（江蘇專用）2019高考數(shù)學二輪復習 第二篇 第23練 解析幾何的綜合問題試題 理.docx

第23練解析幾何的綜合問題明晰考情1.命題角度：直線與橢圓；定點、定值問題；最值問題.2.題目難度：中高檔難度.考點一直線與橢圓方法技巧對于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題，一般要把圓錐曲線的方程與直線方程聯(lián)立來處理.(1)設(shè)直線方程，在直線的斜率不確定的情況下要分斜率存在和不存在兩種情況進行討論，或者將直線方程設(shè)成xmyb(斜率不為0)的形式.(2)聯(lián)立直線方程與曲線方程并將其轉(zhuǎn)化成一元二次方程，利用方程根的判別式或求根公式得到交點的橫坐標或縱坐標.(3)一般涉及弦長的問題，要用到弦長公式AB|x1x2|或AB|y1y2|.1.(2018江蘇省南京外國語學校檢測)已知橢圓E：1(a>b>0)過點M，且離心率為.(1)求橢圓E的方程；(2)如圖，過點P(0,2)的直線l與橢圓E相交于兩個不同的點A，B，求的取值范圍.解(1)由題意得所以a24，b21.所以橢圓E的方程為y21. (2)當直線l的斜率不存在時，A(0,1)，B(0，1)，所以1.當直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為ykx2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立消去y整理得(14k2)x216kx120，由>0，可得4k2>3，因為x1,2，所以x1x2，x1x2，所以x1x2y1y2(1k2)x1x22k(x1x2)41，所以1<<.綜上，.2.如圖，在平面直角坐標系xOy中，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓1(ab0)的左、右焦點，頂點B的坐標為(0，b)，且BF1F2是邊長為2的等邊三角形.(1)求橢圓的方程；(2)過右焦點F2的直線l與橢圓交于A，C兩點，記ABF2，BCF2的面積分別為S1，S2，若S12S2，求直線l的斜率.解(1)由題意，得a2c2，所以c1，b2a2c23，所以橢圓的方程為1.(2)設(shè)點B到直線AC的距離為h，由于S12S2，所以AF2h2F2Ch，即AF22F2C，所以2.設(shè)A(x1，y1)，C(x2，y2)，又F2(1,0)，則(1x1，y1)2(x21，y2)，即由解得所以直線l的斜率為k.3.如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：1(ab0)的右準線方程為x4，右頂點為A，上頂點為B，右焦點為F，斜率為2的直線l經(jīng)過點A，且點F到直線l的距離為.(1)求橢圓C的標準方程；(2)將直線l繞點A旋轉(zhuǎn)，它與橢圓C相交于另一點P，當B，F(xiàn)，P三點共線時，試確定直線l的斜率.解(1)由題意知，直線l的方程為y2(xa)，即2xy2a0，所以右焦點F到直線l的距離d，所以ac1.又因為橢圓C的右準線為x4，即4，所以c，代入上式解得a2，c1，所以b23，所以橢圓C的方程為1.(2)由(1)知B(0，)，F(xiàn)(1,0)，所以直線BF的方程為y(x1)，聯(lián)立方程組解得(舍去)或所以P.所以直線l的斜率k.4.已知動點M(x，y)到點F(2,0)的距離為d1，動點M(x，y)到直線x3的距離為d2，且.(1)求動點M(x，y)的軌跡C的方程；(2)過點F作直線l：yk(x2)(k0)交曲線C于P，Q兩點，若OPQ的面積SOPQ(O是坐標原點)，求直線l的方程.解(1)結(jié)合題意，可得d1，d2|x3|.又，即，化簡得1.因此，所求動點M(x，y)的軌跡C的方程是1.(2)聯(lián)立消去y，得(13k2)x212k2x12k260.設(shè)點P(x1，y1)，Q(x2，y2)，(12k2)24(13k2)(12k26)24k224>0.因為x1,2，所以|x1x2|，于是，PQ|x1x2|，點O到直線l的距離d.由SOPQ，得，化簡得，k42k210，解得k1，且滿足>0，即k1符合題意.因此，所求直線的方程為xy20或xy20.考點二定點、定值問題方法技巧(1)定點問題的常見解法假設(shè)定點坐標，根據(jù)題意選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線系方程，而該方程與參數(shù)無關(guān)，故得到一個關(guān)于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求定點.從特殊位置入手，找出定點，再證明該點符合題意.(2)定值問題的常見解法從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān).直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.5.(2018蘇州調(diào)研)如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：1(a>b>0)的離心率為，焦點到相應(yīng)準線的距離為，A，B分別為橢圓的左頂點和下頂點，P為橢圓C上位于第一象限內(nèi)的一點，PA交y軸于點E，PB交x軸于點D.(1)求橢圓C的標準方程；(2)若，求的值；(3)求證：四邊形ABDE的面積為定值.(1)解設(shè)右焦點F(c,0)，因為橢圓C的離心率為，所以，又因為右焦點F到右準線的距離為，所以c，由得，a2，c，b1，所以橢圓C的標準方程是y21.(2)解因為，所以E，直線AE的方程為y(x2)，由得x2(x2)24，解得x2(舍)或x，故P，直線PB的方程為yx1，令y0，得D，所以.(3)證明設(shè)P(x0，y0)(x0>0，y0>0)，則y1，即x4y4.直線AP的方程為y(x2)，令x0，得y.直線BP的方程為y1x，令y0，得x.所以四邊形ABDE的面積S2.所以四邊形ABDE的面積為定值.6.如圖，在平面直角坐標系xOy中，離心率為的橢圓C：1(ab0)的左頂點為A，過原點O的直線(與坐標軸不重合)與橢圓C交于P，Q兩點，直線PA，QA分別與y軸交于M，N兩點.當直線PQ的斜率為時，PQ2.(1)求橢圓C的標準方程；(2)試問以MN為直徑的圓是否經(jīng)過定點(與直線PQ的斜率無關(guān))？請證明你的結(jié)論.解(1)設(shè)P，因為當直線PQ的斜率為時，PQ2，所以x23，所以x2.所以1.因為e，所以a24，b22.所以橢圓C的標準方程為1.(2)以MN為直徑的圓過定點(，0).設(shè)P(x0，y0)，則Q(x0，y0)，且1，即x2y4.因為A(2,0)，所以直線PA的方程為y(x2)，所以M，直線QA的方程為y(x2)，所以N.以MN為直徑的圓為(x0)(x0)0，即x2y2y0.因為x42y，所以x2y2y20.令y0，解得x，所以以MN為直徑的圓過定點(，0).7.已知橢圓C：1的上頂點為A，直線l：ykxm交橢圓于P，Q兩點，設(shè)直線AP，AQ的斜率分別為k1，k2.(1)當m0時，求k1k2的值；(2)當k1k21時，證明：直線l：ykxm過定點.(1)解當m0時，直線l：ykx.代入橢圓C：1，得x22k2x24，解得P，Q.因為A為橢圓的上頂點，所以A(0，)，所以k1，k2，所以k1k2.(2)證明設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，將直線l：ykxm代入橢圓C：1，并整理得(12k2)x24kmx2m240，則16k2m28(m22)(12k2)8(4k2m22)0，因為x1,2，所以x1x2，x1x2.由k1k21知，1，即y1y2(y1y2)2x1x20，所以(kx1m)(kx2m)(kx1mkx2m)x1x220，所以k2x1x2mk(x1x2)m2k(x1x2)2mx1x220，即(k21)k(m)m22m20，所以(k21)(2m24)k(m)(4km)(m22m2)(12k2)0，所以3m22m20，解得m(舍去)或m，所以直線l：ykx.所以直線l過定點.8.在平面直角坐標系xOy中，設(shè)中心在坐標原點的橢圓C的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，右準線l：xm1與x軸的交點為B，BF2m.(1)已知點在橢圓C上，求實數(shù)m的值；(2)已知定點A(2,0).若橢圓C上存在點T，使得，求橢圓C的離心率的取值范圍；當m1時，記M為橢圓C上的動點，直線AM，BM分別與橢圓C交于另一點P，Q，若，求證：為定值.(1)解設(shè)橢圓C的方程為1(ab0).由題意，得解得所以橢圓方程為1.因為橢圓C過點，所以1，解得m2或m(舍去).所以m2.(2)解設(shè)點T(x，y)，由，得(x2)2y22(x1)2y2，即x2y22.由得y2m2m.因此0m2mm，解得1m2.所以橢圓C的離心率e.證明設(shè)M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則(x02，y0)，(x12，y1).由，得從而因為y1，所以(y1)21，即22(1)x12(1)210.因為y1，代入得2(1)x132410.由題意知，1且0，故x1，所以x0.同理可得x0.因此，所以6.考點三范圍、最值問題方法技巧圓錐曲線的最值和范圍問題解題常見思路(1)利用判別式來構(gòu)造不等式，從而確定參數(shù)的取值范圍.(2)利用已知參數(shù)的取值范圍，求新參數(shù)的范圍，解決這類問題的核心是在兩個參數(shù)之間建立相關(guān)關(guān)系.(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍.(4)利用已知不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍.(5)利用函數(shù)值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍.9.已知橢圓的右焦點F(m,0)，左、右準線分別為l1：xm1，l2：xm1，且l1，l2分別與直線yx相交于A，B兩點.(1)若離心率為，求橢圓的方程；(2)當<7時，求橢圓離心率的取值范圍.解(1)由已知得橢圓的中心在坐標原點，cm，m1，從而a2m(m1)，b2m.由e得bc，從而m1，故a，b1，得橢圓方程為y21.(2)易得A(m1，m1)，B(m1，m1)，從而(2m1，m1)，(1，m1)，故2m1(m1)2m24m2<7，得0<m<1，由此得離心率e，故橢圓離心率的取值范圍為.10.(2018江蘇省蘇州實驗中學月考)如圖，點A是橢圓C：1(a>b>0)的短軸位于x軸下方的端點，過A作斜率為1的直線l交橢圓于B點，點P在y軸上，且BPx軸，9.(1)若點P的坐標為(0,1)，求橢圓C的方程；(2)若點P的坐標為(0，t)，求實數(shù)t的取值范圍.解(1)由題意得A(0，b)，l的方程為yxb，由P(0,1)，得B(1b,1)，所以(1b,1b)，(0,1b)，由9，即(1b,1b)(0,1b)9，所以(1b)29，即b2，所以B(3,1)，又B在橢圓上，得1，解得a212, 所以橢圓C的方程為1.(2)由A(0，b), P(0，t)，得B(tb，t)，所以(tb，tb)，(0，tb)，因為9，所以(tb)29，因為A點是短軸頂點，所以t>0，tb3，則B(3，t)，代入橢圓方程得1，得a2.因為a2>b2，所以>(3t)2，解得0<t<.11.已知點A(0，2)，橢圓E：1(a>b>0)的離心率為，F(xiàn)是橢圓E的右焦點，直線AF的斜率為，O為坐標原點.(1)求E的方程；(2)設(shè)過點A的動直線l與E相交于P，Q兩點，當OPQ的面積最大時，求l的方程.解(1)設(shè)F(c,0)，由條件知，得c.又，所以a2，b2a2c21.故E的方程為y21.(2)當lx軸時不合題意，故設(shè)l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2).將ykx2代入y21，得(14k2)x216kx120.當16(4k23)>0，即k2>時，x1,2.從而PQ|x1x2|.又點O到直線PQ的距離d.所以O(shè)PQ的面積SOPQdPQ|x1x2|.設(shè)t，則t>0，SOPQ1.當且僅當t2，即k時等號成立，且滿足>0.所以當OPQ的面積最大時，l的方程為2yx40.12.在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：1(a>b1)過點P(2,1)，且離心率e.(1)求橢圓C的方程；(2)若直線l的斜率為，直線l與橢圓C交于A，B兩點，求PAB面積的最大值.解(1)e2，a24b2.又1，a28，b22.故所求橢圓C的方程為1.(2)設(shè)l的方程為yxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立消去y，得x22mx2m240，判別式164m2>0，即m2<4.所以x1m，x2m，則AB|x1x2|，點P到直線l的距離d.因此SPABdAB|m|x1x2|2，當且僅當m22時上式等號成立，且滿足>0，故PAB面積的最大值為2.例(16分)在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，且點在橢圓C上.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)橢圓E：1，P為橢圓C上任意一點，過點P的直線ykxm交橢圓E于A，B兩點，射線PO交橢圓E于點Q.求的值；求ABQ面積的最大值.審題路線圖(1)(2)規(guī)范解答評分標準解(1)由題意知1.又，解得a24，b21.所以橢圓C的方程為y21.4分(2)由(1)知橢圓E的方程為1.設(shè)P(x0，y0)，(0)，由題意知Q(x0，y0).因為y1，又1，即1，所以2，即2.7分設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2).聯(lián)立可得(14k2)x28kmx4m2160，由0，可得m2416k2，(*)因為x1,2，所以|x1x2|.9分因為直線ykxm與y軸交點的坐標為(0，m)，所以O(shè)AB的面積S|m|x1x2|2.11分設(shè)t，將ykxm代入橢圓C的方程，可得(14k2)x28kmx4m240，由0，可得m214k2.(*)由(*)和(*)可知0t1，因此S22，12分故0S2，當且僅當t1，即m214k2時取得最大值2.14分由知，ABQ的面積為3S，所以ABQ面積的最大值為6.16分構(gòu)建答題模板第一步求曲線方程：根據(jù)基本量法確定圓錐曲線的方程.