（天津?qū)Ｓ茫?020版高考數(shù)學大一輪復習 6.3 等比數(shù)列精練.docx

6.3等比數(shù)列挖命題【考情探究】考點內(nèi)容解讀5年考情預測熱度考題示例考向關(guān)聯(lián)考點1.等比數(shù)列的有關(guān)概念及運算1.理解等比數(shù)列的概念2.掌握等比數(shù)列的通項公式3.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系4.掌握等比數(shù)列的前n項和公式2018天津文,18等比數(shù)列的通項公式數(shù)列求和的基本方法2.等比數(shù)列的性質(zhì)及應用能利用等比數(shù)列的性質(zhì)解決相應的問題2016天津,5等比數(shù)列性質(zhì)的應用充分必要條件的判斷分析解讀天津高考對等比數(shù)列的考查主要是基本量的運算、an和Sn的關(guān)系以及等比數(shù)列的性質(zhì).對等比數(shù)列的定義、通項公式、性質(zhì)及等比中項的考查,常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),難度較小.對前n項和以及與其他知識(函數(shù)、不等式)相結(jié)合的考查,多以解答題的形式出現(xiàn).解決問題時要注意下標之間的關(guān)系,并選擇適當?shù)墓?破考點【考點集訓】考點一等比數(shù)列的有關(guān)概念及運算1.已知等比數(shù)列an中,a1=1,且a4+a5+a8a1+a2+a5=8,那么S5的值是()A.15B.31C.63D.64答案B2.已知等比數(shù)列an中,a2=2,a3a4=32,那么a8的值為.答案1283.(2014安徽,12,5分)數(shù)列an是等差數(shù)列,若a1+1,a3+3,a5+5構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列,則q=.答案14.(2011北京文,12,5分)在等比數(shù)列an中,若a1=12,a4=4,則公比q=;a1+a2+an=.答案2;2n-1-12考點二等比數(shù)列的性質(zhì)及應用5.已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn,則下列結(jié)論一定成立的是()A.若a5>0,則a2017<0B.若a6>0,則a2018<0C.若a5>0,則S2017>0D.若a6>0,則S2018>0答案C6.已知等比數(shù)列an的公比q>0,其前n項和為Sn,若a1=1,4a3=a2a4.(1)求公比q和a5的值;(2)求證:Snan<2.解析(1)因為an為等比數(shù)列,且4a3=a2a4,所以4a3=a32,又由題意知an0,所以a3=4,所以q2=a3a1=4,所以q=2,又因為q>0,所以q=2.所以a5=a1q4=16.(2)證法一:因為a1=1,q=2,所以an=a1qn-1=2n-1,nN*,Sn=a1(1-qn)1-q=2n-1,所以Snan=2n-12n-1=2-12n-1,因為12n-1>0,所以Snan=2-12n-1<2.證法二:因為a1=1,q=2,所以an=a1qn-1=2n-1,Sn=a1(1-qn)1-q=2n-1,所以Snan-2=-12n-1<0,所以Snan<2.煉技法【方法集訓】方法1等比數(shù)列的基本運算技巧1.(2015課標,4,5分)已知等比數(shù)列an滿足a1=3,a1+a3+a5=21,則a3+a5+a7=()A.21B.42C.63D.84答案B2.(2015課標文,9,5分)已知等比數(shù)列an滿足a1=14,a3a5=4(a4-1),則a2=()A.2B.1C.12D.18答案C方法2等比數(shù)列的判定3.已知數(shù)列an的前n項和為Sn,且Sn=4an-3(nN*).(1)證明:數(shù)列an是等比數(shù)列;(2)若數(shù)列bn滿足bn+1=an+bn(nN*),且b1=2,求數(shù)列bn的通項公式.解析(1)證明:由Sn=4an-3可知,當n=1時,a1=4a1-3,解得a1=1.當n2時,an=Sn-Sn-1=(4an-3)-(4an-1-3)=4an-4an-1,即an=43an-1,an是首項為1,公比為43的等比數(shù)列.(2)由(1)可知an=43n-1,由bn+1=an+bn(nN*)得bn+1-bn=an=43n-1.所以當n2時,bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+(bn-bn-1)=2+430+431+43n-2=2+1-43n-11-43=343n-1-1.