（浙江專(zhuān)用）2020版高考數(shù)學(xué)新增分大一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 9.7 拋物線講義（含解析）.docx

9.7拋物線最新考綱考情考向分析1.掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何圖形及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).2.會(huì)解決直線與拋物線的位置關(guān)系的問(wèn)題.拋物線的方程、幾何性質(zhì)或與拋物線相關(guān)的綜合問(wèn)題是命題的熱點(diǎn).題型既有小巧靈活的選擇、填空題，又有綜合性較強(qiáng)的解答題.1.拋物線的概念平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線.2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y22px (p>0)y22px(p>0)x22py(p>0)x22py(p>0)p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離圖形頂點(diǎn)坐標(biāo)O(0，0)對(duì)稱(chēng)軸x軸y軸焦點(diǎn)坐標(biāo)FFFF離心率e1準(zhǔn)線方程xxyy范圍x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR開(kāi)口方向向右向左向上向下概念方法微思考1.若拋物線定義中定點(diǎn)F在定直線l上時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么圖形？提示過(guò)點(diǎn)F且與l垂直的直線.2.直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)是直線與拋物線相切的什么條件？提示直線與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸平行時(shí)，只有一個(gè)交點(diǎn)，但不是相切，所以直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)是直線與拋物線相切的必要不充分條件.題組一思考辨析1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡一定是拋物線.()(2)方程yax2(a0)表示的曲線是焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，且其焦點(diǎn)坐標(biāo)是，準(zhǔn)線方程是x.()(3)拋物線既是中心對(duì)稱(chēng)圖形，又是軸對(duì)稱(chēng)圖形.()(4)AB為拋物線y22px(p>0)的過(guò)焦點(diǎn)F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，y1y2p2，弦長(zhǎng)|AB|x1x2p.()(5)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)與拋物線對(duì)稱(chēng)軸垂直的直線被拋物線截得的線段叫做拋物線的通徑，那么拋物線x22ay(a>0)的通徑長(zhǎng)為2a.()題組二教材改編2.P69例4過(guò)拋物線y24x的焦點(diǎn)的直線l交拋物線于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點(diǎn)，如果x1x26，則|PQ|等于()A.9B.8C.7D.6答案B解析拋物線y24x的焦點(diǎn)為F(1，0)，準(zhǔn)線方程為x1.根據(jù)題意可得，|PQ|PF|QF|x11x21x1x228.3.P73A組T3若拋物線y24x的準(zhǔn)線為l，P是拋物線上任意一點(diǎn)，則P到準(zhǔn)線l的距離與P到直線3x4y70的距離之和的最小值是()A.2B.C.D.3答案A解析由拋物線定義可知點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離，由拋物線y24x及直線方程3x4y70可得直線與拋物線相離.點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離與點(diǎn)P到直線3x4y70的距離之和的最小值為點(diǎn)F(1，0)到直線3x4y70的距離，即2.故選A.4.P72T1已知拋物線的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2，4)，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi).答案y28x或x2y解析設(shè)拋物線方程為y2mx(m0)或x2my(m0).將P(2，4)代入，分別得方程為y28x或x2y.題組三易錯(cuò)自糾5.設(shè)拋物線y28x上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是4，則點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離是()A.4B.6C.8D.12答案B解析如圖所示，拋物線的準(zhǔn)線l的方程為x2，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PAy軸，垂足是A，延長(zhǎng)PA交直線l于點(diǎn)B，則|AB|2.