（浙江專用）2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)精準(zhǔn)提分 第二篇 重點專題分層練中高檔題得高分 第24練 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用試題.docx

第24練導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用明晰考情1.命題角度：函數(shù)與方程、不等式的交匯是考查的熱點，常以指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)為載體考查函數(shù)的零點(方程的根)、比較大小、不等式證明、不等式恒成立與能成立問題.2.題目難度：偏難考點一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(方程的根)方法技巧求解函數(shù)零點(方程根)的個數(shù)問題的基本思路：(1)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與x軸(或直線yk)在該區(qū)間上的交點問題；(2)利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)性、極值(最值)、端點值等性質(zhì)，進而畫出其圖象；(3)結(jié)合圖象求解1設(shè)函數(shù)f(x)x3ax2bxc.(1)求曲線yf(x)在點(0，f(0)處的切線方程；(2)設(shè)ab4，若函數(shù)f(x)有三個不同零點，求c的取值范圍解(1)由f(x)x3ax2bxc，得f(x)3x22axb.f(0)c，f(0)b，曲線yf(x)在點(0，f(0)處的切線方程為ybxc.(2)當(dāng)ab4時，f(x)x34x24xc，f(x)3x28x4.令f(x)0，得3x28x40，解得x2或x.當(dāng)x變化時，f(x)與f(x)在區(qū)間(，)上的變化情況如下：x(，2)2f(x)00f(x)cc當(dāng)c>0且c<0時，f(4)c16<0，f(0)c>0，存在x1(4，2)，x2，x3，使得f(x1)f(x2)f(x3)0.由f(x)的單調(diào)性知，當(dāng)且僅當(dāng)c時，函數(shù)f(x)x34x24xc有三個不同零點2已知函數(shù)f(x)2lnx(aR，a0)(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)f(x)有最小值，記為g(a)，關(guān)于a的方程g(a)a1m有三個不同的實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍解(1)f(x)(x>0)，當(dāng)a<0時，f(x)<0，則f(x)在(0，)上單調(diào)遞減；當(dāng)a>0時，f(x)，則f(x)在(0，)上單調(diào)遞減，在(，)上單調(diào)遞增(2)由(1)知，a>0，f(x)minf()1lna，即g(a)1lna，方程g(a)a1m，即malna(a>0)，令F(a)alna(a>0)，則F(a)1，知F(a)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，F(xiàn)(a)極大值Fln3，F(xiàn)(a)極小值Fln2ln3.依題意得實數(shù)m的取值范圍是.3已知aR，函數(shù)f(x)exax(e2.71828是自然對數(shù)的底數(shù))(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(e，1)上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若函數(shù)F(x)f(x)(ex2ax2lnxa)在區(qū)間內(nèi)無零點，求實數(shù)a的最大值解(1)由f(x)exax，得f(x)exa且f(x)在R上單調(diào)遞增若f(x)在區(qū)間(e，1)上是減函數(shù)，只需f(x)0在(e，1)上恒成立因此只需f(1)e1a0，解得a.又當(dāng)a時，f(x)ex0，當(dāng)且僅當(dāng)x1時取等號所以實數(shù)a的取值范圍是.(2)由已知得F(x)a(x1)2lnx，且F(1)0，則F(x)a，x>0.當(dāng)a0時，F(xiàn)(x)<0，F(xiàn)(x)在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞減，結(jié)合F(1)0知，當(dāng)x時，F(xiàn)(x)>0.所以F(x)在內(nèi)無零點當(dāng)a>0時，令F(x)0，得x.若，即a(0,4時，則F(x)在上是減函數(shù)又x0時，F(xiàn)(x).要使F(x)在內(nèi)無零點，只需F2ln0，則0<a4ln2.若<，即a>4時，則F(x)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)所以F(x)minF2a2ln，令(a)2a2ln，則(a)1<0.所以(a)在(4，)上是減函數(shù)，則(a)<(4)2ln22<0.因此F<0，所以F(x)在內(nèi)一定有零點，不合題意，舍去綜上，函數(shù)F(x)在內(nèi)無零點，應(yīng)有a4ln2，所以實數(shù)a的最大值為4ln2.