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江蘇省2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題一 三角函數(shù)與平面向量 第3講 平面向量學(xué)案.doc

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江蘇省2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題一 三角函數(shù)與平面向量 第3講 平面向量學(xué)案.doc

第3講平面向量考情考向分析1.江蘇高考對(duì)平面向量側(cè)重基本概念與基本計(jì)算的考查重點(diǎn)是向量的數(shù)量積運(yùn)算.2.向量作為工具,常與三角函數(shù)、數(shù)列、解析幾何等結(jié)合,考查向量的綜合運(yùn)用解題時(shí)要注意解析法和轉(zhuǎn)化思想的滲透熱點(diǎn)一平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算例1(1)如圖,在ABC中,DEBC交AC于點(diǎn)E,BC邊上的中線(xiàn)AM交DE于點(diǎn)N,設(shè)a,b,用a,b表示向量,則_.答案(ab)解析因?yàn)镈EBC,所以DNBM,則ANDAMB,所以.因?yàn)?,所?因?yàn)镸為BC的中點(diǎn),所以()(ab),所以(ab)(2)(2018江蘇啟東中學(xué)模擬)如圖,在梯形ABCD中,ABCD,AB3CD,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)若xy,其中x,yR,則xy的值為_(kāi)答案解析由題意得,()(3)(33)2,故xy.思維升華(1)對(duì)于平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算,要先選擇一組基底,同時(shí)注意向量共線(xiàn)定理的靈活運(yùn)用(2)運(yùn)算過(guò)程中重視數(shù)形結(jié)合,結(jié)合圖形分析向量間的關(guān)系跟蹤演練1(1)已知兩點(diǎn)A(1,0),B(1,1),O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)C在第二象限,且AOC135,設(shè)(R),則的值為_(kāi)答案解析由AOC135知,點(diǎn)C在直線(xiàn)yx(x<0)上,設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(a,a),a<0,(R),有(a,a)(1,),得a1,a,消去a得.(2)如圖,一直線(xiàn)EF與平行四邊形ABCD的兩邊AB,AD分別交于E,F(xiàn)兩點(diǎn),且交對(duì)角線(xiàn)AC于點(diǎn)K,其中,則的值為_(kāi)答案解析,2.由向量加法的平行四邊形法則可知,()2,由E,F(xiàn),K三點(diǎn)共線(xiàn),得21,可得.熱點(diǎn)二平面向量的數(shù)量積例2(1)(2018江蘇興化一中模擬)在ABC中,點(diǎn)D,E分別在線(xiàn)段AC,BC上,若AE,BD相交于點(diǎn)F,且|,則_.答案3解析如圖,由已知,得0,()()0,0,()0,即0,BDAE,在RtBEF中,|23.(2)(2018江蘇揚(yáng)州中學(xué)模擬)如圖,已知ACBC4,ACB90,M為BC的中點(diǎn),D為以AC為直徑的圓上一動(dòng)點(diǎn),則的最小值是_答案84解析以AC的中點(diǎn)O為原點(diǎn),AC所在直線(xiàn)為x軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則A(2,0),C(2,0),O(0,0),M(2,2),設(shè)D(2cos ,2sin ),(4,2),(22cos ,2sin ),4(22cos )4sin 84sin(),其中tan 2,sin()1,1,()min84.思維升華(1)數(shù)量積的計(jì)算通常有三種方法:數(shù)量積的定義、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積的幾何意義,特別要注意向量坐標(biāo)法的運(yùn)用(2)求解幾何圖形中的數(shù)量積問(wèn)題,把向量分解轉(zhuǎn)化成已知向量的數(shù)量積計(jì)算是基本方法,但是如果建立合理的平面直角坐標(biāo)系,把數(shù)量積的計(jì)算轉(zhuǎn)化成坐標(biāo)運(yùn)算,也是一種較為簡(jiǎn)捷的方法跟蹤演練2(1)如圖,在梯形ABCD中,ABCD,AB4,AD3,CD2,2.