由于點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為4，則點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離|PB|426，所以點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離|PF|PB|6.故選B.6.已知拋物線C與雙曲線x2y21有相同的焦點(diǎn)，且頂點(diǎn)在原點(diǎn)，則拋物線C的方程是()A.y22xB.y22xC.y24xD.y24x答案D解析由已知可知雙曲線的焦點(diǎn)為(，0)，(，0).設(shè)拋物線方程為y22px(p>0)，則，所以p2，所以拋物線方程為y24x.故選D.7.設(shè)拋物線y28x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)Q，若過(guò)點(diǎn)Q的直線l與拋物線有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍是_.答案1，1解析Q(2，0)，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，不滿足題意，故設(shè)直線l的方程為yk(x2)，代入拋物線方程，消去y整理得k2x2(4k28)x4k20，當(dāng)k0時(shí)，符合題意，當(dāng)k0時(shí)，由(4k28)24k24k264(1k2)0，解得1k1且k0，綜上，k的取值范圍是1，1.題型一拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程命題點(diǎn)1定義及應(yīng)用例1設(shè)P是拋物線y24x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若B(3，2)，則|PB|PF|的最小值為_(kāi).答案4解析如圖，過(guò)點(diǎn)B作BQ垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)Q，交拋物線于點(diǎn)P1，則|P1Q|P1F|.則有|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|4，即|PB|PF|的最小值為4.引申探究1.若將本例中的B點(diǎn)坐標(biāo)改為(3，4)，試求|PB|PF|的最小值.解由題意可知點(diǎn)B(3，4)在拋物線的外部.|PB|PF|的最小值即為B，F(xiàn)兩點(diǎn)間的距離，F(xiàn)(1，0)，|PB|PF|BF|2，即|PB|PF|的最小值為2.2.若將本例中的條件改為：已知拋物線方程為y24x，直線l的方程為xy50，在拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為d1，到直線l的距離為d2，求d1d2的最小值.解由題意知，拋物線的焦點(diǎn)為F(1，0).點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離d1|PF|1，所以d1d2d2|PF|1.易知d2|PF|的最小值為點(diǎn)F到直線l的距離，故d2|PF|的最小值為3，所以d1d2的最小值為31.命題點(diǎn)2求標(biāo)準(zhǔn)方程例2設(shè)拋物線C：y22px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，|MF|5，若以MF為直徑的圓過(guò)點(diǎn)(0，2)，則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.y24x或y28xB.y22x或y28xC.y24x或y216xD.y22x或y216x答案C解析由題意知，F(xiàn)，拋物線的準(zhǔn)線方程為x，則由拋物線的定義知，xM5，設(shè)以MF為直徑的圓的圓心為，所以圓的方程為22，又因?yàn)閳A過(guò)點(diǎn)(0，2)，所以yM4，又因?yàn)辄c(diǎn)M在C上，所以162p，解得p2或p8，所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y24x或y216x，故選C.思維升華 (1)與拋物線有關(guān)的最值問(wèn)題，一般情況下都與拋物線的定義有關(guān).“看到準(zhǔn)線想焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)想準(zhǔn)線”，這是解決與過(guò)拋物線焦點(diǎn)的弦有關(guān)問(wèn)題的重要途徑.(2)求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點(diǎn)位置、開(kāi)口方向，在方程的類(lèi)型已經(jīng)確定的前提下，只需一個(gè)條件就可以確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.跟蹤訓(xùn)練1(1)設(shè)P是拋物線y24x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)A(1，1)的距離與點(diǎn)P到直線x1的距離之和的最小值為_(kāi).