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新版高三數(shù)學(xué) 第14練 函數(shù)模型及其應(yīng)用練習(xí)

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新版高三數(shù)學(xué) 第14練 函數(shù)模型及其應(yīng)用練習(xí)

1 1第14練 函數(shù)模型及其應(yīng)用訓(xùn)練目標(biāo)(1)函數(shù)模型應(yīng)用;(2)審題及建模能力培養(yǎng)訓(xùn)練題型函數(shù)應(yīng)用題解題策略(1)抓住變量間的關(guān)系,準(zhǔn)確建立函數(shù)模型;(2)常見函數(shù)模型:一次函數(shù)、二次函數(shù)模型;指數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型;yax型函數(shù)模型.1.為了保護(hù)環(huán)境,發(fā)展低碳經(jīng)濟(jì),某單位在國家科研部門的支持下,進(jìn)行技術(shù)攻關(guān),采用了新工藝,把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品已知該單位每月的處理量最少為400噸,最多為600噸,月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為:yx2200x80 000,且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價(jià)值為100元該單位每月能否獲利?如果獲利,求出最大利潤;如果不獲利,則國家至少需要補(bǔ)貼多少元才能使該單位不虧損?2某化工廠引進(jìn)一條先進(jìn)生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品,其生產(chǎn)的總成本y(萬元)與年產(chǎn)量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系式可以近似地表示為y48x8 000,已知此生產(chǎn)線年產(chǎn)量最大為210噸(1)求年產(chǎn)量為多少噸時(shí),生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低,并求最低成本;(2)若每噸產(chǎn)品平均出廠價(jià)為40萬元,那么當(dāng)年產(chǎn)量為多少噸時(shí),可以獲得最大利潤?最大利潤是多少?3(20xx·濰坊檢測)在扶貧活動(dòng)中,為了盡快脫貧(無債務(wù))致富,企業(yè)甲將經(jīng)營狀況良好的某種消費(fèi)品專賣店以5.8萬元的優(yōu)惠價(jià)格轉(zhuǎn)讓給了尚有5萬元無息貸款沒有償還的小型企業(yè)乙,并約定從該店經(jīng)營的利潤中,首先保證企業(yè)乙的全體職工每月最低生活費(fèi)的開支3 600元后,逐步償還轉(zhuǎn)讓費(fèi)(不計(jì)息)在甲提供的資料中:這種消費(fèi)品的進(jìn)價(jià)為每件14元;該店月銷量Q(百件)與銷售價(jià)格P(元)的關(guān)系如圖所示;每月需各種開支2 000元(1)當(dāng)商品的價(jià)格為每件多少元時(shí),月利潤扣除職工最低生活費(fèi)的余額最大?并求最大余額;(2)企業(yè)乙只依靠該店,最早可望在幾年后脫貧?4.某公司研制出了一種新產(chǎn)品,試制了一批樣品分別在國內(nèi)和國外上市銷售,并且價(jià)格根據(jù)銷售情況不斷進(jìn)行調(diào)整,結(jié)果40天內(nèi)全部銷完公司對銷售及銷售利潤進(jìn)行了調(diào)研,結(jié)果如圖所示,其中圖(一條折線)、圖(一條拋物線段)分別是國外和國內(nèi)市場的日銷售量與上市時(shí)間的關(guān)系,圖是每件樣品的銷售利潤與上市時(shí)間的關(guān)系(1)分別寫出國外市場的日銷售量f(t)與上市時(shí)間t的關(guān)系及國內(nèi)市場的日銷售量g(t)與上市時(shí)間t的關(guān)系;(2)國外和國內(nèi)的日銷售利潤之和有沒有可能恰好等于6 300萬元?