若3,則_.答案解析方法一設(shè)4a,3b,其中|a|b|1,則2a,2b.由()()3,得(3b2a)(2b4a)3,化簡(jiǎn)得ab,所以12ab.方法二以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB所在直線(xiàn)為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系(圖略),則A(0,0),B(4,0),設(shè)D(3cos ,3sin ),則C(3cos 2,3sin ),M(2cos ,2sin )由3,得(3cos 2,3sin )(2cos 4,2sin )3,化簡(jiǎn)得cos ,所以12cos .(2)如圖,已知在ABC中,ABAC4,BAC90,D是BC的中點(diǎn),若向量m,且的終點(diǎn)M在ACD的內(nèi)部(不含邊界),則的取值范圍是_答案(2,6)解析()1616m216m23,由平行四邊形法則可得m,所以的取值范圍是(2,6)熱點(diǎn)三平面向量的綜合問(wèn)題例3(1)已知正實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足向量a(xy,2),b(xy2,1)共線(xiàn),c,且a(ac)0恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_答案解析由a(xy,2),b(xy2,1)共線(xiàn)得xy2(xy2),則xy42xy,即(xy)22(xy)80,當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)等號(hào)成立又由x,y是正實(shí)數(shù),得xy4.不等式a(ac)0,即a2ac,所以(xy)24m(xy)3,即(xy)2m(xy)10,令xyt,t4,則t2mt10,t4,)(*)對(duì)于方程t2mt10,當(dāng)m240,即2m2時(shí),(*)式恒成立;當(dāng)m<2時(shí),相應(yīng)二次函數(shù)yt2mt1的對(duì)稱(chēng)軸t<1,(*)式恒成立;當(dāng)m>2時(shí),由相應(yīng)二次函數(shù)yt2mt1的對(duì)稱(chēng)軸t<4,且164m10,得2<m.綜上可得,當(dāng)m時(shí),(*)式恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.(2)在ABC中,若2,則的值為_(kāi)答案解析方法一由2,得2bcacab,化簡(jiǎn)可得ac.由正弦定理得.方法二作AOBC,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),BC所在直線(xiàn)為x軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,設(shè)A(0,a),B(b,0),C(c,0),所以(c,a),(b,a),(cb,0),(b,a),(c,a),(bc,0),則由2,得b22cb2a2c20,所以b22cbc2(cb)22(a2b2),所以BCAB.由正弦定理得.思維升華向量和三角函數(shù)、解析幾何、不等式等知識(shí)的交匯是高考的熱點(diǎn),解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是從知識(shí)背景出發(fā),脫去向量外衣,回歸到所要考查的知識(shí)方法跟蹤演練3(1)若向量a(cos ,sin ),b(cos ,sin ),且|ab|2ab,則cos()的值是_答案1解析因?yàn)閨ab|2ab,所以2cos(),且cos()0,所以22cos()4cos2(),2cos2()cos()10,所以cos()1或cos()(舍去),所以cos()1.(2)設(shè)向量a(a1,a2),b(b1,b2),定義一種向量積ab(a1b1,a2b2),已知向量m,n,點(diǎn)P(x,y)在ysin x的圖象上運(yùn)動(dòng),Q是函數(shù)yf(x)圖象上的點(diǎn),且滿(mǎn)足mn(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則函數(shù)yf(x)的值域是_答案解析令Q(c,d),由新的運(yùn)算,可得mn,消去x,得dsin,yf(x)sin,易知yf(x)的值域是.1(2016江蘇)如圖,在ABC中,D是BC的中點(diǎn),E,F(xiàn)是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn),4,1,則的值是_答案解析設(shè)a,b,則(a)(b)ab4.