當n=1時上式也滿足條件,故數(shù)列bn的通項公式為bn=343n-1-1,nN*.思路分析(2)根據(jù)(1)求數(shù)列an的遞推公式,代入bn+1=an+bn(nN*),可得數(shù)列bn的遞推公式,再用迭代法即可求出bn的通項公式.4.(2016課標,17,12分)已知數(shù)列an的前n項和Sn=1+an,其中0.(1)證明an是等比數(shù)列,并求其通項公式;(2)若S5=3132,求.解析(1)由題意得a1=S1=1+a1,故1,a1=11-,a10.由Sn=1+an,Sn+1=1+an+1得an+1=an+1-an,即an+1(-1)=an.由a10,0得an0,所以an+1an=-1.因此an是首項為11-,公比為-1的等比數(shù)列,于是an=11-1n-1.(2)由(1)得Sn=1-1n.由S5=3132得1-15=3132,即-15=132.解得=-1.思路分析(1)先由題設(shè)利用an+1=Sn+1-Sn得到an+1與an的關(guān)系式,要證數(shù)列是等比數(shù)列,關(guān)鍵是看an+1與an之比是不是一常數(shù),其中說明an0是非常重要的.(2)利用第(1)問的結(jié)論解方程求出.過專題【五年高考】A組自主命題天津卷題組考點一等比數(shù)列的有關(guān)概念及運算(2018天津文,18,13分)設(shè)an是等差數(shù)列,其前n項和為Sn(nN*);bn是等比數(shù)列,公比大于0,其前n項和為Tn(nN*).已知b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6.(1)求Sn和Tn;(2)若Sn+(T1+T2+Tn)=an+4bn,求正整數(shù)n的值.解析本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式等基礎(chǔ)知識.考查數(shù)列求和的基本方法和運算求解能力.(1)設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q.由b1=1,b3=b2+2,可得q2-q-2=0.因為q>0,可得q=2,故bn=2n-1.所以,Tn=1-2n1-2=2n-1.設(shè)等差數(shù)列an的公差為d.由b4=a3+a5,可得a1+3d=4.由b5=a4+2a6,可得3a1+13d=16,從而a1=1,d=1,故an=n,所以,Sn=n(n+1)2.(2)由(1),有T1+T2+Tn=(21+22+2n)-n=2(1-2n)1-2-n=2n+1-n-2.由Sn+(T1+T2+Tn)=an+4bn可得n(n+1)2+2n+1-n-2=n+2n+1,整理得n2-3n-4=0,解得n=-1(舍),或n=4.所以,n的值為4.考點二等比數(shù)列的性質(zhì)及應用(2016天津,5,5分)設(shè)an是首項為正數(shù)的等比數(shù)列,公比為q,則“q<0”是“對任意的正整數(shù)n,a2n-1+a2n<0”的()A.充要條件B.充分而不必要條件C.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件答案CB組統(tǒng)一命題、省(區(qū)、市)卷題組考點一等比數(shù)列的有關(guān)概念及運算1.(2017課標,3,5分)我國古代數(shù)學名著算法統(tǒng)宗中有如下問題:“遠望巍巍塔七層,紅光點點倍加增,共燈三百八十一,請問尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈()A.1盞B.3盞C.5盞D.9盞答案B2.(2017課標,14,5分)設(shè)等比數(shù)列an滿足a1+a2=-1,a1-a3=-3,則a4=.答案-83.(2017江蘇,9,5分)等比數(shù)列an的各項均為實數(shù),其前n項和為Sn.已知S3=74,S6=634,則a8=.答案324.(2016課標,15,5分)設(shè)等比數(shù)列an滿足a1+a3=10,a2+a4=5,則a1a2an的最大值為.答案645.(2018課標,17,12分)等比數(shù)列an中,a1=1,a5=4a3.(1)求an的通項公式;(2)記Sn為an的前n項和.若Sm=63,求m.解析本題考查等比數(shù)列的概念及其運算.(1)設(shè)an的公比為q,由題設(shè)得an=qn-1.由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去)或q=-2或q=2.