（天津專用）2020版高考數學大一輪復習 6.2 等差數列精練.docx

6.2等差數列挖命題【考情探究】考點內容解讀5年考情預測熱度考題示例考向關聯考點1.等差數列的有關概念及運算1.理解等差數列的概念2.掌握等差數列的通項公式和前n項和公式3.了解等差數列與一次函數的關系2016天津,18等差數列的定義、等差數列的通項公式等比數列的性質、用放縮法證明不等式2014天津,11等差數列的前n項和等比中項2012天津,18等差數列的通項公式數列求和、數學歸納法2.等差數列的性質及其應用1.能利用等差數列的性質解決相應的問題2.能在具體的問題情境中識別數列的等差關系,并能用有關知識解決相應的問題2011天津文,11等差數列的性質等差數列前n項和的應用分析解讀從天津高考的情況來看,本節(jié)一直是高考的熱點,主要考查等差數列的定義、性質、通項公式、前n項和公式、等差中項等相關內容.本節(jié)內容在高考中的分值約為5分,屬于中低檔題,以選擇題、填空題的形式出現.破考點【考點集訓】考點一等差數列的有關概念及運算1.已知等差數列an滿足a1=1,an+2-an=6,則a11等于()A.31B.32C.61D.62答案A2.(2013課標,7,5分)設等差數列an的前n項和為Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,則m=()A.3B.4C.5D.6答案C3.已知等差數列an一共有9項,前4項和為3,最后3項和為4,則中間一項的值為()A.1720B.5960C.1D.6766答案D考點二等差數列的性質及其應用4.在等差數列an中,a1+3a8+a15=120,則a2+a14的值為()A.6B.12C.24D.48答案D5.在等差數列an中,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,以Sn表示an的前n項和,則使Sn取得最大值時n的值為()A.21B.20C.19D.18答案B煉技法【方法集訓】方法1等差數列的基本運算技巧1.數列an為遞增的等差數列,a1=f(x+1),a2=0,a3=f(x-1),其中f(x)=x2-4x+2,則數列an的通項公式為()A.an=n-2B.an=2n-4C.an=3n-6D.an=4n-8答案B2.在等差數列an中,2(a1+a4+a7)+3(a9+a11)=24,則S13+2a7=()A.17B.26C.30D.56答案C3.(2018上海,6,4分)記等差數列an的前n項和為Sn,若a3=0,a6+a7=14,則S7=.答案14方法2等差數列的判定方法4.(2014陜西,14,5分)已知f(x)=x1+x,x0,若f1(x)=f(x),fn+1(x)=f(fn(x),nN+,則f2014(x)的表達式為.答案f2014(x)=x1+2014x5.已知數列an滿足a1=12,且an+1=2an2+an.(1)求證:數列1an是等差數列;(2)若bn=anan+1,求數列bn的前n項和Sn.解析(1)證明:an+1=2an2+an,1an+1=2+an2an,1an+1-1an=12,數列1an是以2為首項,12為公差的等差數列.(2)由(1)知an=2n+3,bn=4(n+3)(n+4)=41n+3-1n+4,Sn=414-15+15-16+1n+3-1n+4=414-1n+4=nn+4.方法3等差數列前n項和的最值問題的求解方法6.(2014江西,13,5分)在等差數列an中,a1=7,公差為d,前n項和為Sn,當且僅當n=8時Sn取得最大值,則d的取值范圍為.答案-1,-787.設等差數列an的前n項和為Sn,a3+a8+a13=C,a4+a14=2C,其中C<0,則Sn在n等于時取到最大值.答案7過專題【五年高考】A組自主命題天津卷題組考點一等差數列的有關概念及運算1.(2014天津,11,5分)設an是首項為a1,公差為-1的等差數列,Sn為其前n項和.若S1,S2,S4成等比數列,則a1的值為.答案-122.(2016天津,18,13分)已知an是各項均為正數的等差數列,公差為d.對任意的nN*,bn是an和an+1的等比中項.(1)設cn=bn+12-bn2,nN*,求證:數列cn是等差數列;(2)設a1=d,Tn=k=12n(-1)kbk2,nN*,求證:k=1n1Tk<12d2.證明(1)由題意得bn2=anan+1,有cn=bn+12-bn2=an+1an+2-anan+1=2dan+1,因此cn+1-cn=2d(an+2-an+1)=2d2,所以cn是等差數列.(2)Tn=(-b12+b22)+(-b32+b42)+(-b2n-12+b2n2)=2d(a2+a4+a2n)=2dn(a2+a2n)2=2d2n(n+1).所以k=1n1Tk=12d2k=1n1k(k+1)=12d2k=1n1k-1k+1=12d21-1n+1<12d2.思路分析(1)根據等差數列和等比數列的性質,建立方程關系,根據條件求出數列cn的通項公式,結合等差數列的定義進行證明即可.(2)求出Tn=k=12n(-1)kbk2的表達式,利用裂項相消法求解,結合放縮法進行不等式的證明即可.