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陜西省藍田縣高中數(shù)學(xué) 第四章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 4.2.2 最大值最小值問題導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 北師大版選修1 -1.doc

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陜西省藍田縣高中數(shù)學(xué) 第四章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 4.2.2 最大值最小值問題導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 北師大版選修1 -1.doc

4.2.2導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用【考綱要求】 熟練利用導(dǎo)數(shù)工具研究函數(shù)性質(zhì)?!局R梳理】1利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的步驟(1)求導(dǎo)數(shù)f(x);(2)在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)解不等式f(x)>0或f(x)<0;(3)根據(jù)(2)的結(jié)果確定函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間2求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟(1)確定函數(shù)的定義域;(2)求導(dǎo)數(shù)f(x);(3)解方程f (x)0,求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根;(4)列表檢驗f(x)在f(x)0的根x0左右兩側(cè)值的符號,如果左正右負,那么f(x)在x0處取極大值,如果左負右正,那么f(x)在x0處取極小值3求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b內(nèi)的最大值與最小值(1)確定函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b內(nèi)連續(xù)、可導(dǎo);(2)求函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)的極值;(3)求函數(shù)f(x)在a,b端點處的函數(shù)值f(a),f(b);(4)比較函數(shù)f(x)的各極值與f(a),f(b)的大小,其中最大的一個是最大值,最小的一個是最小值4生活中的優(yōu)化問題解決優(yōu)化問題的基本思路: 5利用導(dǎo)數(shù)解決實際問題中的最值問題時應(yīng)注意的問題(1)在求實際問題的最大(小)值時,一定要注意考慮實際問題的意義,不符合實際意義的值應(yīng)舍去;(2)在實際問題中,有時會遇到函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個極值點,那么不與端點值比較,也可以知道這就是最大(小)值;(3)在解決實際問題中的優(yōu)化問題時,不僅要注意將問題中涉及的變量關(guān)系用函數(shù)關(guān)系式表示出來,還應(yīng)確定函數(shù)關(guān)系式中自變量的定義區(qū)間【基礎(chǔ)自測】1.(課本改編題)函數(shù)f(x)ax3x恰有三個單調(diào)區(qū)間,則a的取值范圍是_(,0)_2(課本精選題)如圖,水波的半徑以50 cm/s的速度向外 擴張,當半徑為250 cm時,水波面的圓面積的膨脹率是_25 000_ cm2/s.3若函數(shù)f(x)xasin x在R上遞增,則實數(shù)a的取值范圍為_1,1_4已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y(單位:萬元)與年產(chǎn)量x(單位:萬件)的函數(shù)關(guān)系式為yx381x234,則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤的年產(chǎn)量為( C ) A13萬件 B11萬件C9萬件 D7萬件5. 已知函數(shù)f(x)的定義域為R,f(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),函數(shù)yf(x)的圖像如圖所示,且f(2)1,f(3)1,則不等式f(x26)>1的解集為(A)A(3,2)(2,3)B(,)C(2,3)D(,)(,)【例題精析】題型一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點或方程根的方法例1已知函數(shù)f(x)x33ax1,a0.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若f(x)在x1處取得極值,直線ym與yf(x)的圖像有三個不同的交點,求m的取值范圍解(1)f(x)3x23a3(x2a),當a<0時,對xR,有f(x)>0,當a<0時,f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(,)當a>0時,由f(x)>0,解得x<或x>.由f(x)<0,解得<x<,當a>0時,f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(,),(,),單調(diào)減區(qū)間為(,)(2)f(x)在x1處取得極值,f(1)3(1)23a0,a1.f(x)x33x1,f(x)3x23,由f(x)0,解得x11,x21.由(1)中f(x)的單調(diào)性可知,f(x)在x1處取得極大值f(1)1,在x1處取得極小值f(1)3.直線ym與函數(shù)yf(x)的圖像有三個不同的交點,結(jié)合如圖所示f(x)的圖像可知:實數(shù)m的取值范圍是(3,1)探究提高(1)對于該問題的求解,一般利用研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等性質(zhì),并借助函數(shù)圖像的交點情況,建立含參數(shù)的方程組(或不等式)求之,實現(xiàn)形與數(shù)的和諧統(tǒng)一(2)本題常見的錯誤是不能把函數(shù)的極值與圖像交點聯(lián)系起來,缺乏轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合的意識變式訓(xùn)練1 已知函數(shù)f(x)x3x26xa.