答案解析如圖，易知拋物線的焦點(diǎn)為F(1，0)，準(zhǔn)線是x1，由拋物線的定義知，點(diǎn)P到直線x1的距離等于點(diǎn)P到F的距離.于是，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在拋物線上求一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)A(1，1)的距離與點(diǎn)P到F(1，0)的距離之和最小，顯然，連接AF與拋物線相交的點(diǎn)即為滿足題意的點(diǎn)，此時(shí)最小值為.(2)如圖所示，過(guò)拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線l于點(diǎn)C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，則此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.y2xB.y29xC.y2xD.y23x答案D解析分別過(guò)點(diǎn)A，B作AA1l，BB1l，且垂足分別為A1，B1，由已知條件|BC|2|BF|，得|BC|2|BB1|，所以BCB130.又|AA1|AF|3，所以|AC|2|AA1|6，所以|CF|AC|AF|633，所以F為線段AC的中點(diǎn).故點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為p|AA1|，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y23x.題型二拋物線的幾何性質(zhì)例3(1)已知拋物線C：y22px(p>0)，過(guò)焦點(diǎn)F且斜率為的直線與C相交于P，Q兩點(diǎn)，且P，Q兩點(diǎn)在準(zhǔn)線上的射影分別為M，N兩點(diǎn)，則SMFN等于()A.p2B.p2C.p2D.p2答案B解析不妨設(shè)P在第一象限，過(guò)Q作QRPM，垂足為R，設(shè)準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為E，直線PQ的斜率為，直線PQ的傾斜角為60.由拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)可得|PQ|PF|QF|p.在RtPRQ中，sinRPQ，|QR|PQ|sinRPQpp，由題意可知|MN|QR|p，SMNF|MN|FE|ppp2.故選B.(2)過(guò)點(diǎn)P(2，0)的直線與拋物線C：y24x相交于A，B兩點(diǎn)，且|PA|AB|，則點(diǎn)A到拋物線C的焦點(diǎn)的距離為()A.B.C.D.2答案A解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，分別過(guò)點(diǎn)A，B作直線x2的垂線，垂足分別為點(diǎn)D，E.|PA|AB|，又得x1，則點(diǎn)A到拋物線C的焦點(diǎn)的距離為1.思維升華在解決與拋物線的性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，要注意利用幾何圖形的形象、直觀的特點(diǎn)來(lái)解題，特別是涉及焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、準(zhǔn)線的問(wèn)題更是如此.跟蹤訓(xùn)練2(1)已知直線l過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)，且與C的對(duì)稱(chēng)軸垂直，l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|12，P為C的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，則ABP的面積為()A.18B.24C.36D.48答案C解析以拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，水平方向?yàn)閤軸，豎直方向?yàn)閥軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為y22px(p>0)，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為，將x代入y22px，可得y2p2，|AB|12，即2p12，所以p6.因?yàn)辄c(diǎn)P在準(zhǔn)線上，所以點(diǎn)P到AB的距離為p6，所以PAB的面積為61236.(2)(2015浙江)如圖，設(shè)拋物線y24x的焦點(diǎn)為F，不經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)的直線上有三個(gè)不同的點(diǎn)A，B，C，其中點(diǎn)A，B在拋物線上，點(diǎn)C在y軸上，則BCF與ACF的面積之比是()A.B.C.D.答案A解析由圖形可知，BCF與ACF有公共的頂點(diǎn)F，且A，B，C三點(diǎn)共線，則BCF與ACF的面積之比就等于.由拋物線方程知焦點(diǎn)F(1，0)，作準(zhǔn)線l，則l的方程為x1.點(diǎn)A，B在拋物線上，過(guò)A，B分別作AK，BH與準(zhǔn)線垂直，垂足分別為點(diǎn)K，H，且與y軸分別交于點(diǎn)N，M.由拋物線定義，得|BM|BF|1，|AN|AF|1.在CAN中，BMAN，.