考點二利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題方法技巧利用導(dǎo)數(shù)證明不等式f(x)>g(x)在區(qū)間D上恒成立的基本方法是構(gòu)造函數(shù)h(x)f(x)g(x)，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性或者函數(shù)的最值證明函數(shù)h(x)>0.其中找到函數(shù)h(x)f(x)g(x)的零點是解題的突破口4設(shè)函數(shù)f(x)lnxx1.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)x(1，)時，1<<x. (1)解由f(x)lnxx1(x>0)，得f(x)1.令f(x)0，解得x1.當(dāng)0<x<1時，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>1時，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減因此，f(x)在(0,1)上為增函數(shù)，在(1，)上為減函數(shù)(2)證明當(dāng)x(1，)時，1<<x，即為ln x<x1<xln x.結(jié)合(1)知，當(dāng)x>1時，f(x)<0恒成立，即f(x)在(1，)上單調(diào)遞減，可得f(x)<f(1)0，即有l(wèi)n x<x1；設(shè)F(x)xln xx1，x>1，則F(x)1ln x1ln x，當(dāng)x>1時，F(xiàn)(x)>0，可得F(x)在(1，)上單調(diào)遞增，即有F(x)>F(1)0，即有xln x>x1.綜上，原不等式得證5(2018全國)已知函數(shù)f(x)xalnx.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)存在兩個極值點x1，x2，證明：a2.(1)解f(x)的定義域為(0，)，f(x)1.若a2，則f(x)0，當(dāng)且僅當(dāng)a2，x1時，f(x)0，所以f(x)在(0，)上單調(diào)遞減若a2，令f(x)0，得x或x.當(dāng)x時，f(x)0；當(dāng)x時，f(x)0.所以f(x)在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增(2)證明由(1)知，f(x)存在兩個極值點當(dāng)且僅當(dāng)a2.由于f(x)的兩個極值點x1，x2滿足x2ax10，所以x1x21，不妨設(shè)x1x2，則x21.由于1a2a2a，所以a2等價于x22lnx20.設(shè)函數(shù)g(x)x2lnx，由(1)知，g(x)在(0，)上單調(diào)遞減又g(1)0，從而當(dāng)x(1，)時，g(x)0.所以x22lnx20，即a2.6設(shè)函數(shù)f(x)e2xalnx.(1)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)零點的個數(shù)；(2)證明：當(dāng)a>0時，f(x)2aaln.(1)解f(x)的定義域為(0，)，f(x)2e2x(x>0)當(dāng)a0時，f(x)>0，f(x)沒有零點；當(dāng)a>0時，設(shè)u(x)e2x，v(x)，因為u(x)e2x在(0，)上單調(diào)遞增，v(x)在(0，)上單調(diào)遞增，所以f(x)在(0，)上單調(diào)遞增又f(a)>0，當(dāng)b滿足0<b<且b<時，f(b)<0，故當(dāng)a>0時，f(x)存在唯一零點(2)證明由(1)，可設(shè)f(x)在(0，)上的唯一零點為x0，當(dāng)x(0，x0)時，f(x)<0；當(dāng)x(x0，)時，f(x)>0.故f(x)在(0，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)xx0時，f(x)取得最小值，最小值為f(x0)由于0，所以f(x0)alnx02ax02ax0alnx02ax0aln2aaln.當(dāng)且僅當(dāng)x0時，取等號故當(dāng)a>0時，f(x)2aaln.考點三不等式恒成立或有解問題方法技巧不等式恒成立、能成立問題常用解法(1)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求最值，不等式恒成立問題在變量與參數(shù)易于分離的情況下，采用分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，形如a>f(x)max或a<f(x)min.(2)直接轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，在參數(shù)難于分離的情況下，直接轉(zhuǎn)化為含參函數(shù)的最值問題，注意對參數(shù)的分類討論(3)數(shù)形結(jié)合，構(gòu)造函數(shù)，借助函數(shù)圖象的幾何直觀性求解，一定要重視函數(shù)性質(zhì)的靈活應(yīng)用7已知函數(shù)f(x)exex2ax(aR)(1)若f(x)在(0,1)上單調(diào)，求a的取值范圍；(2)若函數(shù)yf(x)exlnx的圖象恒在x軸上方，求a的最小整數(shù)解解(1)由題意知，f(x)ex2exa，令h(x)ex2exa，則h(x)ex2e，當(dāng)x(0,1)時，h(x)<0，h(x)單調(diào)遞減，即f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減若f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，則f(1)0，即ae；若f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，則f(0)0，即a1.