又D為BC中點(diǎn),E,F(xiàn)為AD的兩個(gè)三等分點(diǎn),則()ab,ab.ab,aabab,babab,則a2b2ab(a2b2)41,可得a2b2.又aabab,babab,則(a2b2)ab4.2(2017江蘇)如圖,在同一個(gè)平面內(nèi),向量,的模分別為1,1,與的夾角為,且tan 7,與的夾角為45.若mn(m,nR),則mn_.答案3解析如圖,設(shè)m,n,則在ODC中,有ODm,DCn,OC,OCD45,由tan 7,得cos ,又由余弦定理知,即得42nm0,即m105n,代入得12n249n490,解得n或n,當(dāng)n時(shí),m105<0(舍去),當(dāng)n時(shí),m105,故mn3.3(2018全國(guó))已知向量a(1,2),b(2,2),c(1,)若c(2ab),則_.答案解析由題意得2ab(4,2),因?yàn)閏(2ab),所以42,得.4(2018揚(yáng)州樹(shù)人學(xué)校模擬)在ABC中,AH是底邊BC上的高,點(diǎn)G是三角形的重心,若AB2,AC4,BAH30,則()_.答案6解析如圖,在ABC中,AH是底邊BC上的高,AB2,BAH30,AH.由題意得.點(diǎn)G是ABC的重心,()()()(22)4.又|cosDAH|22.()246.5(2018江蘇鹽城中學(xué)模擬)在ABC中,ABAC,AB,ACt,P是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),若,則PBC面積的最小值為_(kāi)答案解析以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB所在直線(xiàn)為x軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,可得A(0,0),B,C(0,t),(4,0)(0,1)(4,1),P(4,1)又|,BC的方程為tx1,點(diǎn)P到直線(xiàn)BC的距離為d,PBC的面積為SBCd,當(dāng)且僅當(dāng)4t,即t時(shí)取等號(hào),PBC面積的最小值為.6(2017江蘇)已知向量a(cos x,sin x),b(3,),x0,(1)若ab,求x的值;(2)記f(x)ab,求f(x)的最大值和最小值以及對(duì)應(yīng)的x的值解(1)ab,3sin xcos x,3sin xcos x0,2sin0,即sin0,0x,x,x,x.(2)f(x)ab3cos xsin x2sin.x0,x,sin1,2f(x)3,當(dāng)x,即x0時(shí),f(x)取得最大值3;當(dāng)x,即x時(shí),f(x)取得最小值2.A組專(zhuān)題通關(guān)1設(shè)向量a,b滿(mǎn)足|ab|,|ab|,則ab_.答案1解析由|ab|,得|ab|210,即a22abb210.又|ab|,所以a22abb26,由,得4ab4,則ab1.2在ABC中,點(diǎn)M,N滿(mǎn)足2,.若xy,則xy_.答案解析(),x,y,xy.3已知向量a(1,2),b(2,4),|c|,若(ab)c,則a,c的夾角大小為_(kāi)答案120解析設(shè)a與c的夾角為,a(1,2),b(2,4),則b2a,(ab)cac,ac.cos ,0180,120.4已知向量a(2,1),b(1,2),若manb(9,8)(m,nR),則mn的值為_(kāi)答案3解析a(2,1),b(1,2),manb(2mn,m2n)(9,8),即解得故mn253.5(2018淮安模擬)如圖,在ABC中,已知AB3,AC2,BAC120,D為邊BC的中點(diǎn)若CEAD,垂足為E,則的值為_(kāi)答案解析()()2,由余弦定理,得BC,得cos C,AD,SACD,所以CE,所以.6在ABC中,已知23,則cos C的最小值是_答案解析已知23,可得bccos A2accos B3abcos C,由余弦定理得a22b23c2,由cos C,當(dāng)ba時(shí)取到等號(hào),故cos C的最小值為.7已知e1,e2是夾角為的兩個(gè)單位向量,ae12e2,bke1e2,若ab0,則k的值為_(kāi)答案解析因?yàn)閑1,e2是夾角為的兩個(gè)單位向量,所以e1e2|e1|e2|cose1,e2cos ,又ab0,所以(e12e2)(ke1e2)0,即k2(2k)0,解得k.8(2018南通模擬)在ABC中,AB5,AC4,且12,設(shè)P是平面ABC上的一點(diǎn),則()的最小值是_答案解析由AB5,AC4,且12,得cos