（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)新增分大一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何與空間向量 8.7 立體幾何的綜合問題講義（含解析）.docx

8.7立體幾何的綜合問題最新考綱考情考向分析1.理解空間點、直線、平面的位置關(guān)系的定義，理解直線與平面所成角的概念，了解二面角及其平面角的概念.2.了解直線的方向向量與平面的法向量.3.了解求兩直線夾角、直線與平面所成角、二面角的向量方法.利用線面關(guān)系的判定、性質(zhì)定理證明空間的平行和垂直；利用空間角的概念或借助空間向量計算空間角(以線面角為主)，題型為解答題，考查學(xué)生的空間想象能力和計算能力.1.直線的方向向量與平面的法向量的確定(1)直線的方向向量：在直線上任取一非零向量作為它的方向向量.(2)平面的法向量可利用方程組求出：設(shè)a，b是平面內(nèi)兩不共線向量，n為平面的法向量，則求法向量的方程組為2.空間中平行、垂直關(guān)系的證明方法(1)利用空間平行、垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化：線線關(guān)系線面關(guān)系面面關(guān)系.(2)利用直線的方向向量和平面的法向量的關(guān)系.3.求兩條異面直線所成的角(1)用“平移法”作出異面直線所成角(或其補角).(2)用“向量法”求兩直線的方向向量所成的銳角.4.求直線與平面所成的角(1)按定義作出線面角(即找到斜線在平面內(nèi)的射影)解三角形.(2)直線與平面所成角的求法設(shè)直線l的方向向量為a，平面的法向量為n，直線l與平面所成的角為，a與n的夾角為，則sin|cos|.5.求二面角的大小(1)如圖，AB，CD分別是二面角l的兩個面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小，.(2)如圖，n1，n2分別是二面角l的兩個半平面，的法向量，則二面角的大小滿足|cos|cosn1，n2|，二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角(或其補角).題組一思考辨析1.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)平面的單位法向量是唯一確定的.()(2)若兩平面的法向量平行，則兩平面平行.()(3)若兩直線的方向向量不平行，則兩直線不平行.()(4)直線的方向向量和平面的法向量所成的角就是直線與平面所成的角.()(5)兩異面直線夾角的范圍是，直線與平面所成角的范圍是，二面角的范圍是0，.()(6)若二面角a的兩個半平面，的法向量n1，n2所成角為，則二面角a的大小是.()題組二教材改編2.P104T2設(shè)u，v分別是平面，的法向量，u(2，2，5)，當(dāng)v(3，2，2)時，與的位置關(guān)系為_；當(dāng)v(4，4，10)時，與的位置關(guān)系為_.答案解析當(dāng)v(3，2，2)時，uv(2，2，5)(3，2，2)0得.當(dāng)v(4，4，10)時，v2u得.3.P111T3如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中點，N是A1B1的中點，則直線ON，AM的位置關(guān)系是_.答案垂直解析以A為原點，分別以，所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.設(shè)正方體的棱長為1，則A(0，0，0)，M，O，N，0，ON與AM垂直.4.P104T2已知兩平面的法向量分別為m(0，1，0)，n(0，1，1)，則兩平面所成的二面角為_.答案45或135解析cosm，n，即m，n45.兩平面所成二面角為45或18045135.題組三易錯自糾5.直線l的方向向量a(1，3，5)，平面的法向量n(1，3，5)，則有()A.lB.lC.l與斜交D.l或l答案B解析由an知，na，則有l(wèi)，故選B.6.已知向量m，n分別是直線l和平面的方向向量和法向量，若cosm，n，則l與所成的角為_.答案30解析設(shè)l與所成角為，cosm，n，sin|cosm，n|，090，30.題型一證明平行或垂直問題1.(2018臺州調(diào)研)如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，棱長為a，M，N分別為A1B和AC上的點，A1MAN，則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是()A.相交B.平行C.垂直D.MN在平面BB1C1C內(nèi)答案B解析以點C1為坐標(biāo)原點，分別以C1B1，C1D1，C1C所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由于A1MAN，則M，N，.