綜上可知，a的取值范圍為(，1e，)(2)由題意知，yf(x)exlnxex>0恒成立，令g(x)xlnx(x>0)，g(x)，令t(x)ex1x，t(x)ex11，當(dāng)x>1時，t(x)>0，t(x)單調(diào)遞增，當(dāng)0<x<1時，t(x)<0，t(x)單調(diào)遞減，t(x)t(1)0，ex1x0.當(dāng)x1時，g(x)單調(diào)遞增，當(dāng)0<x<1時，g(x)單調(diào)遞減，g(x)g(1)，結(jié)合題意，知a>0，故a的最小整數(shù)解為1.8已知函數(shù)f(x)lnx.(1)若函數(shù)g(x)f(x)axx2有兩個極值點，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若關(guān)于x的方程f(x)m(x1)(mZ)有實數(shù)解，求整數(shù)m的最大值解(1)g(x)lnxaxx2(x>0)，則g(x)，由題意得方程x2ax10有兩個不等的正實數(shù)根，設(shè)兩根為x1，x2，則a>2.即a的取值范圍為(2，)(2)方程lnxm(x1)，即m，設(shè)h(x)(x>0)，則h(x)，令(x)lnx(x>0)，則(x)<0, (x)在(0，)上單調(diào)遞減，h(e)>0，h(e2)<0，存在x0(e，e2)，使得h(x0)0，即lnx0，當(dāng)x(0，x0)時，h(x)>0，h(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x(x0，)時，h(x)<0，h(x)單調(diào)遞減，h(x)max，即mh(x)max(mZ)，故m0，整數(shù)m的最大值為0.9已知函數(shù)f(x)x(a1)lnx(aR)，g(x)x2exxex.(1)當(dāng)x1，e時，求f(x)的最小值；(2)當(dāng)a1時，若存在x1e，e2，使得對任意的x22,0，f(x1)g(x2)恒成立，求a的取值范圍解(1)f(x)的定義域為(0，)，f(x).若a1，當(dāng)x1，e時，f(x)0，則f(x)在1，e上為增函數(shù)，f(x)minf(1)1a.若1ae，當(dāng)x1，a時，f(x)0，f(x)為減函數(shù)；當(dāng)xa，e時，f(x)0，f(x)為增函數(shù)所以f(x)minf(a)a(a1)lna1.若ae，當(dāng)x1，e時，f(x)0，f(x)在1，e上為減函數(shù)，f(x)minf(e)e(a1).綜上，當(dāng)a1時，f(x)min1a；當(dāng)1ae時，f(x)mina(a1)lna1；當(dāng)ae時，f(x)mine(a1).(2)由題意知，f(x)(xe，e2)的最小值小于g(x)(x2,0)的最小值由(1)知，f(x)在e，e2上單調(diào)遞增，f(x)minf(e)e(a1).g(x)(1ex)x.當(dāng)x2,0時，g(x)0，g(x)為減函數(shù)，g(x)ming(0)1，所以e(a1)1，即a，所以a的取值范圍為.例(15分)已知函數(shù)f(x)lnxmxm，mR.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)0在x(0，)上恒成立，求實數(shù)m的值；(3)在(2)的條件下，對任意的0ab，求證：.審題路線圖(1)(2)(3)規(guī)范解答評分標(biāo)準(zhǔn)(1)解f(x)m(x(0，)當(dāng)m0時，f(x)0恒成立，則函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞增；當(dāng)m0時，由f(x)m0，可得x，則f(x)在上單調(diào)遞增，由f(x)m0，可得x，則f(x)在上單調(diào)遞減.6分(2)解由(1)知，當(dāng)m0時顯然不成立；當(dāng)m0時，f(x)maxfln1mmlnm1，只需mlnm10即可，令g(x)xlnx1，則g(x)1，函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增，所以g(x)ming(1)0.故f(x)0在x(0，)上恒成立時，m1.10分(3)證明11，由0ab，得1，由(2)得ln1，則11，則原不等式成立.15分構(gòu)建答題模板第一步求導(dǎo)數(shù)第二步看性質(zhì)：根據(jù)導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等性質(zhì)第三步用性質(zhì)：將題中條件或要證結(jié)論轉(zhuǎn)化，如果成立或有解問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值，證明不等式可利用函數(shù)單調(diào)性和放縮法第四步得結(jié)論：審視轉(zhuǎn)化過程的合理性第五步再反思：回顧反思，檢查易錯點和步驟規(guī)范性1設(shè)函數(shù)f(x)klnx，k>0.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)證明：若f(x)存在零點，則f(x)在區(qū)間(1，上僅有一個零點(1)解函數(shù)的定義域為(0，)由f(x)klnx(k>0)，得f(x)x.