（江蘇專用）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第四章 8 第八節(jié) 解三角形的綜合應(yīng)用精練.docx

第八節(jié)解三角形的綜合應(yīng)用課時作業(yè)練1.如圖,從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B,C的俯角分別為75,30,此時氣球的高度是60 m,則河流的寬度BC=.答案120(3-1)m解析如圖,ACD=30,ABD=75,AD=60 m,在RtACD中,CD=ADtanACD=60tan30=603(m).在RtABD中,BD=ADtanABD=60tan75=602+3=60(2-3)(m),則BC=CD-BD=603-60(2-3)=120(3-1)(m).2.某同學(xué)騎電動車以24 km/h的速度沿正北方向的公路行駛,在點A處測得電視塔S在電動車的北偏東30方向上,15 min后到點B處,測得電視塔S在電動車的北偏東75方向上,則點B與電視塔的距離是km.答案32解析由題意知AB=241560=6(km).在ABS中,BAS=30,AB=6 km,ASB=75-30=45.由正弦定理知BSsin30=ABsin45,則BS=ABsin30sin45=32(km).3.如圖所示,長為3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在離堤足C處1.4 m的地面上,另一端B在離堤足C處2.8 m的石堤上,石堤的傾斜角為,則tan =.答案2315解析由題意可知,在ABC中,AB=3.5 m,AC=1.4 m,BC=2.8 m,由余弦定理可得AB2=AC2+BC2-2ACBCcosACB,即3.52=1.42+2.82-21.42.8cos(-),解得cos =516,所以sin =23116,所以tan =sincos=2315.4.為了豎一塊廣告牌,要制造一個三角形支架,如圖,要求ACB=60,BC的長度大于1米,且AC比AB長0.5米,為了穩(wěn)固廣告牌,要求AC越短越好,則AC最短為.答案(2+3)米解析設(shè)BC的長度為x米,AC的長度為y米,則AB的長度為(y-0.5)米.在ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2ACBCcosACB,即(y-0.5)2=y2+x2-2yx12,化簡得y(x-1)=x2-14.x>1,x-1>0,y=x2-14x-1,即y=(x-1)+34(x-1)+23+2,當(dāng)且僅當(dāng)x-1=34(x-1),即x=1+32時,上式取“=”,當(dāng)x=1+32時,y有最小值2+3.5.在ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,已知b=45,c=5,且B=2C,點D為邊BC上一點,且CD=3,則ADC的面積為.答案6解析在ABC中,由正弦定理得bsinB=csinC,又B=2C,則b2sinCcosC=csinC,又sin C>0,則cos C=b2c=255,又C為三角形的內(nèi)角,則sin C=1-cos2C=55,則ADC的面積為12ACCDsin C=1245355=6.6.(2018江蘇南通摸底)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若cos C=223,bcos A+acos B=2,則ABC的外接圓面積為.答案9解析已知bcos A+acos B=2,由正弦定理可得2Rsin Bcos A+2Rsin Acos B=2(R為ABC的外接圓半徑),則2Rsin(A+B)=2,則2Rsin C=2.因為cos C=223,所以sin C=13,所以R=3,故ABC的外接圓面積為9.7.(2019泰州模擬)如圖所示,已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于a km,燈塔A在觀察站C的北偏東20方向上,燈塔B在觀察站C的南偏東40方向上,則燈塔A與B的距離為km.答案3a解析由題圖可知,ACB=120,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2ACBCcosACB=a2+a2-2aa-12=3a2,解得AB=3a(km).8.在銳角ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足(a-b)(sin A+sin B)=(c-b)sin C,若a=3,則b2+c2的取值范圍是.答案(5,6解析因為(a-b)(sin A+sin B)=(c-b)sin C,所以由正弦定理可得(a-b)(a+b)=(c-b)c,化簡得b2+c2-a2=bc,由余弦定理可得cos A=b2+c2-a22bc=12,所以ABC的內(nèi)角A=3.又a=3,則asinA=bsinB=csinC=332=2,則b2+c2=4sin2B+4sin2C=2(1-cos 2B)+2(1-cos 2C)=4-2cos 2B+cos 223-B=4-212cos 2B-32sin 2B=4-2cos2B+3.又ABC是銳角三角形,所以0<B<2,0<23-B<2,解得6<B<2,所以23<2B+3<43,所以-1cos2B+3<-12,所以5<4-2cos2B+36,即b2+c2的取值范圍是(5,6.9.(2019南通模擬)某人為測出所住小區(qū)的面積,進行了一些測量工作,最后將所在小區(qū)近似地畫成如圖所示的四邊形,測得的數(shù)據(jù)如圖所示,則該小區(qū)的面積是km2.答案6-34解析連接AC,在ABC中,由余弦定理可知AC=AB2+BC2-2ABBCcosB=3 km,又BC=1 km,AB=2 km,所以ACB=90,CAB=30,又DAB=45,DCB=105,所以DAC=DCA=15,所以ADC=150,在ADC中,ACsinADC=ADsinDCA,易得AD=ACsinDCAsinADC=32-62 km,故S四邊形ABCD=SABC+SADC=1213+1232-62212=6-34(km2).10.