A,如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AC所在直線(xiàn)為x軸建立直角坐標(biāo)系,則C(4,0),B(3,4),設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(x,y),則()(x,y)(72x,42y)2x27x2y24y222(y1)2,即()的最小值是.9設(shè)向量a(cos ,sin ),b(cos ,sin ),其中0<<<,若|2ab|a2b|,求的值解因?yàn)閨2ab|a2b|,所以|2ab|2|a2b|2,所以8ab3(|a|2|b|2)0,所以ab0.又因?yàn)閍(cos ,sin ),b(cos ,sin ),所以abcos cos sin sin cos()0,因?yàn)?<<<,所以.10(2018蘇北六市調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)向量a(cos ,sin ),b(sin ,cos ),c.(1)若|ab|c|,求sin()的值;(2)設(shè),0<<,且a(bc),求的值解(1)因?yàn)閍(cos ,sin ),b(sin ,cos ),c,所以|a|b|c|1,且abcos sin sin cos sin()因?yàn)閨ab|c|,所以|ab|2c2,即a22abb21,所以12sin()11,即sin().(2)因?yàn)椋詀.故bc.因?yàn)閍(bc),所以0.化簡(jiǎn)得,sin cos ,所以sin.因?yàn)?<<,所以<<.所以,即.B組能力提高11在ABC中,AB2,AC3,角A的角平分線(xiàn)與AB邊上的中線(xiàn)交于點(diǎn)O,若xy(x,yR),則xy的值為_(kāi)答案解析可設(shè)AB的中點(diǎn)為D,根據(jù)條件AO為BAC的角平分線(xiàn),從而可得,k>0.又D,O,C三點(diǎn)共線(xiàn)及D為AB的中點(diǎn),便可得出(1),從而由平面向量基本定理得所以k,所以xy.12(2018江蘇海門(mén)中學(xué)模擬)如圖,在扇形AOB中,OA4,AOB120,P為弧AB上的一點(diǎn),OP與AB相交于點(diǎn)C,若8,則的值為_(kāi)答案4解析由題意可知,44cosAOP8,則cosAOP,AOP60,結(jié)合平面幾何知識(shí)可得OCPCOP,由向量的運(yùn)算法則可知()()4284.13已知向量a(cos ,sin ),b(cos x,sin x),c(sin x2sin ,cos x2cos ),其中0<<x<.(1)若,求函數(shù)f(x)bc的最小值及相應(yīng)x的值;(2)若a與b的夾角為,且ac,求tan 2的值解(1)b(cos x,sin x),c(sin x2sin ,cos x2cos ),f(x)bccos xsin x2cos xsin sin xcos x2sin xcos 2sin xcos x(sin xcos x)令tsin xcos x,則2sin xcos xt21,且1<t<.則yt2t12,1<t<,t時(shí),ymin,此時(shí)sin xcos x,即sin,<x<,<x<,x,x.函數(shù)f(x)的最小值為,相應(yīng)x的值為.(2)a與b的夾角為,cos cos cos xsin sin xcos(x)0<<x<,0<x<,x.ac,cos (sin x2sin )sin (cos x2cos )0,sin(x)2sin 20,即sin2sin 20.sin 2cos 20,tan 2.14(2018江蘇泰州中學(xué)模擬)如圖,在ABC中,ABAC1,BAC.(1)求的值;(2)設(shè)點(diǎn)P在以A為圓心,AB為半徑的圓弧BC上運(yùn)動(dòng),且xy,其中x,yR.求xy的取值范圍解(1)()|21.(2)以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB所在直線(xiàn)為x軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則B(1,0),C.設(shè)P(cos ,sin ),由xy,得(cos ,sin )x(1,0)y.所以cos x,sin y.所以xcos sin ,ysin ,xysin cos sin2sin 2(1cos 2)sin.因?yàn)椋?,所以當(dāng)2,即時(shí),xy的最大值為1;當(dāng)2或2,即0或時(shí),xy的最小值為0.故xy的取值范圍是0,1

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