(1x)nxxCx2Cx3Cxk1Cxn1，兩邊對x求導(dǎo)，得(1x)nn(1x)n1x12Cx3Cx2(k1)Cxk(n1)Cxn，兩邊再同乘以x，得(1x)nxn(1x)n1x2x2Cx23Cx3(k1)Cxk1(n1)Cxn1，兩邊再對x求導(dǎo)，得(1x)nn(1x)n1xn(n1)(1x)n2x22n(1x)n1x122Cx32Cx2(k1)2Cxk(n1)2Cxn.令x1，得2nn2n1n(n1)2n22n2n1122C32C(k1)2C(n1)2C，即12C22C32C(k1)2C(n1)2C2n2(n25n4).2.(2018啟東模擬)小陳同學(xué)進(jìn)行三次定點(diǎn)投籃測試，已知第一次投籃命中的概率為，第二次投籃命中的概率為，前兩次投籃是否命中相互之間沒有影響.第三次投籃受到前兩次結(jié)果的影響，如果前兩次投籃至少命中一次，則第三次投籃命中的概率為，否則為.(1)求小陳同學(xué)三次投籃至少命中一次的概率；(2)記小陳同學(xué)三次投籃命中的次數(shù)為隨機(jī)變量，求的概率分布及數(shù)學(xué)期望.解(1)小陳同學(xué)三次投籃都沒有命中的概率為，所以小陳同學(xué)三次投籃至少命中一次的概率為1.(2)可能的取值為0,1,2,3.P(0)；P(1)；P(2)；P(3).故隨機(jī)變量的概率分布為0123P所以數(shù)學(xué)期望E()0123.3.某高中全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽培訓(xùn)共開設(shè)有初等代數(shù)、平面幾何、初等數(shù)論和微積分初步四門課程，要求初等數(shù)論、平面幾何都要合格，且初等代數(shù)和微積分初步至少有一門合格，則能取得參加數(shù)學(xué)競賽復(fù)賽的資格.現(xiàn)有甲、乙、丙三位同學(xué)報名參加數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)，每一位同學(xué)對這四門課程考試是否合格相互獨(dú)立，其合格的概率均相同(見下表)，且每一門課程是否合格相互獨(dú)立.課程初等代數(shù)平面幾何初等數(shù)論微積分初步合格的概率(1)求甲同學(xué)取得參加數(shù)學(xué)競賽復(fù)賽的資格的概率；(2)記表示三位同學(xué)中取得參加數(shù)學(xué)競賽復(fù)賽資格的人數(shù)，求的概率分布及數(shù)學(xué)期望E().解(1)分別記甲對初等代數(shù)、平面幾何、初等數(shù)論、微積分初步這四門課程考試合格為事件A，B，C，D，且事件A，B，C，D相互獨(dú)立，“甲能取得參加數(shù)學(xué)競賽復(fù)賽的資格”的概率為P(ABCD)P(ABC)P(BCD).(2)由題設(shè)知，的所有可能取值為0,1,2,3，B，P(0)C3，P(1)C12，P(2)C21，P(3)C3.的概率分布為0123PB，E()3.4.(2018揚(yáng)州邗江區(qū)調(diào)研)某班級共派出n1個男生和n個女生參加學(xué)校運(yùn)動會的入場儀式，其中男生倪某為領(lǐng)隊.入場時，領(lǐng)隊男生倪某必須排第一個，然后女生整體在男生的前面，排成一路縱隊入場，共有En種排法；入場后，又需從男生(含男生倪某)和女生中各選一名代表到主席臺服務(wù)，共有Fn種選法.(1)試求En和Fn；(2)判斷l(xiāng)nEn和Fn的大小(nN*)，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.解(1)EnAA(n！)2，F(xiàn)nCCn(n1).(2)因為lnEn2ln n！，F(xiàn)nn(n1)，所以lnE10<F12，ln E2ln 4<F26，ln E3ln 36<F312，由此猜想：當(dāng)nN*時，都有l(wèi)n En<Fn，即2ln n！<n(n1).下面用數(shù)學(xué)歸納法證明2ln n！<n(n1)(nN*). 當(dāng)n1時，該不等式顯然成立；假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時，不等式成立，即2ln k！<k(k1)，則當(dāng)nk1時，2ln(k1)！2ln(k1)2ln k！<2ln(k1)k(k1)，要證當(dāng)nk1時不等式成立，只要證2ln(k1)k(k1)(k1)(k2)，只要證ln(k1)k1.令f(x)ln xx，x(1，)，因為f(x)<0，所以f(x)在(1，)上單調(diào)遞減，從而f(x)<f(1)1<0，而k1(1，)，所以ln(k1)k1成立.則當(dāng)nk1時，不等式也成立. 綜合得原不等式對任意的nN*均成立.