題型三直線與拋物線例4設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在y軸正半軸上，過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，線段AB的長(zhǎng)是8，AB的中點(diǎn)到x軸的距離是3.(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線m在y軸上的截距為6，且與拋物線交于P，Q兩點(diǎn).連接QF并延長(zhǎng)交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)R，當(dāng)直線PR恰與拋物線相切時(shí)，求直線m的方程.解(1)設(shè)拋物線的方程是x22py(p>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由拋物線定義可知y1y2p8，又AB的中點(diǎn)到x軸的距離為3，y1y26，p2，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是x24y.(2)由題意知，直線m的斜率存在，設(shè)直線m：ykx6(k0)，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，由消去y得x24kx240，(*)易知拋物線在點(diǎn)P處的切線方程為y(xx3)，令y1，得x，R，又Q，F(xiàn)，R三點(diǎn)共線，kQFkFR，又F(0，1)，即(x4)(x4)16x3x40，整理得(x3x4)24(x3x4)22x3x41616x3x40，將(*)式代入上式得k2，k，直線m的方程為yx6.思維升華 (1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類(lèi)似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系.(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問(wèn)題，要注意直線是否過(guò)拋物線的焦點(diǎn).若過(guò)拋物線的焦點(diǎn)(設(shè)焦點(diǎn)在x軸的正半軸上)，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不過(guò)焦點(diǎn)，則必須用一般弦長(zhǎng)公式.(3)涉及拋物線的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問(wèn)題時(shí)，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”、“整體代入”等解法.提醒：涉及弦的中點(diǎn)、斜率時(shí)一般用“點(diǎn)差法”求解.(4)設(shè)AB是過(guò)拋物線y22px(p>0)焦點(diǎn)F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，y1y2p2.弦長(zhǎng)|AB|x1x2p(為弦AB的傾斜角).以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切.通徑：過(guò)焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱(chēng)軸的弦，長(zhǎng)等于2p，通徑是過(guò)焦點(diǎn)最短的弦.跟蹤訓(xùn)練3已知拋物線C：x22py(p>0)和定點(diǎn)M(0，1)，設(shè)過(guò)點(diǎn)M的動(dòng)直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，拋物線C在A，B處的切線交點(diǎn)為N.(1)若N在以AB為直徑的圓上，求p的值；(2)若ABN面積的最小值為4，求拋物線C的方程.解(1)可設(shè)AB：ykx1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，將AB的方程代入拋物線C，得x22pkx2p0，4p2k28p>0，顯然方程有兩不等實(shí)根，則x1x22pk，x1x22p.由x22py得y，則A，B處的切線斜率乘積為1，則有p2.(2)設(shè)切線AN為yxb，又切點(diǎn)A在拋物線y上，y1，b，yANx.同理yBNx.又N在yAN和yBN上，解得N.N(pk，1).|AB|x2x1|，點(diǎn)N到直線AB的距離d，SABN|AB|d2，24，p2，故拋物線C的方程為x24y.直線與圓錐曲線問(wèn)題的求解策略例(15分)已知拋物線C：ymx2(m>0)，焦點(diǎn)為F，直線2xy20交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，P是線段AB的中點(diǎn)，過(guò)P作x軸的垂線交拋物線C于點(diǎn)Q.(1)求拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若拋物線C上有一點(diǎn)R(xR，2)到焦點(diǎn)F的距離為3，求此時(shí)m的值；(3)是否存在實(shí)數(shù)m，使ABQ是以Q為直角頂點(diǎn)的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.