又C1D1平面BB1C1C，所以(0，a，0)為平面BB1C1C的一個法向量.因為0，所以，又MN平面BB1C1C，所以MN平面BB1C1C.2.(2010浙江)設(shè)l，m是兩條不同的直線，是一個平面，則下列命題正確的是()A.若lm，m，則lB.若l，lm，則mC.若l，m，則lmD.若l，m，則lm答案B解析對于A，由lm及m，可知l與的位置關(guān)系有平行、相交或在平面內(nèi)三種，故A不正確.B正確.對于C，由l，m知，l與m的位置關(guān)系為平行或異面，故C不正確.對于D，由l，m知，l與m的位置關(guān)系為平行、異面或相交，故D不正確.3.如圖，在三棱錐PABC中，PA底面ABC，BAC90.點D，E，N分別為棱PA，PC，BC的中點，M是線段AD的中點，PAAC4，AB2.求證：MN平面BDE.證明如圖，以A為原點，分別以，的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.由題意，可得A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，P(0，0，4)，D(0，0，2)，E(0，2，2)，M(0，0，1)，N(1，2，0).(0，2，0)，(2，0，2).設(shè)n(x，y，z)為平面BDE的一個法向量，則即不妨設(shè)z1，可得n(1，0，1).又(1，2，1)，可得n0.因為MN平面BDE，所以MN平面BDE.4.如圖所示，已知四棱錐PABCD的底面是直角梯形，ABCBCD90，ABBCPBPC2CD，側(cè)面PBC底面ABCD.證明：(1)PABD；(2)平面PAD平面PAB.證明(1)取BC的中點O，連接PO，平面PBC底面ABCD，PBC為等邊三角形，平面PBC底面ABCDBC，PO平面PBC，PO底面ABCD.以BC的中點O為坐標(biāo)原點，以BC所在直線為x軸，過點O與AB平行的直線為y軸，OP所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.不妨設(shè)CD1，則ABBC2，PO，A(1，2，0)，B(1，0，0)，D(1，1，0)，P(0，0，)，(2，1，0)，(1，2，).(2)1(1)(2)0()0，PABD.(2)取PA的中點M，連接DM，則M.，(1，0，)，100()0，即DMPB.10(2)()0，即DMPA.又PAPBP，PA，PB平面PAB，DM平面PAB.DM平面PAD，平面PAD平面PAB.思維升華(1)證明平行或垂直問題要以兩條直線的平行或垂直為基礎(chǔ)，靈活轉(zhuǎn)化線線、線面、面面的關(guān)系.(2)利用向量法證明平行、垂直問題時，要充分應(yīng)用直線的方向向量和平面的法向量，將空間線面關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量的關(guān)系.題型二空間角的計算命題點1求直線和平面所成的角例1(2018溫州高考適應(yīng)性測試)如圖，在四面體ABCD中，ABBCCDBDAD1，平面ABD平面CBD.(1)求AC的長；(2)點E是線段AD的中點，求直線BE與平面ACD所成角的正弦值.解(1)AB1，BD，AD2，AD2AB2BD2，即ABBD.又平面ABD平面CBD，平面ABD平面CBDBD，AB平面ABD，AB平面CBD，ABBC，ABBC1，AC.(2)方法一由(1)可知AB平面CBD，如圖，過點B作BGDC的延長線于點G，連接AG，則有CD平面ABG，平面AGD平面ABG，過點B作BHAG于點H，平面AGD平面ABGAG，BH平面AGD，連接HE，則BEH為直線BE與平面ACD所成的角.由BCCD1，BD，易得BCD120，BG.又AB1，AG，BH.又BEAD1，sinBEH，即直線BE與平面ACD所成角的正弦值為.方法二在平面BCD上作BFBC，分別以B為原點，BC，BF，BA所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則有C(1，0，0)，D，A(0，0，1)，設(shè)平面ACD的法向量為n(x，y，z)，(1，0，1)，又令y1，則xz，n(，1，)是平面ACD的一個法向量.又，設(shè)直線BE與平面ACD所成的角為，sin|cos，n|.命題點2求二面角例2(2018浙江名校(諸暨中學(xué))交流卷四)如圖，已知ABC為等邊三角形，M為AB的中點，AA1，BB1分別垂直平面ABC于點A，B，AA1AB，BB1AB，MNA1B1，垂足為N.(1)求證：CNA1B1；(2)求平面ABC與平面A1B1C所成的銳二面角的正切值.(1)證明因為AA1，BB1分別垂直平面ABC于點A，B，所以平面AA1B1B平面ABC，又M為AB的中點，所以CMAB，于是CM平面A1ABB1，所以CMA1B1.