（江蘇專用）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第三章 4 第四節(jié) 導(dǎo)數(shù)的綜合問題精練.docx

第四節(jié)導(dǎo)數(shù)的綜合問題課時(shí)作業(yè)練1.電動(dòng)自行車的耗電量y與速度x之間的關(guān)系為y=13x3-392x2-40x(x>0),為使耗電量最小,則速度應(yīng)定為.答案40解析易知y=x2-39x-40(x>0).令y=x2-39x-40=0,得x=-1(舍去)或x=40,當(dāng)0<x<40時(shí),y<0,函數(shù)單調(diào)遞減;當(dāng)x>40時(shí),y>0,函數(shù)單調(diào)遞增,所以當(dāng)x=40時(shí),y有最小值.2.若關(guān)于x的不等式x3-3x2-9x+2m對(duì)任意x-2,2恒成立,則m的取值范圍是.答案(-,-20解析由題意知m(x3-3x2-9x+2)min,x-2,2,令f(x)=x3-3x2-9x+2,則f (x)=3x2-6x-9,令f (x)=0,得x=-1或x=3(舍去).因?yàn)閒(-1)=7, f(-2)=0, f(2)=-20.所以f(x)的最小值為f(2)=-20,故m-20.3.函數(shù)f(x)=ln x+12x2-2x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是.答案1解析f (x)=1x+x-2=x2-2x+1x=(x-1)2x0,則函數(shù)f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增,且f(1)=-32<0, f(4)=ln 4>0 ,函數(shù) f(x)在(0,+)上有且僅有1個(gè)零點(diǎn).4.若存在x(0,+),使得不等式2xln x-x2+ax-3成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.答案4,+)解析由題意可得a2ln x+x+3x,x(0,+)有解,則a2lnx+x+3xmin,x(0,+),令f(x)=2ln x+x+3x,x(0,+),則f (x)=2x+1-3x2=x2+2x-3x2=(x+3)(x-1)x2,x(0,+),當(dāng)x(0,1)時(shí), f (x)<0, f(x)遞減,當(dāng)x(1,+)時(shí), f (x)>0, f(x)遞增,則f(x)min=f(1)=4,故a4.5.(2018江蘇揚(yáng)州中學(xué)高三第一學(xué)期期中)已知函數(shù)f(x)=ex-2x+a有零點(diǎn),則a的取值范圍是.答案 (-,2ln 2-2解析令ex-2x+a=0,則a=2x-ex,令g(x)=2x-ex,則由題意可知a的范圍即為函數(shù)g(x)的值域.g(x)=2-ex,由g(x)=0,得x=ln 2,且x(-,ln 2)時(shí),g(x)>0,g(x)遞增,x(ln 2,+)時(shí),g(x)<0,g(x)遞減,所以g(x)max=g(ln 2)=2ln 2-2,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-,2ln 2-2.6.(2018南京第三次模擬)已知a,bR,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).若存在b-3e,-e2,使得函數(shù)f(x)=ex-ax-b在1,3上存在零點(diǎn),則a的取值范圍是 .答案e2,4e解析原命題等價(jià)于存在b-3e,-e2,使得函數(shù)y=ex,x1,3的圖象與y=ax+b,x1,3的圖象有交點(diǎn),畫出圖象如下,則求斜率a的取值范圍即可.結(jié)合圖象可得l1的斜率最大,為4e.過點(diǎn)A作曲線y=ex,x1,3的切線l2,則其斜率最小,設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,ex0),則切線方程為y-ex0=ex0(x-x0),代入點(diǎn)(0,-e2),得e2=ex0(x0-1),函數(shù)y=ex0(x0-1)在1,3上單調(diào)遞增,所以存在唯一的x0=2使等式成立,此時(shí)a=e2,故a的取值范圍是e2,4e.7.(2018蘇錫常鎮(zhèn)四市高三調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=12(|x+3|+1),x0,lnx,x>0,若存在實(shí)數(shù)a<b<c,滿足f(a)=f(b)=f(c),則af(a)+bf(b)+cf(c)的最大值是.