規(guī)范解答解(1)拋物線C：x2y，它的焦點(diǎn)為F.2分(2)|RF|yR，23，得m.4分(3)存在，聯(lián)立方程消去y得mx22x20(m>0)，依題意，有(2)24m(2)8m4>0恒成立，方程必有兩個(gè)不等實(shí)根.7分設(shè)A(x1，mx)，B(x2，mx)，則(*)P是線段AB的中點(diǎn)，P，即P，Q，10分得，.若存在實(shí)數(shù)m，使ABQ是以Q為直角頂點(diǎn)的直角三角形，則0，即0，13分結(jié)合(*)式化簡(jiǎn)得40，即2m23m20，m2或m，m>0，m2.存在實(shí)數(shù)m2，使ABQ是以Q為直角頂點(diǎn)的直角三角形.15分解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的一般步驟第一步：聯(lián)立方程，得關(guān)于x或y的一元二次方程；第二步：寫(xiě)出根與系數(shù)的關(guān)系，并求出>0時(shí)參數(shù)范圍(或指出直線過(guò)曲線內(nèi)一點(diǎn))；第三步：根據(jù)題目要求列出關(guān)于x1x2，x1x2(或y1y2，y1y2)的關(guān)系式，求得結(jié)果；第四步：反思回顧，查看有無(wú)忽略特殊情況.1.(2018浙江省名校聯(lián)考)拋物線yx2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A.(2，0) B.(0，2)C.D.答案B解析拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x28y，則其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，2)，故選B.2.已知拋物線C：y24x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)Al，線段AF交拋物線C于點(diǎn)B，若3，則|等于()A.3B.4C.6D.7答案B解析由已知B為AF的三等分點(diǎn)，作BHl于H，如圖，則|BH|FK|，|，|3|4，故選B.3.拋物線x24y的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F作斜率為的直線l與拋物線在y軸右側(cè)的部分相交于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為H，則AHF的面積是()A.4B.3C.4D.8答案C解析由拋物線的定義可得|AF|AH|，AF的斜率為，AF的傾斜角為30，AH垂直于準(zhǔn)線，F(xiàn)AH60，故AHF為等邊三角形.設(shè)A，m>0，過(guò)F作FMAH于M，則在FAM中，|AM|AF|，1，解得m2，故等邊三角形AHF的邊長(zhǎng)|AH|4，AHF的面積是44sin604.故選C.4.拋物線C：y22px(p>0)的焦點(diǎn)為F，M是拋物線C上的點(diǎn)，若OFM的外接圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，且該圓的面積為36，則p等于()A.2B.4C.6D.8答案D解析OFM的外接圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，OFM的外接圓的圓心到準(zhǔn)線的距離等于圓的半徑.圓的面積為36，圓的半徑為6.又圓心在OF的垂直平分線上，|OF|，6，p8.故選D.5.過(guò)拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)F且傾斜角為120的直線l與拋物線在第一、四象限分別交于A，B兩點(diǎn)，則的值等于()A.B.C.D.答案A解析記拋物線y22px的準(zhǔn)線為l，如圖，作AA1l，BB1l，ACBB1，垂足分別是A1，B1，C，則cosABB1，即cos60，由此得.6.(2018浙江省杭州市四校聯(lián)考)直線l交拋物線y24x于A，B兩點(diǎn)，C(1，2)，若拋物線的焦點(diǎn)F恰好為ABC的重心，則直線AB的方程是()A.2xy30B.2xy50C.2xy50或2xy30D.2xy30答案D解析方法一由題意知，拋物線的焦點(diǎn)F(1，0).設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x24，y1y22，線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2，1).設(shè)直線AB的方程為t(y1)x2，與拋物線方程聯(lián)立，消去x并整理得y24ty4(t2)0，所以y1y24t2，t，則直線AB的方程為(y1)x2，即2xy30，故選D.方法二由題意知，拋物線的焦點(diǎn)F(1，0).設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x24，y1y22，線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2，1)，所以x1x2.又A，B在拋物線上，所以y4x1，y4x2，kAB2，則直線AB的方程為y12(x2)，即2xy30，故選D.7.動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A(0，2)的距離比它到直線l：y4的距離小2，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為_(kāi).