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2018-2019高中數(shù)學(xué) 第二講 證明不等式的基本方法 2.2 證明不等式的基本方法導(dǎo)學(xué)案 新人教A版選修4-5.docx

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2018-2019高中數(shù)學(xué) 第二講 證明不等式的基本方法 2.2 證明不等式的基本方法導(dǎo)學(xué)案 新人教A版選修4-5.docx

2.2 證明不等式的基本方法學(xué)習(xí)目標(biāo)1了解綜合法與分析法證明不等式的思考過程與特點2會用綜合法、分析法證明簡單的不等式一、自學(xué)釋疑根據(jù)線上提交的自學(xué)檢測,生生、師生交流討論,糾正共性問題。二、合作探究探究1如何理解分析法尋找的是充分條件?探究2綜合法與分析法有何異同點?1.綜合法證明不等式(1)用綜合法證明不等式需要把“從已知出發(fā),借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理,經(jīng)過逐步的邏輯推理,最后達到待證不等式得證”的全過程寫出來,其特點可描述為“由因?qū)Ч笨蓤D示為.圖中P表示已知或已有的定義、定理、性質(zhì)等,Q為要證的結(jié)論(2)綜合法證明時常用的不等式:a2b22ab(當(dāng)且僅當(dāng)ab時,取等號),(a,bR,當(dāng)且僅當(dāng)ab時,取等號),a20,|a|0,(ab)20,2(ab>0)2分析法證明不等式(1)當(dāng)證明題不知從何入手時,可以用分析法而獲得解決它從待證的結(jié)論入手,步步尋求結(jié)論成立的充分條件,直至這個充分條件是顯然成立的(2)用分析法證“若A則B”這個命題的模式是:欲證B成立,只需證B1成立,只需證B2成立,只需證A成立,而A已知成立,從而知“若A則B”為真(3)用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系是:BB1B2BnA.3分析綜合法證明不等式一般來說,對于較復(fù)雜的不等式,直接運用綜合法往往不易下手,因而常用分析法尋求解題途徑,然后用綜合法進行證明還有些不等式的證明,需一邊分析一邊綜合,稱之為分析綜合法(或兩頭湊法)分析綜合法充分表明分析與綜合之間互為前提,相互滲透,相互轉(zhuǎn)化的辯證統(tǒng)一關(guān)系分析的終點是綜合的起點,綜合的終點又成為進一步分析的起點.【例1】已知a,b,c均為正數(shù),且abc1,求證:8.【變式訓(xùn)練1】已知a>0,b>0,c>0,求證:.【例2】已知a>b>0,求證:<<.(2)不等式兩邊需平方或開方時,不等式兩邊必須是非負(fù)數(shù)【變式訓(xùn)練2】已知a,bR,2c>ab,求證:(1)c2>ab;(2)c<a<c.【例3】ABC的三個內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列,其角A,B,C的對邊分別為a,b,c,求證:(ab)1(bc)13(abc)1. 【變式訓(xùn)練3】已知a>0,b>0,且ab1.求證: 2. 參考答案探究1 【提示】用分析法證明,其敘述格式是:要證明A,只需證明B.即說明只要有B成立,就一定有A成立因此分析法是“執(zhí)果索因”,步步尋求上一步成立的充分條件分析法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中“正難則反”的原則,也是思維中的逆向思維,逆求(不是逆推)結(jié)論成立的充分條件探究2【提示】綜合法與分析法的異同點方法證明的起始步驟證法過程前后邏輯關(guān)系證題方向綜合法已知條件或已學(xué)過的定義、定理、性質(zhì)等格式:AB1B2BnB由已知條件開始推導(dǎo)其成立的必要條件(結(jié)論)由因?qū)Ч治龇ㄒC明的結(jié)論格式:BB1B2BnA由結(jié)論開始探索其成立的充分條件(已知)執(zhí)果索因【例1】用綜合法證明如下【證明】a,b,c均為正數(shù),abc1,12.同理12,12.由于上面三個不等式兩邊均為正,分別相乘,得8當(dāng)且僅當(dāng)abc時,取等號【變式訓(xùn)練1】證明a>0,b>0,c>0,2 .同理,.以上三個不等式相加,得2.當(dāng)且僅當(dāng)abc時,取等號【例2】【證明】a>b>0,要證<<,只需證<ab2<,即證<()2<,即證<<,即證<2<,即證1<2<1,即證 <1< .a>b>0,>1,0<<1. >1, <1成立<<成立【變式訓(xùn)練2】證明(1)2c>ab,a>0,b>0,4c2>(ab)2a2b22ab2ab2ab4ab.c2>ab.(2)要證c<a<c,只需證<ac<,只需證|ac|<,只需證|ac|2<()2,即證a22acc2<c2ab,即證a2ab<2ac.a>0,只需證ab<2c.這是題設(shè)條件,顯然成立,故原不等式成立【例3】【證明】要證(ab)1(bc)13(abc)1成立,即證成立,即證3,即3,即證1,又需證c(bc)a(ab)(ab)(bc),即c2a2b2ac.又ABC的三個內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列,所以B,由余弦定理cosB,所以a2c2b2ac,所以原命題成立 【變式訓(xùn)練3】證明要證 2,只需證ab24,即證 1,只需證ab(ab)1,只需證ab.a>0,b>0,ab1,ab2.原不等式成立

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