新編廣東省廣州市高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專項檢測試題：26 不等式證明

不等式證明例1：設(shè)，求證：分析：發(fā)現(xiàn)作差后變形、判斷符號較為困難?？紤]到兩邊都是正數(shù)，可以作商，判斷比值與1的大小關(guān)系，從而證明不等式。證明：，又，。說明：本題考查不等式的證明方法比較法(作商比較法)。作商比較法證明不等式的步驟是：判斷符號、作商、變形、判斷與1的大小。例2：對于任意實數(shù)、，求證（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）。分析：這個題若使用比較法來證明，將會很麻煩，因為，所要證明的不等式中有，展開后很復(fù)雜。若使用綜合法，從重要不等式：出發(fā)，再恰當(dāng)?shù)乩貌坏仁降挠嘘P(guān)性質(zhì)及“配方”的技巧可得到證明。證明： （當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）兩邊同加，即：（1）又：（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），兩邊同加，（2）由（1）和（2）可得（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）。說明：此題參考用綜合法證明不等式。綜合法證明不等式主要是應(yīng)用均值不等式來證明，要注意均值不等式的變形應(yīng)用，一般式子中出現(xiàn)有平方和乘積形式后可以考慮用綜合法來解。例3：若，證明，（且）。 分析1：用作差法來證明。需分為和兩種情況，去掉絕對值符號，然后比較法證明。解法1：當(dāng)時，因為，所以。當(dāng)時，因為，所以。綜上，。分析2：直接作差，然后用對數(shù)的性質(zhì)來去絕對值符號。解法2：作差比較法。因為，所以。說明：解法1用分類相當(dāng)于增設(shè)了已知條件，便于在變形中脫去絕對值符號；解法2用對數(shù)性質(zhì)（換底公式）也能達到同樣的目的，且不必分而治之，其解法自然簡捷、明快。補充：（比較法）已知，求證：。解法1：。因為，所以，所以，所以，命題得證。解法2：因為，所以，所以，由解法1可知：上式。故命題得證。例4：已知、，求證分析 顯然這個題用比較法是不易證出的。若把通分，則會把不等式變得較復(fù)雜而不易得到證明。由于右邊是一個常數(shù)，故可考慮把左邊的式子變?yōu)榫哂小暗箶?shù)”特征的形式，比如，再利用“均值定理”就有可能找到正確的證明途徑，這也常稱為“湊倒數(shù)”的技巧。證明：，同理：，。 說明：此題考查了變形應(yīng)用綜合法證明不等式。題目中用到了“湊倒數(shù)”，這種技巧在很多不等式證明中都可應(yīng)用，但有時要首先對代數(shù)式進行適當(dāng)變形，以期達到可以“湊倒數(shù)”的目的。例5：已知，求證：0。分析：此題直接入手不容易，考慮用分析法來證明，由于分析法的過程可以用綜合法來書寫，所以此題用兩種方法來書寫證明過程。（分析法書寫過程）證明1：為了證明0只需要證明0成立0成立（綜合法書寫過程）證明2：，0，成立，0成立說明：學(xué)會分析法入手，綜合法書寫證明過程，但有時這兩種方法經(jīng)?；煸谝黄饝?yīng)用，混合應(yīng)用時，應(yīng)用語言敘述清楚。例6：已知，求證：。分析：欲證不等式看起來較為“復(fù)雜”，宜將它化為較“簡單”的形式，因而用分析法證明較好。證明：欲證，只須證。即要證，即要證。即要證，即要證。即要證，即，即要證（*），（*）顯然成立，故說明：分析法證明不等式，實質(zhì)上是尋求結(jié)論成立的一個充分條件。分析法通常采用“欲證只要證即證已知”的格式。例7：設(shè)是正整數(shù)，求證。分析：要求一個項分式的范圍，它的和又求不出來，可以采用“化整為零”的方法，觀察每一項的范圍，再求整體的范圍。證明：由，得。當(dāng)時，；當(dāng)時，.當(dāng)時，。說明1：用放縮法證明不等式，放縮要適應(yīng)，否則會走入困境。例如證明。由，如果從第3項開始放縮，正好可證明；如果從第2項放縮，可得小于2。當(dāng)放縮方式不同，結(jié)果也在變化。 說明2：放縮法一般包括：用縮小分母，擴大分子，分式值增大；縮小分子，擴大分母，分式值縮?。蝗坎簧儆诓糠?；每一次縮小其和變小，但需大于所求，第一次擴大其和變大，但需小于所求，即不能放縮不夠或放縮過頭，同時放縮后便于求和。例8：求證。證明：，。說明：此題證明過程并不復(fù)雜，但思路難尋。本題所采用的方法也是解不等式時常用的一種方法，即放縮法。這類題目靈活多樣，需要巧妙變形，問題才能化隱為顯，這里變形的這一步極為關(guān)鍵。例9：證明不等式：，。講解：此題為與自然數(shù)有關(guān)的命題，故可考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明。解法1：當(dāng)時命題成立。假設(shè)時命題成立，即：。則當(dāng)時，不等式的左端不等式的右端。由于 。所以，即時命題也成立。由可知：原不等式得證。從上述證法可以看出：其中用到了這一事實，從而達到了和之間的轉(zhuǎn)化，也即和之間的轉(zhuǎn)化，這就提示我們，本題是否可以直接利用這一關(guān)系進行放縮？觀察原不等式，若直接證明，直接化簡是不可能的，但如果利用進行放縮，則可以達到目的，由此得解2。解法2：因為對于任意自然數(shù)，都有，所以，從而不等式得證。