答案x28y解析動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A(0，2)的距離比它到直線l：y4的距離小2，動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A(0，2)的距離與它到直線y2的距離相等.根據(jù)拋物線的定義可得點(diǎn)P的軌跡為以A(0，2)為焦點(diǎn)，以直線y2為準(zhǔn)線的拋物線，其標(biāo)準(zhǔn)方程為x28y.8.(2018浙江省名校協(xié)作體聯(lián)考)已知F是拋物線C：y24x的焦點(diǎn)，M是拋物線C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N.若，則|FN|_.答案5解析如圖，過(guò)點(diǎn)M，N分別向拋物線y24x的準(zhǔn)線x1作垂線段MA，NB，其中MA交y軸于點(diǎn)C，因?yàn)閽佄锞€y24x的焦點(diǎn)為F(1，0)，所以|OF|1，因?yàn)?，所以|MC|OF|，所以|MA|，由拋物線的定義可得|MF|，所以|MN|，所以|FN|5.9.(2018湖州模擬)過(guò)拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)F且斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，|AF|FB|8，則p_.答案2解析方法一由題意知，直線方程為yx，得xy代入拋物線方程，得y22p，即y22pyp20.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y2p2，|AF|FB|y1|y2|2|y1y2|2p28，得p2.方法二由題意可知，得|FA|FB|FA|FB|，即|AB|，得p2.10.如圖，已知拋物線C：x22y，F(xiàn)是其焦點(diǎn)，AB是拋物線C上的一條弦.若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，2)，點(diǎn)B在第一象限上，且|BF|2|AF|，則直線AB的斜率為_(kāi)，ABF的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi).答案22解析因?yàn)閨BF|2|AF|，所以yB22，解得yB，代入拋物線的方程得點(diǎn)B的坐標(biāo)為，則直線AB的斜率kAB，直線AF的斜率kAF，直線BF的斜率kBF，則kAFkBF1，直線AF與直線BF相互垂直，即ABF為直角三角形，則ABF的外接圓的圓心為，即，半徑為，所以外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為22.11.(2018浙江七彩陽(yáng)光聯(lián)盟聯(lián)考)已知F是拋物線C：x24y的焦點(diǎn)，點(diǎn)P是不在拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P向拋物線C作兩條切線l1，l2，切點(diǎn)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2).(1)如果點(diǎn)P在直線y1上，求的值；(2)若點(diǎn)P在以F為圓心，半徑為4的圓上，求|AF|BF|的值.解(1)因?yàn)閽佄锞€C的方程為y，所以y，所以切線PA的方程為yy1(xx1)，即xyy10，同理切線PB的方程為xyy20，設(shè)P(x0，y0)，則由得x1x02y12y00及x2x02y22y00，所以直線AB的方程為x0x2y2y00.由于點(diǎn)P是直線y1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所以y01，即直線AB的方程為x0x2y20，因此它過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F(0，1).當(dāng)x00時(shí)，AB的方程為y1，此時(shí)|AF|BF|2，所以1；當(dāng)x00時(shí)，把直線AB的方程代入拋物線C的方程，得y2(x2)y10，從而有y1y21，y1y2x2，所以1.綜上可知，1.(2)由(1)知，切線PA的方程為yx，切線PB的方程為yx，聯(lián)立得點(diǎn)P.設(shè)直線AB的方程為ykxm，代入拋物線C：x24y，得x24kx4m0，則x1x24k，x1x24m，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2k，m)，所以|PF|4，即(m1)2164k2，從而|AF|BF|(y11)(y21)(kx1m1)(kx2m1)k2x1x2k(m1)(x1x2)(m1)24mk24k2(m1)164k216.12.如圖，過(guò)拋物線M：yx2上一點(diǎn)A(點(diǎn)A不與原點(diǎn)O重合)作拋物線M的切線AB交y軸于點(diǎn)B，點(diǎn)C是拋物線M上異于點(diǎn)A的點(diǎn)，設(shè)G為ABC的重心(三條中線的交點(diǎn))，直線CG交y軸于點(diǎn)D.(1)設(shè)A(x0，x)(x00)，求直線AB的方程；(2)求的值.解(1)因?yàn)閥2x，所以直線AB的斜率k2x0，所以直線AB的方程為yx2x0(xx0)，即y2x0xx.(2)由題意及(1)得，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)yBx，所以AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為.