故an=(-2)n-1或an=2n-1.(2)若an=(-2)n-1,則Sn=1-(-2)n3.由Sm=63得(-2)m=-188.此方程沒有正整數(shù)解.若an=2n-1,則Sn=2n-1.由Sm=63得2m=64,解得m=6.綜上,m=6.6.(2017課標,17,12分)記Sn為等比數(shù)列an的前n項和.已知S2=2,S3=-6.(1)求an的通項公式;(2)求Sn,并判斷Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差數(shù)列.解析本題考查等差、等比數(shù)列.(1)設(shè)an的公比為q,由題設(shè)可得a1(1+q)=2,a1(1+q+q2)=-6,解得q=-2,a1=-2.故an的通項公式為an=(-2)n.(2)由(1)可得Sn=a1(1-qn)1-q=-23+(-1)n2n+13.由于Sn+2+Sn+1=-43+(-1)n2n+3-2n+23=2-23+(-1)n2n+13=2Sn,故Sn+1,Sn,Sn+2成等差數(shù)列.方法總結(jié)等差、等比數(shù)列的常用公式:(1)等差數(shù)列:遞推關(guān)系式:an+1-an=d,常用于等差數(shù)列的證明.通項公式:an=a1+(n-1)d.前n項和公式:Sn=(a1+an)n2=na1+n(n-1)2d.(2)等比數(shù)列:遞推關(guān)系式:an+1an=q(q0),常用于等比數(shù)列的證明.通項公式:an=a1qn-1.前n項和公式:Sn=na1(q=1),a1(1-qn)1-q(q1).(3)在證明a,b,c成等差、等比數(shù)列時,還可以利用等差中項:a+c2=b或等比中項:ac=b2來證明.考點二等比數(shù)列的性質(zhì)及應用1.(2018浙江,10,4分)已知a1,a2,a3,a4成等比數(shù)列,且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3).若a1>1,則()A.a1<a3,a2<a4B.a1>a3,a2<a4C.a1<a3,a2>a4D.a1>a3,a2>a4答案B2.(2015安徽,14,5分)已知數(shù)列an是遞增的等比數(shù)列,a1+a4=9,a2a3=8,則數(shù)列an的前n項和等于.答案2n-13.(2014廣東,13,5分)若等比數(shù)列an的各項均為正數(shù),且a10a11+a9a12=2e5,則lna1+lna2+lna20=.答案504.(2017山東,19,12分)已知xn是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,且x1+x2=3,x3-x2=2.(1)求數(shù)列xn的通項公式;(2)如圖,在平面直角坐標系xOy中,依次連接點P1(x1,1),P2(x2,2),Pn+1(xn+1,n+1)得到折線P1P2Pn+1,求由該折線與直線y=0,x=x1,x=xn+1所圍成的區(qū)域的面積Tn.解析本題考查等比數(shù)列基本量的計算,錯位相減法求和.(1)設(shè)數(shù)列xn的公比為q,由已知知q>0.由題意得x1+x1q=3,x1q2-x1q=2.所以3q2-5q-2=0.因為q>0,所以q=2,x1=1.因此數(shù)列xn的通項公式為xn=2n-1.(2)過P1,P2,Pn+1向x軸作垂線,垂足分別為Q1,Q2,Qn+1.由(1)得xn+1-xn=2n-2n-1=2n-1,記梯形PnPn+1Qn+1Qn的面積為bn,由題意bn=(n+n+1)22n-1=(2n+1)2n-2,所以Tn=b1+b2+bn=32-1+520+721+(2n-1)2n-3+(2n+1)2n-2,2Tn=320+521+722+(2n-1)2n-2+(2n+1)2n-1.-得-Tn=32-1+(2+22+2n-1)-(2n+1)2n-1=32+2(1-2n-1)1-2-(2n+1)2n-1.所以Tn=(2n-1)2n+12.解題關(guān)鍵記梯形PnPn+1Qn+1Qn的面積為bn,以幾何圖形為背景確定bn的通項公式是關(guān)鍵.方法總結(jié)一般地,如果an是等差數(shù)列,bn是等比數(shù)列,求數(shù)列anbn的前n項和時,可采用錯位相減法.在寫“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”,以便下一步準確寫出“Sn-qSn”的表達式.5.(2014課標,17,12分)已知數(shù)列an滿足a1=1,an+1=3an+1.(1)證明an+12是等比數(shù)列,并求an的通項公式;(2)證明1a1+1a2+1an<32.