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新編廣東省廣州市高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專項檢測試題:26 不等式證明

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新編廣東省廣州市高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專項檢測試題:26 不等式證明

不等式證明例1:設(shè),求證:分析:發(fā)現(xiàn)作差后變形、判斷符號較為困難??紤]到兩邊都是正數(shù),可以作商,判斷比值與1的大小關(guān)系,從而證明不等式。證明:,又,。說明:本題考查不等式的證明方法比較法(作商比較法)。作商比較法證明不等式的步驟是:判斷符號、作商、變形、判斷與1的大小。例2:對于任意實數(shù)、,求證(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號)。分析:這個題若使用比較法來證明,將會很麻煩,因為,所要證明的不等式中有,展開后很復(fù)雜。若使用綜合法,從重要不等式:出發(fā),再恰當(dāng)?shù)乩貌坏仁降挠嘘P(guān)性質(zhì)及“配方”的技巧可得到證明。證明: (當(dāng)且僅當(dāng)時取等號)兩邊同加,即:(1)又:(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號),兩邊同加,(2)由(1)和(2)可得(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號)。說明:此題參考用綜合法證明不等式。綜合法證明不等式主要是應(yīng)用均值不等式來證明,要注意均值不等式的變形應(yīng)用,一般式子中出現(xiàn)有平方和乘積形式后可以考慮用綜合法來解。例3:若,證明,(且)。 分析1:用作差法來證明。需分為和兩種情況,去掉絕對值符號,然后比較法證明。解法1:當(dāng)時,因為,所以。當(dāng)時,因為,所以。綜上,。分析2:直接作差,然后用對數(shù)的性質(zhì)來去絕對值符號。解法2:作差比較法。因為,所以。說明:解法1用分類相當(dāng)于增設(shè)了已知條件,便于在變形中脫去絕對值符號;解法2用對數(shù)性質(zhì)(換底公式)也能達到同樣的目的,且不必分而治之,其解法自然簡捷、明快。補充:(比較法)已知,求證:。解法1:。因為,所以,所以,所以,命題得證。解法2:因為,所以,所以,由解法1可知:上式。故命題得證。例4:已知、,求證分析 顯然這個題用比較法是不易證出的。若把通分,則會把不等式變得較復(fù)雜而不易得到證明。由于右邊是一個常數(shù),故可考慮把左邊的式子變?yōu)榫哂小暗箶?shù)”特征的形式,比如,再利用“均值定理”就有可能找到正確的證明途徑,這也常稱為“湊倒數(shù)”的技巧。證明:,同理:,。 說明:此題考查了變形應(yīng)用綜合法證明不等式。題目中用到了“湊倒數(shù)”,這種技巧在很多不等式證明中都可應(yīng)用,但有時要首先對代數(shù)式進行適當(dāng)變形,以期達到可以“湊倒數(shù)”的目的。例5:已知,求證:0。分析:此題直接入手不容易,考慮用分析法來證明,由于分析法的過程可以用綜合法來書寫,所以此題用兩種方法來書寫證明過程。(分析法書寫過程)證明1:為了證明0只需要證明0成立0成立(綜合法書寫過程)證明2:,0,成立,0成立說明:學(xué)會分析法入手,綜合法書寫證明過程,但有時這兩種方法經(jīng)?;煸谝黄饝?yīng)用,混合應(yīng)用時,應(yīng)用語言敘述清楚。例6:已知,求證:。分析:欲證不等式看起來較為“復(fù)雜”,宜將它化為較“簡單”的形式,因而用分析法證明較好。證明:欲證,只須證。即要證,即要證。即要證,即要證。即要證,即,即要證(*),(*)顯然成立,故說明:分析法證明不等式,實質(zhì)上是尋求結(jié)論成立的一個充分條件。分析法通常采用“欲證只要證即證已知”的格式。例7:設(shè)是正整數(shù),求證。分析:要求一個項分式的范圍,它的和又求不出來,可以采用“化整為零”的方法,觀察每一項的范圍,再求整體的范圍。證明:由,得。當(dāng)時,;當(dāng)時,.當(dāng)時,。說明1:用放縮法證明不等式,放縮要適應(yīng),否則會走入困境。例如證明。由,如果從第3項開始放縮,正好可證明;如果從第2項放縮,可得小于2。當(dāng)放縮方式不同,結(jié)果也在變化。 說明2:放縮法一般包括:用縮小分母,擴大分子,分式值增大;縮小分子,擴大分母,分式值縮?。蝗坎簧儆诓糠?;每一次縮小其和變小,但需大于所求,第一次擴大其和變大,但需小于所求,即不能放縮不夠或放縮過頭,同時放縮后便于求和。例8:求證。證明:,。說明:此題證明過程并不復(fù)雜,但思路難尋。本題所采用的方法也是解不等式時常用的一種方法,即放縮法。這類題目靈活多樣,需要巧妙變形,問題才能化隱為顯,這里變形的這一步極為關(guān)鍵。例9:證明不等式:,。講解:此題為與自然數(shù)有關(guān)的命題,故可考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明。解法1:當(dāng)時命題成立。假設(shè)時命題成立,即:。則當(dāng)時,不等式的左端不等式的右端。由于 。所以,即時命題也成立。由可知:原不等式得證。從上述證法可以看出:其中用到了這一事實,從而達到了和之間的轉(zhuǎn)化,也即和之間的轉(zhuǎn)化,這就提示我們,本題是否可以直接利用這一關(guān)系進行放縮?觀察原不等式,若直接證明,直接化簡是不可能的,但如果利用進行放縮,則可以達到目的,由此得解2。解法2:因為對于任意自然數(shù),都有,所以,從而不等式得證。

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