評析本題主要考查遞推數列的應用以及數列與不等式的綜合,根據等比數列和等差數列的性質分別求出對應的通項公式以及利用裂項相消法進行求解是解決本題的關鍵.綜合性較強是,有一定的難度.3.(2012天津,18,13分)已知an是等差數列,其前n項和為Sn,bn是等比數列,且a1=b1=2,a4+b4=27,S4-b4=10.(1)求數列an與bn的通項公式;(2)記Tn=anb1+an-1b2+a1bn,nN*,證明Tn+12=-2an+10bn(nN*).解析(1)設等差數列an的公差為d,等比數列bn的公比為q.由a1=b1=2,得a4=2+3d,b4=2q3,S4=8+6d.由條件,得方程組2+3d+2q3=27,8+6d-2q3=10,解得d=3,q=2.所以an=3n-1,bn=2n,nN*.(2)證法一:由(1)得Tn=2an+22an-1+23an-2+2na1,2Tn=22an+23an-1+2na2+2n+1a1.由-,得Tn=-2(3n-1)+322+323+32n+2n+2=12(1-2n-1)1-2+2n+2-6n+2=102n-6n-10.而-2an+10bn-12=-2(3n-1)+102n-12=102n-6n-10,故Tn+12=-2an+10bn,nN*.證法二:數學歸納法(i)當n=1時,T1+12=a1b1+12=16,-2a1+10b1=16,故等式成立;(ii)假設當n=k時等式成立,即Tk+12=-2ak+10bk,則當n=k+1時有:Tk+1=ak+1b1+akb2+ak-1b3+a1bk+1=ak+1b1+q(akb1+ak-1b2+a1bk)=ak+1b1+qTk=ak+1b1+q(-2ak+10bk-12)=2ak+1-4(ak+1-3)+10bk+1-24=-2ak+1+10bk+1-12,即Tk+1+12=-2ak+1+10bk+1.因此n=k+1時等式也成立.由(1)和(2),可知對任意nN*,Tn+12=-2an+10bn成立.考點二等差數列的性質及其應用(2011天津文,11,5分)已知an是等差數列,Sn為其前n項和,nN*.若a3=16,S20=20,則S10的值為.答案110B組統(tǒng)一命題、省(區(qū)、市)卷題組考點一等差數列的有關概念及運算1.(2018課標,4,5分)記Sn為等差數列an的前n項和.若3S3=S2+S4,a1=2,則a5=()A.-12B.-10C.10D.12答案B2.(2017課標,9,5分)等差數列an的首項為1,公差不為0.若a2,a3,a6成等比數列,則an前6項的和為()A.-24B.-3C.3D.8答案A3.(2016課標,3,5分)已知等差數列an前9項的和為27,a10=8,則a100=()A.100B.99C.98D.97答案C4.(2015課標,7,5分)已知an是公差為1的等差數列,Sn為an的前n項和.若S8=4S4,則a10=()A.172B.192C.10D.12答案B5.(2015重慶,2,5分)在等差數列an中,若a2=4,a4=2,則a6=()A.-1B.0C.1D.6答案B6.(2014福建,3,5分)等差數列an的前n項和為Sn,若a1=2,S3=12,則a6等于()A.8B.10C.12D.14答案C7.(2017課標,15,5分)等差數列an的前n項和為Sn,a3=3,S4=10,則k=1n1Sk=.答案2nn+18.(2016江蘇,8,5分)已知an是等差數列,Sn是其前n項和.若a1+a22=-3,S5=10,則a9的值是.答案209.(2015安徽,13,5分)已知數列an中,a1=1,an=an-1+12(n2),則數列an的前9項和等于.答案27考點二等差數列的性質及其應用1.(2017課標,4,5分)記Sn為等差數列an的前n項和.若a4+a5=24,S6=48,則an的公差為()A.1B.2C.4D.8答案C2.(2015課標,5,5分)設Sn是等差數列an的前n項和.若a1+a3+a5=3,則S5=()A.5B.7C.9D.11答案A3.(2014遼寧,9,5分)設等差數列an的公差為d.若數列2a1an為遞減數列,則()A.d>0B.d<0C.a1d>0D.a1d<0答案D4.(2015廣東,10,5分)在等差數列an中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,則a2+a8=.答案10C組教師專用題組1.(2013課標,7,5分)設等差數列an的前n項和為Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,則m=()A.3B.4C.5D.6答案C2.(2013遼寧,4,5分)下面是關于公差d>0的等差數列an的四個命題:p1:數列an是遞增數列;p2:數列nan是遞增數列;p3:數列ann是遞增數列;p4:數列an+3nd是遞增數列.其中的真命題為()A.p1,p2B.p3,p4C.p2,p3D.p1,p4答案D3.(2015陜西,13,5分)中位數為1010的一組數構成等差數列,其末項為2015,則該數列的首項為.答案5【三年模擬】一、選擇題(每小題5分,共35分)1.