解析(1)由an+1=3an+1得an+1+12=3an+12.又a1+12=32,所以an+12是首項為32,公比為3的等比數(shù)列.an+12=3n2,因此an的通項公式為an=3n-12.(2)證明:由(1)知1an=23n-1.因為當n1時,3n-123n-1,所以13n-1123n-1.于是1a1+1a2+1an1+13+13n-1=321-13n<32.所以1a1+1a2+1an<32.評析本題考查了等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等問題,放縮求和是本題的難點.C組教師專用題組考點一等比數(shù)列的有關(guān)概念及運算1.(2014大綱全國,10,5分)等比數(shù)列an中,a4=2,a5=5,則數(shù)列l(wèi)gan的前8項和等于()A.6B.5C.4D.3答案C2.(2013課標,3,5分)等比數(shù)列an的前n項和為Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,則a1=()A.13B.-13C.19D.-19答案C3.(2013大綱全國,6,5分)已知數(shù)列an滿足3an+1+an=0,a2=-43,則an的前10項和等于()A.-6(1-3-10)B.19(1-3-10)C.3(1-3-10)D.3(1+3-10)答案C4.(2015四川,16,12分)設(shè)數(shù)列an(n=1,2,3,)的前n項和Sn滿足Sn=2an-a1,且a1,a2+1,a3成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)設(shè)數(shù)列1an的前n項和為Tn,求Tn.解析(1)由Sn=2an-a1,得an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n2),即an=2an-1(n2).從而a2=2a1,a3=2a2=4a1.又因為a1,a2+1,a3成等差數(shù)列,即a1+a3=2(a2+1).所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2.所以,數(shù)列an是首項為2,公比為2的等比數(shù)列.故an=2n.(2)由(1)得1an=12n.所以Tn=12+122+12n=121-12n1-12=1-12n.評析本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念、等比數(shù)列通項公式與前n項和等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力.考點二等比數(shù)列的性質(zhì)及應用(2013陜西,17,12分)設(shè)an是公比為q的等比數(shù)列.(1)推導an的前n項和公式;(2)設(shè)q1,證明數(shù)列an+1不是等比數(shù)列.解析(1)設(shè)an的前n項和為Sn,當q=1時,Sn=a1+a1+a1=na1;當q1時,Sn=a1+a1q+a1q2+a1qn-1,qSn=a1q+a1q2+a1qn,-得,(1-q)Sn=a1-a1qn,Sn=a1(1-qn)1-q,Sn=na1,q=1,a1(1-qn)1-q,q1.(2)證明:假設(shè)an+1是等比數(shù)列,則對任意的kN+,(ak+1+1)2=(ak+1)(ak+2+1),ak+12+2ak+1+1=akak+2+ak+ak+2+1,a12q2k+2a1qk=a1qk-1a1qk+1+a1qk-1+a1qk+1,a10,2qk=qk-1+qk+1.q0,令k=1,則q2-2q+1=0,q=1,這與已知矛盾.假設(shè)不成立,故an+1不是等比數(shù)列.【三年模擬】一、選擇題(每小題5分,共40分)1.(2019屆天津耀華中學統(tǒng)練(2),1)“ac=b2”是“a,b,c成等比數(shù)列”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案B2.(2018天津一模,5)設(shè)等比數(shù)列an的前n項和為Sn,則“a1>0”是“S2019>S2018”的()A.充要條件B.充分而不必要條件C.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件答案A3.(2018天津?qū)氎嬉恢心M,4)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,前n項和為Sn,則“|q|=1”是“S4=2S2”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案C4.