第二步聯(lián)立消元：將直線方程和圓錐曲線方程聯(lián)立，得到方程Ax2BxC0，然后研究判別式，利用求根公式求出交點坐標.第三步找關(guān)系：從題設(shè)中尋求變量的等量或不等關(guān)系.第四步建函數(shù)：對范圍、最值類問題，要建立關(guān)于目標變量的函數(shù)關(guān)系.第五步得范圍：通過求解函數(shù)值域或解不等式得目標變量的范圍或最值，要注意變量條件的制約，檢查最值取得的條件.1.(2018江蘇省如東高級中學)在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的焦點為F1(4,0), F2(4,0)，且經(jīng)過點P(3,1).(1)求橢圓C的標準方程；(2)若點M在橢圓上，且，求的值.解(1)依題意，設(shè)橢圓C的標準方程為1(a>b>0)，2aPF1PF26，a3，又c4，b2a2c22，橢圓C的標準方程為1.(2)(7，1)(1，1)，點M的坐標為，點M在橢圓上，221，即202470，解得或.2.如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓1(ab0)過點A(2,1)，離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)若直線l：ykxm(k0)與橢圓相交于B，C兩點(異于點A)，線段BC被y軸平分，且ABAC，求直線l的方程.解(1)由條件知橢圓1(a>b>0)的離心率為e，所以b2a2c2a2.又點A(2,1)在橢圓1(a>b>0)上，所以1, 解得所以橢圓的方程為1. (2)將ykxm(k0)代入橢圓方程，得x24(kxm)280，整理得(14k2)x28mkx4m280. (*)因為xB，C，所以xBxC.由線段BC被y軸平分，得xBxC0，因為k0，所以m0.因為當m0時，B，C關(guān)于原點對稱，設(shè)B(x，kx)，C(x，kx)，由方程(*)，得x2，又因為ABAC，A(2,1)，所以(x2)(x2)(kx1)(kx1)5(1k2)x250，所以k.由于k時，直線yx過點A(2,1)，故k不符合題設(shè).所以直線l的方程為x2y0.3.在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：1(ab0)的離心率e，直線l：xmy10(mR)過橢圓C的右焦點F，且交橢圓C于A，B兩點.(1)求橢圓C的標準方程；(2)已知點D，連結(jié)BD，過點A作垂直于y軸的直線l1，設(shè)直線l1與直線BD交于點P，試探索當m變化時，是否存在一條定直線l2，使得點P恒在直線l2上？若存在，請求出直線l2的方程；若不存在，請說明理由.解(1)在xmy10中，令y0，則x1，所以F(1,0).由題設(shè)，得解得從而b2a2c23，所以橢圓C的標準方程為1.(2)令m0，則A，B或A，B.當A，B時，P；當A，B時，P，所以滿足題意的定直線l2只能是x4.下面證明點P恒在直線x4上.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2).由于PA垂直于y軸，所以點P的縱坐標為y1，從而只要證明P(4，y1)在直線BD上即可.由消去x得(43m2)y26my90.因為144(1m2)0，且y1,2，所以y1y2，y1y2.因為kDBkDP.將式代入上式，得kDBkDP0，所以kDBkDP.所以點P(4，y1)在直線BD上，從而直線l1、直線BD與直線l2：x4三線恒過同一點P，所以存在一條定直線l2：x4，使得點P恒在直線l2上.4.(2018江蘇省溧水七校聯(lián)考)已知橢圓1(a>b>0)的右焦點F，離心率為，過F作兩條互相垂直的弦AB，CD，設(shè)AB，CD的中點分別為M，N.(1)求橢圓的方程；(2)證明：直線MN必過定點，并求出此定點坐標；(3)若弦AB，CD的斜率均存在，求FMN面積的最大值.解(1)由題意得c1, ，a，bc1，橢圓的方程為y21.(2)當直線AB，CD有一條斜率不存在時，直線MN即為直線OF，此時直線MN過點P.當直線AB，CD的斜率均存在時，設(shè)直線AB的方程為yk(x1)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有M，聯(lián)立消去y得(12k2)x24k2x2k220，x1,2，則x1x2，即M，將上式中的k換成，同理可得N，若，解得k1，直線MN斜率不存在，此時直線MN過點P.若直線MN的斜率存在，則k1，則kMN，直線MN為y，令y0，得x.綜上，直線MN過定點.(3)由(2)可知直線MN過定點P，又直線AB的斜率k0，故SFMNSFPMSFPN，令t|k|2，)，SFMNf(t)，f(t)在2，)上單調(diào)遞減，當t2時，f(t)取得最大值，即SFMN取得最大值，此時k1.