(2019屆天津河西期中,2)在等差數列an中,a1=2,a3+a5=10,則a7=()A.5B.8C.10D.14答案B2.(2018天津一中5月月考,4)已知數列an是等差數列,m,p,q為正整數,則“p+q=2m”是“ap+aq=2am”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案A3.(2017天津一中5月月考,5)在等差數列an中,a3+a6+a9=54,設數列an的前n項和為Sn,則S11=()A.18B.99C.198D.297答案C4.(2017天津實驗中學模擬,5)已知等差數列an的前n項和為Sn,且2(a1+a3+a5)+3(a8+a10)=36,則S11=()A.66B.55C.44D.33答案D5.(2017天津南開三模,7)已知等差數列an的前n項和為Sn,且S2=10,S5=55,則過點P(n,an),Q(n+2,an+2)(nN*)的直線的斜率為()A.4B.14C.-4D.-14答案A6.(2018天津南開二模,7)已知Sn是數列an的前n項和,a1=2,a2=4,a3=6,數列an+an+1+an+2是公差為2的等差數列,則S25=()A.233B.282C.466D.650答案B7.(2019屆天津耀華中學統(tǒng)練(2),7)在等差數列an中,其前n項和是Sn,若S15>0,S16<0,則在S1a1,S2a2,S3a3,S15a15中最大的是()A.S1a1B.S9a9C.S8a8D.S15a15答案C二、填空題(每小題5分,共10分)8.(2019屆天津七校聯考,10)在等差數列an中,S5=25,a2=3,則a5=.答案99.(2019屆天津耀華中學第二次月考,10)記Sn為等差數列an的前n項和,若3S3=S2+S4,a1=2,則a5=.答案-10三、解答題(共35分)10.(2017天津和平二模,18)已知等差數列an滿足a2=5,a5+a9=30,an的前n項和為Sn.(1)求數列an的通項公式及前n項和Sn;(2)令bn=1Sn(nN*),求數列bn的前n項和Tn.解析(1)設等差數列an的公差為d,由a2=5,a5+a9=30可得a1+d=5,2a1+12d=30,解得a1=3,d=2,an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1,Sn=n(a1+an)2=n(3+2n+1)2=n(n+2)=n2+2n.(2)由(1)可得bn=1Sn=1n(n+2)=121n-1n+2,數列bn的前n項和Tn=121-13+12-14+13-15+1n-1-1n+1+1n-1n+2=121+12-1n+1-1n+2=34-12n+2-12n+4.解題分析本題考查了等差數列的通項公式、前n項和公式和裂項相消法求和,屬于中檔題.11.(2017天津和平四模,18)已知等差數列an滿足a2=3,a4+a7=20.(1)求數列an的通項公式及前n項和Sn;(2)證明:k=1n1Sk<53.解析(1)設等差數列an的公差為d,等差數列an滿足a2=3,a4+a7=20,a1+d=3,2a1+9d=20,解得a1=1,d=2,an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1(nN*),Sn=na1+n(n-1)2d=n+n(n-1)=n2(nN*).(2)證明:Sn=n2,k=1n1Sk=112+122+132+1n2.k2>k2-14>0(kN*),1k2<1k2-14,kN*,1k2<44k2-1=212k-1-12k+1,k=1n1Sk=112+122+132+1n2<1+213-15+215-17+212k-1-12k+1=1+213-12k+1=53-22k+1<53,k=1n1Sk<53.解題分析本題考查等差數列的通項公式及前n項和公式,考查數列不等式的證明,涉及裂項相消法、放縮法等基礎知識,考查推理論證能力、運算求解能力,考查化歸與轉化思想,屬中檔題.12.(2018天津河西三模,18)已知數列an的前n項和為Sn,數列Snn是首項為1,公差為2的等差數列.(1)求數列an的通項公式;(2)設數列bn滿足a1b1+a2b2+anbn=5-(4n+5)12n,求數列bn的前n項和Tn.解析(1)由數列Snn是首項為1,公差為2的等差數列,得Snn=1+2(n-1)=2n-1,則有Sn=n(2n-1)=2n2-n.當n=1時,a1=S1=1,當n2時,an=Sn-Sn-1=4n-3,a1=1符合an=4n-3,故an=4n-3,nN*.(2)根據題意,數列bn滿足a1b1+a2b2+anbn=5-(4n+5)12n,當n=1時,a1b1=5-(4+5)12=12,而a1=1,則b1=2,易知a1b1+a2b2+an-1bn-1=5-(4n+1)12n-1(n2),-可得anbn=(4n-3)12n,又an=4n-3,所以bn=2n(n2),又b1=2符合bn=2n,則bn=2n(nN*),故數列bn是首項為2,公比為2的等比數列,則Tn=2(1-2n)1-2=2n+1-2,nN*.