又因為MNA1B1，CMMNM，所以A1B1平面CMN，又CN平面CMN，所以A1B1CN.(2)解方法一如圖，延長AB，A1B1相交于點D，連接CD，則CD為所求二面角的棱.因為BB1AA1，BB1AA1，所以，于是BDBCBA，于是ACD90，即CDCA.又因為CDAA1，CAAA1A，所以CD平面AA1C，所以CDCA1.于是A1CA即為所求二面角的平面角.在RtA1AC中，AA1ABAC，所以A1CA45，所以tanA1CA1.綜上，平面ABC與平面A1B1C所成的銳二面角的正切值為1.方法二如圖，以M為原點，MA為x軸，MC為y軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB2.則C(0，0)，A1(1，0，2)，B1(1，0，1)，(1，2)，(2，0，1)，設(shè)平面A1B1C的法向量為n1(x，y，z).由n10，n10，得取x1，則y，z2，故n1(1，2).設(shè)所求二面角的大小為，又平面ABC的一個法向量為n2(0，0，1).所以cos，所以tan1.思維升華(1)利用定義法計算空間角的三步曲：一作二證三計算.(2)利用向量法求角時，可利用基底法或建立空間直角坐標(biāo)系，要注意兩個向量的夾角和所求角的關(guān)系.跟蹤訓(xùn)練(2018寧波模擬)如圖，四邊形ABCD為梯形，ABCD，C60，點E在線段CD上，滿足BECD，且CEABCD2，現(xiàn)將ADE沿AE翻折到AME位置，使得MC2.(1)證明：AEMB；(2)求直線CM與平面AME所成角的正弦值.(1)證明方法一在梯形ABCD中，連接BD交AE于點N，由條件易得BD4，BC2BD2CD2，故BCBD.又BCAE，AEBD，從而AEBN，AEMN，且BNMNN，AE平面MNB，又MB平面MNB，AEMB.方法二由MEDE6，CE2，MC2，得ME2CE2MC2，故CEME.又CEBE，且MEBEE，CE平面BEM.MB平面BEM，CEMB，又ABCE，ABMB.易得AMAD2，則在RtABM中，MB2，又BE2，ME2MB2BE2，故BEMB.又ABBEB，MB平面ABE，又AE平面ABE，AEMB.(2)解方法一設(shè)直線MC與平面AME所成角為，則sin，其中h為點C到平面AME的距離.AEBC，點C到平面AME的距離即為點B到平面AME的距離.由VMABESABEMBVBAMESAMEh，得h，sin.方法二MB平面ABCE，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則A(0，2，0)，C(2，2，0)，E(2，0，0)，M(0，0，2)，則(0，2，2)，(2，2，0)，(2，2，2).設(shè)平面AME的法向量為m(x，y，z)，由可取m(，1).設(shè)直線CM與平面AME所成角為，則sin|cosm，|.利用空間向量求空間角例(15分)如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是邊長為4的正方形，側(cè)面PCD為正三角形且二面角PCDA的大小為60.(1)設(shè)側(cè)面PAD與側(cè)面PBC的交線為m，求證：mBC；(2)設(shè)直線AB與側(cè)面PBC所成的角為，求sin的值.思維點撥本題主要考查線線平行的證明，線面角的正弦值的求法以及空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等，意在考查考生的空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力，考查的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算.規(guī)范解答(1)證明因為BCAD，BC平面PAD，AD平面PAD，所以BC側(cè)面PAD.又側(cè)面PAD側(cè)面PBCm，所以mBC.5分(2)解方法一取CD的中點M，AB的中點N，連接PM，MN，則PMCD，MNCD.所以PMN是側(cè)面PCD與底面ABCD所成二面角的平面角，從而PMN60.作POMN于點O，則PO底面ABCD.因為CM2，所以PM2，所以O(shè)M，OP3.9分以O(shè)為原點，ON所在直線為x軸，OP所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(4，2，0)，B(4，2，0)，C(，2，0)，P(0，0，3)，(0，4，0)，(4，2，3)，(，2，3).設(shè)n(x，y，z)是平面PBC的法向量，則解得取n(0，3，2).則sin|cosn，|.15分方法二如圖，取CD的中點M，AB的中點N，連接PM，MN，則PMCD，MNCD，所以PMN是側(cè)面PCD與底面ABCD所成二面角的平面角，從而PMN60.作POMN于點O，則PO底面ABCD.因為CM2，所以PM2，所以O(shè)P3.9分作OEAB交BC于點E，連接PE.