(2018天津南開中學第三次月考,3)在等比數(shù)列an中,若a2=243,a6=3,則a4等于()A.3B.27C.3D.27答案B5.(2019屆天津耀華中學統(tǒng)練(2),3)已知等比數(shù)列an中,各項都是正數(shù),且a1,12a3,2a2成等差數(shù)列,則a8+a9a6+a7等于()A.1+2B.1-2C.3+22D.3-22答案C6.(2019屆天津七校聯(lián)考,5)已知數(shù)列an是等比數(shù)列,a2=2,a7=64,則當n2時,a1a3+a2a4+an-1an+1=()A.2n-2B.2n+1-2C.4n+1-43D.4n-43答案D7.(2018天津南開中學第五次月考,6)等比數(shù)列an的首項為2,項數(shù)為奇數(shù),其奇數(shù)項之和為8532,偶數(shù)項之和為2116,這個等比數(shù)列前n項的積為Tn(n2),則Tn的最大值為()A.14B.12C.1D.2答案D8.(2017天津南開中學第四次月考,6)已知數(shù)列an的前n項和Sn=n2-n,正項等比數(shù)列bn中,b2=a3,bn+3bn-1=4bn2(n2,nN+),則log2bn=()A.nB.2n-1C.n-2D.n-1答案A二、填空題(每小題5分,共10分)9.(2019屆天津薊州一中月考,11)設(shè)Sn為等比數(shù)列an的前n項和,a3=8a6,則S4S2的值為.答案5410.(2019屆天津河西期中,10)已知數(shù)列an是遞增的等比數(shù)列,a1+a4=9,a2a3=8,則數(shù)列an的前n項和等于.答案2n-1三、解答題(共25分)11.(2017天津十二區(qū)縣一模,18)已知等比數(shù)列an的公比q>1,且a1+a3=20,a2=8.(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)設(shè)bn=nan,Sn是數(shù)列bn的前n項和,不等式Sn+n2n+1>(-1)na對任意正整數(shù)n恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.解析(1)由題意得,a1(1+q2)=20,a1q=8,2q2-5q+2=0,公比q>1,a1=4,q=2,an是以4為首項,2為公比的等比數(shù)列,數(shù)列an的通項公式為an=2n+1(nN*).(2)bn=nan=n2n+1,Sn=122+223+324+n2n+1,12Sn=123+224+n-12n+1+n2n+2.由-得,12Sn=122+123+124+12n+1-n2n+2,Sn=12+122+123+12n-n2n+1=12-12n+112-n2n+1=1-n+22n+1,不等式Sn+n2n+1>(-1)na對任意正整數(shù)n恒成立,(-1)na<1-12n對任意正整數(shù)n恒成立,設(shè)f(n)=1-12n,nN*,易知f(n)單調(diào)遞增.n為奇數(shù)時,f(n)的最小值為12,-a<12,即a>-12,n為偶數(shù)時,f(n)的最小值為34,a<34.綜上,-12<a<34,即實數(shù)a的取值范圍是-12,34.12.(2018天津河東二模,18)已知等比數(shù)列an滿足條件a2+a4=3(a1+a3),a2n=3an2,nN*.(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)數(shù)列bn滿足b1a1+b2a2+bnan=n2,nN*,求bn的前n項和Tn.解析(1)設(shè)an的公比為q,則an=a1qn-1,nN*.a2+a4=3(a1+a3),a1q+a1q3=3(a1+a1q2),解得q=3,a2n=3an2,a1q2n-1=3a12q2n-2,即q=3a1,a1=1.數(shù)列an的通項公式為an=3n-1.(2)當n=1時,b1=a1=1,當n2時,b1a1+b2a2+bnan=n2,b1a1+b2a2+bn-1an-1=(n-1)2,由-得bnan=n2-(n-1)2=2n-1,bn=(2n-1)an=(2n-1)3n-1(n2).綜上,bn=(2n-1)3n-1,nN*.故Tn=130+331+532+(2n-1)3n-1,3Tn=13+332+533+(2n-1)3n.-2Tn=1+23+232+233+23n-1-(2n-1)3n=1+23(1-3n-1)1-3-(2n-1)3n=(2-2n)3n-2.Tn=(n-1)3n+1,nN*.