設(shè)C(x1，y1)，G(x2，y2)，直線CG的方程為xmyx0.由得m2y2(mx01)yx0.因?yàn)镚為ABC的重心，所以y13y2.由根與系數(shù)的關(guān)系，得y1y24y2，y1y23y.所以，解得mx032.所以點(diǎn)D的縱坐標(biāo)yD，故46.13.如圖所示，過(guò)拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線l于點(diǎn)C，若F是AC的中點(diǎn)，且|AF|4，則線段AB的長(zhǎng)為()A.5B.6C.D.答案C解析方法一如圖所示，設(shè)l與x軸交于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)A作ADl，交l于點(diǎn)D，由拋物線的定義知，|AD|AF|4，由F是AC的中點(diǎn)，知|AF|2|MF|2p，所以2p4，解得p2，所以拋物線的方程為y24x.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AF|x1x114，所以x13，解得y12，所以A(3，2)，又F(1，0)，所以直線AF的斜率k，所以直線AF的方程為y(x1)，代入拋物線方程y24x，得3x210x30，所以x1x2，|AB|x1x2p.故選C.方法二如圖所示，設(shè)l與x軸交于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)A作ADl，交l于點(diǎn)D，由拋物線的定義知，|AD|AF|4，由F是AC的中點(diǎn)，知|AF|2|MF|2p，所以2p4，解得p2，所以拋物線的方程為y24x.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AF|x1x114，所以x13，又x1x21，所以x2，所以|AB|x1x2p.故選C.方法三如圖所示，設(shè)l與x軸交于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)A作ADl，交l于點(diǎn)D，由拋物線的定義知，|AD|AF|4，由F是AC的中點(diǎn)，知|AF|2|MF|2p，所以2p4，解得p2，所以拋物線的方程為y24x.因?yàn)椋瑋AF|4，所以|BF|，所以|AB|AF|BF|4.故選C.14.如圖所示，拋物線yx2，AB為過(guò)焦點(diǎn)F的弦，過(guò)A，B分別作拋物線的切線，兩切線交于點(diǎn)M，設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，M(xM，yM)，則若AB的斜率為1，則|AB|4；|AB|min2；yM1；若AB的斜率為1，則xM1；xAxB4.以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()A.1B.2C.3D.4答案B解析由題意得，焦點(diǎn)F(0，1)，對(duì)于，lAB的方程為yx1，與拋物線的方程聯(lián)立，得消去x，得y26y10，所以yAyB6，則|AB|yAyBp8，則錯(cuò)誤；對(duì)于，|AB|min2p4，則錯(cuò)誤；因?yàn)閥，則lAM：yyA(xxA)，即yxAx，lBM：yyB(xxB)，即yxBx，聯(lián)立lAM與lBM的方程得解得M.設(shè)lAB的方程為ykx1，與拋物線的方程聯(lián)立，得消去y，得x24kx40，所以xAxB4k，xAxB4，所以yM1，和均正確；對(duì)于，當(dāng)AB的斜率為1時(shí)，xM2，則錯(cuò)誤，故選B.15.(2019浙江省鎮(zhèn)海中學(xué)模擬)已知拋物線y24x，焦點(diǎn)記為F，過(guò)點(diǎn)F作直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，則|AF|的最小值為_(kāi).答案22解析當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為yk(x1)(k0)，代入y24x可得k2x2(2k24)xk20，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x21.由拋物線的定義可得|AF|x11，|BF|x21，所以|AF|x11.令x21t(t>0)，則x2t1，所以|AF|22(當(dāng)且僅當(dāng)t時(shí)等號(hào)成立)；當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，易得|AF|1.綜上，|AF|的最小值為22.16.設(shè)直線l與拋物線y24x相交于A，B兩點(diǎn)，與圓(x5)2y2r2(r>0)相切于點(diǎn)M，且M為線段AB的中點(diǎn).若這樣的直線l恰有4條，求r的取值范圍.解如圖，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，則兩式相減得，(y1y2)(y1y2)4(x1x2).當(dāng)l的斜率k不存在時(shí)，符合條件的直線l必有兩條.當(dāng)k存在時(shí)，x1x2，則有2，又y1y22y0，所以y0k2.由CMAB，得k1，即y0k5x0，因此25x0，x03，即M必在直線x3上.將x3代入y24x，得y212，則有2<y0<2，因?yàn)辄c(diǎn)M在圓上，所以(x05)2yr2，故r2y4<12416.又y4>4(為保證有4條，在k存在時(shí)，y00)，所以4<r2<16，即2<r<4.