因為BCPO，BCOE，OPOEO，所以BC平面POE.從而平面POE平面PBC.所以PEO就是直線OE即直線AB與平面PBC所成的角.所以PEO.在RtPOE中，tan，故sin.15分利用向量求空間角的步驟第一步：建立空間直角坐標(biāo)系，確定點的坐標(biāo)；第二步：求向量(直線的方向向量、平面的法向量)坐標(biāo)；第三步：計算向量的夾角(或函數(shù)值)，并轉(zhuǎn)化為所求角.1.若直線l的方向向量為a(1，0，2)，平面的法向量為n(2，1，1)，則()A.lB.lC.l或lD.l與斜交答案C解析a(1，0，2)，n(2，1，1)，an0，即an，l或l.2.如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，則直線BC1與直線AB1所成角的余弦值為()A.B.C.D.答案A解析設(shè)CA2，則C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，0，1)，C1(0，2，0)，B1(0，2，1)，可得向量(2，2，1)，(0，2，1)，由向量的夾角公式得cos，故選A.3.在正方體ABCDA1B1C1D1中，點E為BB1的中點，則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為()A.B.C.D.答案B解析以A為原點，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，設(shè)棱長為1，則A1(0，0，1)，E，D(0，1，0)，(0，1，1)，.設(shè)平面A1ED的一個法向量為n1(1，y，z)，則有即n1(1，2，2).平面ABCD的一個法向量為n2(0，0，1)，cosn1，n2，即所成的銳二面角的余弦值為.4.(2018金華模擬)如圖，平面，l，A，B，A，B到l的距離分別是a和b，AB與，所成的角分別是和，線段AB在，內(nèi)的射影長分別是m和n，若a>b，則()A.>，m>nB.>，m<nC.<，m<nD.<，m>n答案D解析由題意得解得故選D.5.已知正三棱柱ABCA1B1C1，ABAA12，則異面直線AB1與CA1所成角的余弦值為()A.0B.C.D.答案C解析以A為原點，在平面ABC內(nèi)過A作AC的垂線為x軸，以AC所在直線為y軸，以AA1所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0，0，0)，B1(，1，2)，A1(0，0，2)，C(0，2，0)，(，1，2)，(0，2，2)，設(shè)異面直線AB1和A1C所成的角為，則cos.異面直線AB1和A1C所成的角的余弦值為.6.(2018寧波十校高三適應(yīng)性考試)如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點P是棱AB上的動點(P點可以運動到端點A和B)，設(shè)在運動過程中，平面PDB1與平面ADD1A1所成的最小角為，則cos等于()A.B.C.D.答案D解析以點D為坐標(biāo)原點，DA，DC，DD1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1，APa(0a1)，則易得D(0，0，0)，P(1，a，0)，B1(1，1，1)，則(1，a，0)，(1，1，1)，設(shè)平面PDB1的法向量為n(x，y，z)，則令xa，得平面PDB1的一個法向量為n(a，1，a1)，易得平面ADD1A1的一個法向量為m(0，1，0)，由圖易得平面PDB1與平面ADD1A1所成的二面角為銳角，設(shè)其為，則其余弦值為cos，易得當(dāng)二面角取得最小值時，a，此時有cos，故選D.7.在三棱錐PABC中，PA平面ABC，BAC90，D，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC，CP的中點，ABAC1，PA2，則直線PA與平面DEF所成角的正弦值為_.答案解析以A為原點，AB，AC，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由ABAC1，PA2，得A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，P(0，0，2)，D，E，F(xiàn).(0，0，2)，.設(shè)平面DEF的法向量為n(x，y，z)，則由得取z1，則n(2，0，1)，設(shè)直線PA與平面DEF所成的角為，則sin|cosn，|，直線PA與平面DEF所成角的正弦值為.8.如圖，在正方形ABCD中，EFAB，若沿EF將正方形折成一個二面角后，AEEDAD11，則AF與CE所成角的余弦值為_.