由f(x)0，解得x(負值舍去)f(x)與f(x)在區(qū)間(0，)上隨x的變化情況如下表：x(0，)(，)f(x)0f(x)所以，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0，)，單調(diào)遞增區(qū)間是(，)f(x)在x處取得極小值f()，無極大值(2)證明由(1)知，f(x)在區(qū)間(0，)上的最小值為f().因為f(x)存在零點，所以0，從而ke，當(dāng)ke時，f(x)在區(qū)間(1，上單調(diào)遞減且f()0，所以x是f(x)在區(qū)間(1，上的唯一零點；當(dāng)k>e時，f(x)在區(qū)間(1，上單調(diào)遞減且f(1)>0，f()<0，所以f(x)在區(qū)間(1，上僅有一個零點綜上可知，若f(x)存在零點，則f(x)在區(qū)間(1，上僅有一個零點2已知函數(shù)f(x)lnxax2(2a1)x.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)a<0時，證明f(x)2.(1)解f(x)的定義域為(0，)，f(x)2ax2a1.若a0，則當(dāng)x(0，)時，f(x)>0，故f(x)在(0，)上單調(diào)遞增若a<0，則當(dāng)x時，f(x)>0；當(dāng)x時，f(x)<0.故f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減綜上，當(dāng)a0時，f(x)在(0，)上單調(diào)遞增；當(dāng)a<0時，f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減(2)證明由(1)知，當(dāng)a<0時，f(x)在x處取得最大值，最大值為fln1，所以f(x)2等價于ln12，即ln10.設(shè)g(x)lnxx1(x>0)，則g(x)1.當(dāng)x(0,1)時，g(x)>0；當(dāng)x(1，)時，g(x)<0.所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減故當(dāng)x1時，g(x)取得最大值，最大值為g(1)0.所以當(dāng)x>0時，g(x)0.從而當(dāng)a<0時，ln10，即f(x)2.3(2018浙江)已知函數(shù)f(x)lnx.(1)若f(x)在xx1，x2(x1x2)處導(dǎo)數(shù)相等，證明：f(x1)f(x2)88ln2；(2)若a34ln2，證明：對于任意k0，直線ykxa與曲線yf(x)有唯一公共點證明(1)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x).由f(x1)f(x2)得.因為x1x2，所以.由基本不等式，得2.因為x1x2，所以x1x2256.由題意得f(x1)f(x2)lnx1lnx2ln(x1x2)設(shè)g(x)lnx，則g(x)(4)，當(dāng)x變化時，g(x)和g(x)的變化情況如下表所示：x(0,16)16(16，)g(x)0g(x)24ln2所以g(x)在(256，)上單調(diào)遞增，故g(x1x2)g(256)88ln2，即f(x1)f(x2)88ln2.(2)令me(|a|k)，n21，則f(m)kma|a|kka0，f(n)knann0，所以存在x0(m，n)，使f(x0)kx0a，所以對于任意的aR及k(0，)，直線ykxa與曲線yf(x)有公共點由f(x)kxa，得k.設(shè)h(x)，則h(x)，其中g(shù)(x)lnx.由(1)可知g(x)g(16)，又a34ln2，故g(x)1ag(16)1a34ln2a0，所以h(x)0，即函數(shù)h(x)在(0，)上單調(diào)遞減，因此方程f(x)kxa0有唯一一個實根綜上，當(dāng)a34ln2時，對于任意k0，直線ykxa與曲線yf(x)有唯一公共點4(2018宣城模擬)已知函數(shù)f(x)ablnx(其中a，bR)(1)當(dāng)b4時，若f(x)在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；(2)當(dāng)a1時，是否存在實數(shù)b，使得當(dāng)x時，不等式f(x)>0恒成立，如果存在，求b的取值范圍，如果不存在，請說明理由解(1)函數(shù)f(x)的定義域是(0，)，當(dāng)b4時，f(x).若f(x)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則a.max1，a1；若f(x)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞減，則a，min在x時取得，即0.a0.綜上，a0或a1.(2)f(x)blnx>0在xe，e2上恒成立，令ylnx，xe，e2，y>0，函數(shù)ylnx在xe，e2上單調(diào)遞增，故當(dāng)xe時，y取最小值1>0，故ylnx>0在xe，e2上恒成立，故問題轉(zhuǎn)化為b>在xe，e2上恒成立，令h(x)，xe，e2，h(x)，令m(x)lnx1，xe，e2，m(x)>0，而m(e)<0，m(e2)>0，故存在x0e，e2，使得h(x)在e，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，e2上單調(diào)遞增，h(x)maxh(e2)或h(e)，h(e2)<h(e)，b>.綜上，存在b滿足題意，此時b.