答案2e2-12解析作出函數(shù)f(x)的圖象如圖,當(dāng)f(a)=f(b)=f(c),a<b<c時(shí),有a+b=-6,12<ln c2,則e<ce2,則af(a)+bf(b)+cf(c)=(a+b+c)f(c)=(c-6)ln c,令g(c)=(c-6)ln c,c(e,e2,則g(c)=ln c+c-6c,c(e,e2,易知g(c)在(e,e2上遞增,且g(e)=32-6e<0,g(e2)=3-6e2>0,所以存在c0(e,e2),使得g(c0)=0,且c(e,c0)時(shí),g(c)<0,g(c)遞減,c(c0,e2)時(shí),g(c)>0,g(c)遞增,且g(e)=12(e-6)<0,g(e2)=2(e2-6)>0,由分析知g(c)的最大值即為af(a)+bf(b)+cf(c)的最大值,所以af(a)+bf(b)+cf(c)的最大值是2e2-12.8.(2019江蘇三校模擬)某食品廠進(jìn)行蘑菇的深加工,每千克蘑菇的采購(gòu)成本為20元,并且每千克蘑菇的加工費(fèi)為t元(t為常數(shù),且2t5).設(shè)該食品廠每千克蘑菇的出廠價(jià)為x元(25x40),根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查,日銷售量q千克與ex成反比,當(dāng)每千克蘑菇的出廠價(jià)為30元時(shí),日銷售量為100千克.(1)求該工廠的日利潤(rùn)y元與每千克蘑菇的出廠價(jià)x元的函數(shù)關(guān)系式;(2)若t=5,問當(dāng)每千克蘑菇的出廠價(jià)為多少時(shí),該工廠的日利潤(rùn)y最大?并求出最大日利潤(rùn).解析(1)設(shè)q=kex(k0),則ke30=100,所以k=100e30,所以q=100e30ex,所以y=100e30(x-20-t)ex(25x40).(2)當(dāng)t=5時(shí),y=100e30(x-25)ex,則y=100e30(26-x)ex.由y0得x26,由y0得x26,所以y=100e30(x-25)ex在區(qū)間25,26上單調(diào)遞增,在區(qū)間26,40上單調(diào)遞減.所以當(dāng)x=26時(shí),ymax=100e4,即當(dāng)每千克蘑菇的出廠價(jià)為26元時(shí),該工廠的日利潤(rùn)最大,最大日利潤(rùn)為100e4元.9.(2019江蘇三校模擬)已知函數(shù)f(x)=xln x+ax,aR,函數(shù)f(x)的圖象在x=1處的切線與直線x+2y-1=0垂直.(1)求a的值和函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)求證:ex>f (x).解析(1)f (x)=ln x+1+a,x>0,由題易知f(x)的圖象在x=1處的切線的斜率k=2,所以f (1)=ln 1+1+a=2,所以a=1.所以f (x)=ln x+2,當(dāng)x>e-2時(shí), f (x)>0,當(dāng)0<x<e-2時(shí), f (x)<0,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(e-2,+),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,e-2).(2)證明:設(shè)g(x)=ex-f (x)=ex-ln x-2,x>0,因?yàn)間(x)=ex-1x在(0,+)上單調(diào)遞增,且g(1)=e-1>0,g12=e12-2<0,所以g(x)在12,1上存在唯一的零點(diǎn)t,使得g(t)=et-1t=0,即et=1t12<t<1.當(dāng)0<x<t時(shí),g(x)<g(t)=0,當(dāng)x>t時(shí),g(x)>g(t)=0,所以g(x)在(0,t)上單調(diào)遞減,在(t,+)上單調(diào)遞增,所以x>0時(shí),g(x)g(t)=et-ln t-2=1t-ln 1et-2=t+1t-22-2=0,又12<t<1,所以上式等號(hào)取不到,所以g(x)>0,即ex>f (x).基礎(chǔ)滾動(dòng)練(滾動(dòng)循環(huán)夯實(shí)基礎(chǔ))1.(2019江蘇揚(yáng)州高三模擬)已知集合A=0,1,2,B=x|x=2n-1,nZ,則AB=.答案12.函數(shù)f(x)=ln x+1-x的定義域?yàn)?答案(0,1解析要使函數(shù)f(x)=ln x+1-x有意義,則有x>0,1-x0,解得0<x1,即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,1.3.