(2018鹽城高三第三次模擬)在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,AD為邊BC上的中線.(1)若a=4,b=2,AD=1,求邊c的長;(2)若ABAD=c2,求角B的大小.解析(1)在ADC中,AD=1,AC=2,DC=12BC=2,所以cos C=AC2+DC2-AD22ACDC=22+22-12222=78.在ABC中,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=42+22-24278=6,所以c=6.(2)因為AD為邊BC上的中線,所以AD=12(AB+AC),所以c2=ABAD=AB12(AB+AC)=12AB2+12ABAC=12c2+12cbcos A,所以c=bcos A,即c=bb2+c2-a22bc,即b2=c2+a2,所以B=90.11.(2018江蘇鹽城中學(xué)高三數(shù)學(xué)階段性檢測)設(shè)銳角ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且2asinC+3=3b.(1)求角A的值;(2)求cos 2B+2cos Asin B的取值范圍.解析(1)由正弦定理及已知得2sin A12sinC+32cosC=3sin B,即sin Asin C+3sin Acos C=3sin(A+C)=3sin Acos C+3cos Asin C,化簡得sin Asin C=3cos Asin C,C是銳角,則sin C0,則sin A=3cos A,tan A=3,又A0,2,所以A=3.(2)因為ABC是銳角三角形,所以B0,2,且23-B0,2,則B6,2,sin B12,1,又cos 2B+2cos Asin B=cos 2B+sin B=-2sin2B+sin B+1=-2sinB-142+98,可知其在12,1上遞減,所以cos 2B+2cos Asin B(0,1).12.(2019江蘇三校高三模擬)已知向量m=(cos x,-sin x),n=(cos x,sin x-23cos x),xR,設(shè)f(x)=mn.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)在ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若f(A)=1,a=23,c=2,求ABC的面積.解析(1)由題意知f(x)=mn=cos2x-sin x(sin x-23cos x)=cos2x-sin2x+23sin xcos x=3sin 2x+cos 2x=2sin2x+6,令2k-22x+62k+2,kZ,則k-3xk+6,kZ,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為k-3,k+6,kZ.(2)由題意得,2sin2A+6=1,因為0<A<,所以6<2A+6<136,所以2A+6=56,故A=3.由正弦定理得asinA=csinC,又a=23,c=2,所以sin C=csinAa=12,因為C0,23,所以C=6,故B=2,所以SABC=12232sin2=23.基礎(chǔ)滾動練(滾動循環(huán)夯實基礎(chǔ))1.(2018江蘇三校高三聯(lián)考)已知集合A=x|-2<x<3,B=x|0<x<4,則AB=.答案(0,3)2.函數(shù)f(x)=sin3x+6的最小正周期為.答案233.方程|log2x|+x-2=0的解的個數(shù)為.答案2解析在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=|log2x|,y=2-x的圖象(圖略),可知方程|log 2x|+x-2=0有兩個解.4.已知函數(shù)f(x)=Asin(x+)(A,為常數(shù),A>0,>0,0<<)的圖象如圖所示,則f3=.答案1解析由圖象可得A=2,最小正周期T=1112-643=2=2,又f6=2sin26+=2,0<<,所以=6,故f(x)=2sin2x+6, f3=2sin23+6=1.5.(2018江蘇三校高三聯(lián)考)在ABC中,A,B,C所對的邊長分別為a,b,c.已知a+2c=2b,sin B=2sin C,則cos C=.答案34解析由正弦定理及已知得b=2c,則a=2c,由余弦定理可得cos C=2c2+2c2-c222c2=34.6.已知函數(shù)f(x)=|2x-1|的定義域和值域都是a,b(b>a),則a+b=.答案1解析因為函數(shù)f(x)=|2x-1|的函數(shù)值非負,所以a0,則函數(shù)f(x)=|2x-1|=2x-1在a,b上遞增,所以f(a)=2a-1=a, f(b)=2b-1=b,即a,b是方程2x-1=x的兩個非負根,由圖象可得a=0,b=1,所以a+b=1.7.(2019江蘇徐州一中高三模擬)已知函數(shù)f(x)=x|x2-3|,x0,m,其中mR,當(dāng)函數(shù)f(x)的值域為0,2時,實數(shù)m的取值范圍是.答案1,2解析函數(shù)f(x)=x|x2-3|=x3-3x,x>3,-x3+3x,0x3,作出函數(shù)f(x)的圖象(圖略),可知當(dāng)函數(shù)f(x)的值域為0,2時,1m2.8.(2018江蘇三校聯(lián)考)已知,0,2,且sin(+2)=13.(1)若+=23,求sin 的值;(2)若sin =45,求cos 的值.解析(1)+=23,sin(+2)=13,sin23+=13,0,2,23+23,76,cos23+=-223,sin =sin23+-23=sin23+cos23-cos23+sin23=13-12-22332=26-16.(2)sin =45,0,2,cos =1-sin2=35,sin 2=2sin cos =2425,cos 2=2cos2-1=-725,22,又sin(+2)=13,+22,32,所以cos(+2)=-223,所以cos =cos(+2)-2=cos(+2)cos 2+sin(+2)sin 2=-223-725+132425=24+14275.