若有,請說明是上市后的第幾天;若沒有,請說明理由5(20xx·江蘇)某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路,為進(jìn)一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀,計(jì)劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路,記兩條相互垂直的公路為l1,l2,山區(qū)邊界曲線為C,計(jì)劃修建的公路為l,如圖所示,M,N為C的兩個(gè)端點(diǎn),測得點(diǎn)M到l1,l2的距離分別為5千米和40千米,點(diǎn)N到l1,l2的距離分別為20千米和2.5千米,以l2,l1所在的直線分別為x,y軸,建立平面直角坐標(biāo)系xOy,假設(shè)曲線C符合函數(shù)y(其中a,b為常數(shù))模型(1)求a,b的值;(2)設(shè)公路l與曲線C相切于P點(diǎn),P的橫坐標(biāo)為t.請寫出公路l長度的函數(shù)解析式f(t),并寫出其定義域;當(dāng)t為何值時(shí),公路l的長度最短?求出最短長度答案精析1解設(shè)該單位每月獲利為S元,則S100xy100xx2300x80 000(x300)235 000,因?yàn)?00x600,所以當(dāng)x400時(shí),S有最大值40 000.故該單位不獲利,需要國家每月至少補(bǔ)貼40 000元,才能不虧損2解(1)每噸平均成本為(萬元)則482 4832,當(dāng)且僅當(dāng),即x200時(shí)取等號當(dāng)年產(chǎn)量為200噸時(shí),每噸產(chǎn)品的平均成本最低為32萬元(2)設(shè)當(dāng)年獲得總利潤為R(x)萬元,則R(x)40xy40x48x8 00088x8 000(x220)21 680(0x210)R(x)在0,210上是增函數(shù),當(dāng)x210時(shí),R(x)有最大值為(210220)21 6801 660.當(dāng)年產(chǎn)量為210噸時(shí),可獲得最大利潤1 660萬元3解設(shè)該店月利潤余額為L,則由題設(shè)得LQ(P14)×1003 6002 000,由銷量圖易得Q代入式得L(1)當(dāng)14P20時(shí),Lmax450元,此時(shí)P19.5元;當(dāng)20<P26時(shí),Lmax元,此時(shí)P元故當(dāng)P19.5元時(shí),月利潤余額最大,為450元(2)設(shè)可在n年后脫貧,依題意有12n×45050 00058 0000,解得n20.即最早可望在20年后脫貧4解(1)圖是兩條線段,由一次函數(shù)及待定系數(shù)法,得f(t)圖是一個(gè)二次函數(shù)的部分圖象,故g(t)t26t(0t40)(2)每件樣品的銷售利潤h(t)與上市時(shí)間t的關(guān)系為h(t)故國外和國內(nèi)的日銷售利潤之和F(t)與上市時(shí)間t的關(guān)系為F(t)當(dāng)0t20時(shí),F(xiàn)(t)3tt324t2,F(xiàn)(t)t248tt0,F(xiàn)(t)在0,20上是增函數(shù),F(xiàn)(t)在此區(qū)間上的最大值為F(20)6 000<6 300.當(dāng)20<t30時(shí),F(xiàn)(t)60.由F(t)6 300,得3t2160t2 1000,解得t(舍去)或t30.當(dāng)30<t40時(shí),F(xiàn)(t)60.由F(t)在(30,40上是減函數(shù),得F(t)<F(30)6 300.故國外和國內(nèi)的日銷售利潤之和可以恰好等于6 300萬元,為上市后的第30天5解(1)由題意知,點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為(5,40),(20,2.5)將其分別代入y,得解得(2)由(1)知,y(5x20),則點(diǎn)P的坐標(biāo)為,設(shè)在點(diǎn)P處的切線l交x,y軸分別于A,B點(diǎn),y,則l的方程為y(xt),由此得A,B.故f(t),t5,20設(shè)g(t)t2,則g(t)2t.令g(t)0,解得t10.當(dāng)t(5,10)時(shí),g(t)<0,g(t)是減函數(shù);當(dāng)t(10,20)時(shí),g(t)>0,g(t)是增函數(shù)從而,當(dāng)t10時(shí),函數(shù)g(t)有極小值,也是最小值,所以g(t)min300,此時(shí)f(t)min15.答當(dāng)t10時(shí),公路l的長度最短,最短長度為15千米

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