若f(x)=-x2+2ax與g(x)=ax+1在區(qū)間1,2上都是減函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.答案(0,1解析由題意可得a1,a>0,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,1.4.函數(shù)f(x)=ex-x,x(0,e的最大值為.答案ee-e解析f (x)=ex-1>0,x(0,e,則f(x)=ex-x在x(0,e上單調(diào)遞增,故f(x)max=f(e)=ee-e.5.函數(shù)f(x)=13x-1+a(x0),則“f(1)=1”是“函數(shù)f(x)為奇函數(shù)”的條件.(選填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)答案充要解析若函數(shù)f(x)=13x-1+a(x0)為奇函數(shù),則a=12,所以f(1)=13-1+12=1;反之,若f(1)=1,則a=12,此時(shí)函數(shù)f(x)為奇函數(shù),所以“f(1)=1”是“函數(shù)f(x)為奇函數(shù)”的充要條件.6.若x-1,1時(shí), f(x)=x2-x+1的圖象恒在y=2x+m的圖象的上方,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.答案m<-1解析由題意得x2-x+1>2x+m在x-1,1時(shí)恒成立,即x2-3x+1-m>0在x-1,1時(shí)恒成立.設(shè)g(x)=x2-3x+1-m,其圖象的對(duì)稱軸為直線x=32,所以g(x)在-1,1上遞減.故只需g(1)>0即可,即12-31+1-m>0,解得m<-1.7.已知奇函數(shù)f(x)=5x+sin x+c,x(-1,1),若f(1-x)+f(1-x2)<0,則實(shí)數(shù)x的取值范圍是.答案 (1,2) 解析由題意可得f(0)=c=0,則f(x)=5x+sin x,且f(x)在x(-1,1)上遞增,所以由f(1-x)<-f(1-x2)=f(x2-1),得-1<1-x<x2-1<1,解得1<x<2,即實(shí)數(shù)x的取值范圍是(1,2).8.若點(diǎn)P是曲線y=x2-ln x上任意一點(diǎn),則點(diǎn)P到直線y=x-2的距離的最小值為.答案2解析y=2x-1x=2x2-1x,x>0,令y=1,解得x=1,則點(diǎn)P(1,1)到直線y=x-2的距離最小,最小值為22=2.9.若函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx(a,bR)的圖象與x軸相切于一點(diǎn)A(m,0)(m0),且f(x)的極大值為12,則m的值為.答案32解析由題意可得f(m)=m3+am2+bm=0,m0,則m2+am+b=0,且f (m)=3m2+2am+b=0,-化簡(jiǎn)得m=-a2,從而b=a24, f (x)=3x2+2ax+b,則3x2+2ax+b=0的兩根為-a2和-a6,由題意知f-a6=12,從而a=-3,m=32.10.設(shè)函數(shù)f(x)=13mx3+(4+m)x2,g(x)=aln(x-1),a0.(1)若函數(shù)y=g(x)的圖象恒過定點(diǎn)P,且點(diǎn)P關(guān)于直線x=32對(duì)稱的點(diǎn)在y=f(x)的圖象上,求m的值;(2)當(dāng)a=8時(shí),設(shè)F(x)=f (x)+g(x+1),討論F(x)的單調(diào)性.解析(1)函數(shù)y=g(x)的圖象恒過定點(diǎn)P(2,0),且點(diǎn)P關(guān)于直線x=32對(duì)稱的點(diǎn)(1,0)在y=f(x)的圖象上,則13m+4+m=0,m=-3.(2)F(x)=mx2+2(4+m)x+8ln x,x>0,則F(x)=2mx+2(4+m)+8x=2mx2+2(4+m)x+8x=(2mx+8)(x+1)x,x>0,當(dāng)m0時(shí),F(x)>0,F(x)在(0,+)上為增函數(shù);當(dāng)m<0時(shí),由F(x)>0得0<x<-4m,由F(x)<0得x>-4m,F(x)在0,-4m上單調(diào)遞增,在-4m,+上單調(diào)遞減.綜上可得,當(dāng)m0時(shí),F(x)在(0,+)上單調(diào)遞增;當(dāng)m<0時(shí),F(x)在0,-4m上單調(diào)遞增,在-4m,+上單調(diào)遞減.