答案解析AEEDAD11，AEED，即AE，DE，EF兩兩垂直，所以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)ABEFCD2，則E(0，0，0)，A(1，0，0)，F(xiàn)(0，2，0)，C(0，2，1)，(1，2，0)，(0，2，1)，cos，AF與CE所成角的余弦值為.9.如圖所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90，點E，F(xiàn)分別是棱AB，BB1的中點，則直線EF和BC1所成的角是_.答案60解析以B點為坐標(biāo)原點，以BC所在直線為x軸，BA所在直線為y軸，BB1所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)ABBCAA12，則C1(2，0，2)，E(0，1，0)，F(xiàn)(0，0，1)，則(0，1，1)，(2，0，2)，2，cos，異面直線所成角的范圍是(0，90，EF和BC1所成的角為60.10.已知點E，F(xiàn)分別在正方體ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，則平面AEF與平面ABC所成的銳二面角的正切值為_.答案解析方法一延長FE，CB相交于點G，連接AG，如圖所示.設(shè)正方體的棱長為3，則GBBC3，作BHAG于點H，連接EH，則EHB為所求銳二面角的平面角.BH，EB1，tanEHB.方法二如圖，以點D為坐標(biāo)原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，設(shè)DA1，由已知條件得A(1，0，0)，E，F(xiàn)，設(shè)平面AEF的法向量為n(x，y，z)，由得令y1，z3，x1，則n(1，1，3)，取平面ABC的法向量為m(0，0，1)，設(shè)平面AEF與平面ABC所成的銳二面角為，則cos|cosn，m|，tan.11.(2018嘉興基礎(chǔ)測試)如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為菱形，PA平面ABCD，PAAB2，E為CD的中點，ABC60.(1)求證：AE平面PAB；(2)求直線AE與平面PCD所成角的正弦值.(1)證明由題易知ADEABC60，ADCD，E是CD的中點，AECD.又ABCD，AEAB.PA平面ABCD，PAAE，又PAABA，AE平面PAB.(2)解方法一連接PE，過點A作AHPE于點H(圖略).CDEA，CDPA，EAPAA，CD平面PAE，CDAH.又AHPE，CDPEE，CD，PE平面PCD，AH平面PCD.AEP為直線AE與平面PCD所成的角.在RtPAE中，PA2，AE，PE，sinAEP，直線AE與平面PCD所成角的正弦值為.方法二以A為坐標(biāo)原點，AB，AE，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則A(0，0，0)，P(0，0，2)，E(0，0)，C(1，0)，D(1，0)，(0，0)，(1，2)，(2，0，0).設(shè)平面PCD的法向量為n(x，y，z)，則即令y1，則n為平面PCD的一個法向量，設(shè)直線AE與平面PCD所成的角為，則sin|cos，n|.直線AE與平面PCD所成角的正弦值為.12.(2018浙江“七彩陽光”聯(lián)盟聯(lián)考)如圖，四邊形ABCD為正方形，四邊形PDCE為直角梯形，PDCE，PDC90，平面ABCD平面PDCE，且PDAD2EC2.(1)若PE和DC的延長線交于點F，求證：BF平面PAC；(2)若Q為EC邊上的動點，求直線BQ與平面PDB所成角的正弦值的最小值.(1)證明在梯形PDCE中，PD2EC，C為DF的中點，CFCDAB，又ABCF，四邊形ABFC為平行四邊形，BFAC，又AC平面PAC，BF平面PAC，BF平面PAC.(2)解方法一設(shè)點Q在平面PBD上的射影為O，連接OQ，OB(圖略)，則QBO為直線BQ與平面PDB所成的角.ECPD，EC平面PBD，EC平面PBD.四邊形ABCD為正方形，ACBD，又平面ABCD平面PDCE，平面ABCD平面PDCECD，PDDC，PD平面PDCE，PD平面ABCD，PDAC，又BDPDD，AC平面PBD，點C到平面PBD的距離為.EC平面PBD，點Q到平面PBD的距離OQ.令CQk(0k1)，BQ，sinQBO.故直線BQ與平面PDB所成角的正弦值的最小值為.方法二平面ABCD平面PDCE，平面ABCD平面PDCECD，PDDC，PD平面PDCE，PD平面ABCD，PDDA.以D為坐標(biāo)原點，的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，易知A(2，0，0)，C(0，2，0)，B(2，2，0)，平面PDB的一個法向量為(2，2，0)，設(shè)Q(0，2，t)(0t1)，(2，0，t)，記直線BQ與平面PDB所成的角為，sin.故直線BQ與平面PDB所成角的正弦值的最小值為.13.