(1)對任意xR,f(x)m恒成立,求m的最大值;(2)若函數(shù)f(x)有且僅有一個零點,求實數(shù)a的取值范圍解:(1)(2)a>或a<2題型二利用函數(shù)研究恒成立及參數(shù)求解問題例2已知函數(shù)f(x)ln x.(1)若a>0,試判斷f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性;(2)若f(x)在1,e上的最小值為,求a的值;(3)若f(x)<x2在(1,)上恒成立,求a的取值范圍解(1)由題意f(x)的定義域為(0,),且f(x).a>0,f(x)>0,故f(x)在(0,)上是單調(diào)遞增函數(shù)(2)由(1)可知,f(x).若a1,則xa0,即f(x)0在1,e上恒成立,此時f(x)在1,e上為增函數(shù),f(x)minf(1)a,a(舍去)若ae,則xa0,即f(x)0在1,e上恒成立,此時f(x)在1,e上為減函數(shù),f(x)minf(e)1,a(舍去)若e<a<1,令f(x)0得xa,當1<x<a時,f(x)<0,f(x)在(1,a)上為減函數(shù);當a<x<e時,f(x)>0,f(x)在(a,e)上為增函數(shù),f(x)minf(a)ln(a)1,a.綜上所述,a.(3)f(x)<x2,ln x<x2.又x>0,a>xln xx3.令g(x)xln xx3,h(x)g(x)1ln x3x2,h(x)6x.x(1,)時,h(x)<0,h(x)在(1,)上是減函數(shù)h(x)<h(1)2<0,即g(x)<0,g(x)在(1,)上也是減函數(shù)g(x)<g(1)1,當a1時,f(x)<x2在(1,)上恒成立探究提高(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,直接求導(dǎo),然后解不等式即可,注意函數(shù)的定義域(2)參數(shù)問題涉及的有最值恒成立的問題、單調(diào)性的逆向應(yīng)用等,求解時注意分類討論思想的運用變式訓(xùn)練2 設(shè)f(x)xln x,g(x)x3x23.(1)當a2時,求曲線yf(x)在x1處的切線方程;(2)如果存在x1,x20,2使得g(x1)g(x2)M成立,求滿足上述條件的最大整數(shù)M;(3)如果對任意的s,t都有f(s)g(t)成立,求實數(shù)a的取值范圍解(1)當a2時,f(x)xln x,f(x)ln x1,f(1)2,f(1)1,故y2(x1)所以曲線yf(x)在x1處的切線方程為xy30.(2)存在x1,x20,2,使得g(x1)g(x2)M成立,等價于:g(x1)g(x2)maxM,g(x)x3x23,g(x)3x22x3x,x02g(x)0g(x)3遞減極(最)小值遞增1由上表可知:g(x)ming,g(x)maxg(2)1,g(x1)g(x2)maxg(x)maxg(x)min,所以滿足條件的最大整數(shù)M4.(3)對任意的s,t,都有f(s)g(t)成立等價于:在區(qū)間上,函數(shù)f(x)的最小值不小于g(x)的最大值,由(2)知,在區(qū)間上,g(x)的最大值為g(2)1.f(x)min1.又f(1)a,a1.下面證當a1時,在區(qū)間上,函數(shù)f(x)1成立當a1且x時,f(x)xln xxln x,記h(x)xln x,h(x)ln x1,h(1)0,當x時,h(x)ln x1<0;當x(1,2時,h(x)ln x1>0,所以函數(shù)h(x)xln x在區(qū)間上遞減,在區(qū)間(1,2上遞增,h(x)minh(1)1,即h(x)1,所以當a1且x時,f(x)1成立,即對任意s,t都有f(s)g(t)題型三利用導(dǎo)數(shù)研究生活中的優(yōu)化問題例3為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗,房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層,每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元該建筑物每年的能源消耗費用C(單位:萬元)與隔熱層厚度x(單位:cm)滿足關(guān)系:C(x) (0x10),若不建隔熱層,每年能源消耗費用為8萬元設(shè)f(x)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和(1)求k的值及f(x)的表達式;(2)隔熱層修建多厚時,總費用f(x)達到最小,并求最小值解(1)設(shè)隔熱層厚度為x cm,由題設(shè),每年能源消耗費用為C(x).再由C(0)8,得k40,因此C(x).又建造費用為C1(x)6x.最后得隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為f(x)20C(x)C1(x)206x6x (0x10)(2)f(x)6,令f(x)0,即6.解得x5,x(舍去)當0<x<5時,f(x)<0,當5<x<10時,f(x)>0,故x5是f(x)的最小值點,對應(yīng)的最小值為f(5)6570.當隔熱層修建5 cm厚時,總費用達到最小值70萬元變式訓(xùn)練3 (2011福建)某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明,該商品每日的銷售量y(單位:千克)與銷售價格x(單位:元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng)10(x6)2,其中3<x<6,a為常數(shù)已知銷售價格為5元/千克時,每日可售出該商品11千克(1)求a的值;(2)若該商品的成本為3元/千克,試確定銷售價格x的值,使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大解:(1)a2(2)x4

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本文(陜西省藍田縣高中數(shù)學(xué) 第四章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 4.2.2 最大值最小值問題導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 北師大版選修1 -1.doc)為本站會員(tia****nde)主動上傳,裝配圖網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護處理,對上載內(nèi)容本身不做任何修改或編輯。 若此文所含內(nèi)容侵犯了您的版權(quán)或隱私,請立即通知裝配圖網(wǎng)(點擊聯(lián)系客服),我們立即給予刪除!

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