(2019金華模擬)已知點P是正方體ABCDA1B1C1D1表面上一動點，且滿足PA2PB，設(shè)PD1與平面ABCD所成的角為，則的最大值為()A.B.C.D.答案A解析以B為坐標(biāo)原點，BC，BA，BB1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，P(x，y，z)，則A(0，2，0)，因為PA2PB，所以2，即x22z2，所以點P的軌跡為以點Q為球心，為半徑的球與正方體表面的交線，即為如圖的、，要使得PD1與底面ABCD所成的角最大，則PD1與底面ABCD的交點R到點D的距離最短，從而點P在上，且在QD上，則DPDQ2，從而tan的最大值為1，故的最大值為.14.(2018浙江名校聯(lián)盟聯(lián)考)在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC，ABACAA11，已知G和E分別為A1B1和CC1的中點，D與F分別為線段AC和AB上的動點(不包括端點)，若GDEF，則線段DF的長度的取值范圍為_.答案解析如圖，以A為坐標(biāo)原點，的方向分別為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則E，G，令D(0，b，0)，F(xiàn)(a，0，0)，0<a<1，0<b<1，則，0，ab0，即a12b，而0<a<1，0<b<，DF，當(dāng)b時，DF取得最小值，又0<b<，DF<1，故DF的取值范圍是.15.如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，ABAD2，AA1，點P為BDC1內(nèi)一點(不含邊界)，則A1PC1不可能為()A.等腰三角形B.銳角三角形C.直角三角形D.鈍角三角形答案A解析連接AC與BD交于點O，連接A1O，C1O，A1B，A1D，依題意得，ACBD，AA1BD，又ACAA1A，BD平面AA1C1C.BDA1O，BDC1O，故A1OC1為二面角A1BDC1的平面角.易知A1OC1O2，A1C12，由勾股定理的逆定理，知A1OC190，故平面A1BD平面C1BD.連接PO，若A1PC1為直角，即A1PPC1，又A1OPC1，A1PA1OA1，C1P平面POA1，則C1PPO，此時P在BDC1內(nèi)的一段圓弧(該圓弧所在的圓的直徑為C1O)上，符合題意；當(dāng)P在OC1上時，A1PC1為鈍角三角形；當(dāng)P無限接近B或D時，A1PC1為銳角三角形；若A1PC1為等腰三角形，A1C12，BC1，當(dāng)A1C1為等腰三角形A1PC1的一個腰時，C1P，A1P均不可能為2，不符合題意，當(dāng)A1C1為等腰三角形A1PC1的底邊時，點P與A1C1中點的連線必垂直于A1C1，此時，在BDC1內(nèi)部不存在這樣的點P.故選A.16.(2018杭州地區(qū)四校聯(lián)考)如圖，在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，PAAD2，BCCDAB1，ADBC.(1)若M是PD的中點，證明：CM平面PAB.(2)若DAB60，PD上是否存在一點E，使得直線BE與平面PCD所成角的正弦值為？若存在，求出點E在直線PD上的位置；若不存在，請說明理由.(1)證明如圖，取AP的中點F，連接MF，BF.則MFAD，MFAD，又BCAD，BCAD，所以MFBC，MFBC，所以四邊形MFBC是平行四邊形，所以CMBF，又BF平面PAB，CM平面PAB，所以CM平面PAB.(2)解假設(shè)存在滿足條件的點E.方法一如圖，過點B作BH平面PCD，連接EH，則BEH即直線BE與平面PCD所成的角.連接BD，易知SBCD11sin120，VPBCD2.連接AC，易知AC，在PCD中，PC，PD2，CD1，所以PC2CD2PD2，所以PCCD，所以SCPD1.因為VPBCDVBPCD，所以BH，可得BH，由sinBEH，得BE，在PBD中，PB，BD，PD2，所以PB2BD2PD2，所以PBBD，所以cosBPD.又BE2PB2PE22PBPEcosBPE，即25PE22PE，所以PE或，又PD2，所以當(dāng)E是線段PD的中點或是線段PD的靠近點D的四等分點時，直線BE與平面PCD所成角的正弦值為.方法二建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，其中O，G，N分別為AD，BC，PD的中點，則B，D(0，1，0)，P(0，1，2)，C，所以，(0，2，2)，設(shè)(0，2，2)，|.設(shè)平面PCD的法向量為n(x，y，z)，則即令y1，則z1，x，所以n為平面PCD的一個法向量，|n|，設(shè)直線BE與平面PCD所成的角為，則sin|cosn，|，解得或，所以當(dāng)點E是線段PD的中點或是線段PD的靠近點D的四等分點時，直線BE與平面PCD所成角的正弦值為.