（浙江專(zhuān)用）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 解析幾何 考點(diǎn)規(guī)范練46 橢圓.docx

考點(diǎn)規(guī)范練46橢圓基礎(chǔ)鞏固組1.(2017浙江高考)橢圓x29+y24=1的離心率是()A.133B.53C.23D.59答案B解析e=9-43=53,故選B.2.設(shè)F1,F2分別是橢圓x225+y216=1的左、右焦點(diǎn),P為橢圓上一點(diǎn),M是F1P的中點(diǎn),|OM|=3,則點(diǎn)P到橢圓左焦點(diǎn)的距離為()A.4B.3C.2D.5答案A解析由題意知|OM|=12|PF2|=3,所以|PF2|=6,|PF1|=2a-|PF2|=10-6=4.3.已知橢圓mx2+4y2=1的離心率為22,則實(shí)數(shù)m等于()A.2B.2或83C.2或6D.2或8答案D解析顯然m>0,且m4,當(dāng)0<m<4時(shí),橢圓長(zhǎng)軸在x軸上,則1m-141m=22,解得m=2;當(dāng)m>4時(shí),橢圓長(zhǎng)軸在y軸上,則14-1m14=22,解得m=8.4.設(shè)F1,F2分別是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P在橢圓C上,線段PF1的中點(diǎn)在y軸上,若PF1F2=30,則橢圓的離心率為()A.33B.36C.13D.16答案A解析設(shè)PF1的中點(diǎn)為M,連接PF2.因?yàn)镺為F1F2的中點(diǎn),所以O(shè)M為PF2的中位線.所以O(shè)MPF2,所以PF2F1=MOF1=90.因?yàn)镻F1F2=30,所以|PF1|=2|PF2|.由勾股定理得|F1F2|=|PF1|2-|PF2|2=3|PF2|,由橢圓定義得2a=|PF1|+|PF2|=3|PF2|a=3|PF2|2,2c=|F1F2|=3|PF2|c=3|PF2|2,則e=ca=3|PF2|223|PF2|=33.故選A.5.(2018浙江衢州二調(diào))設(shè)橢圓x216+y212=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)P在橢圓上,且滿(mǎn)足PF1PF2=9,則|PF1|PF2|的值為()A.8B.10C.12D.15答案D解析由橢圓方程x216+y212=1,可得c2=4,所以|F1F2|=2c=4.因?yàn)镕1F2=PF2-PF1,所以|F1F2|=|PF2-PF1|,兩邊同時(shí)平方,得|F1F2|2=|PF1|2-2PF1PF2+|PF2|2,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2+2PF1PF2=16+18=34,根據(jù)橢圓的定義,得|PF1|+|PF2|=2a=8,(|PF1|+|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|PF2|=64,所以34+2|PF1|PF2|=64.所以|PF1|PF2|=15.故選D.6.如圖,OFB=6,ABF的面積為2-3,則以O(shè)A為長(zhǎng)半軸,OB為短半軸,F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓方程為.答案x28+y22=1解析設(shè)所求橢圓方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),由題意可知,|OF|=c,|OB|=b,|BF|=a.OFB=6,bc=33,a=2b.SABF=12|AF|BO|=12(a-c)b=12(2b-3b)b=2-3,解得b2=2,則a=2b=22.所求橢圓的方程為x28+y22=1.7.(2018浙江重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)已知橢圓C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)與橢圓C2:y2a2+x2b2=1(a>b>0)相交于A,B,C,D四點(diǎn),若橢圓C1的一個(gè)焦點(diǎn)為F(-2,0),且四邊形ABCD的面積為163,則橢圓C1的離心率e為.答案22解析聯(lián)立x2a2+y2b2=1,y2a2+x2b2=1,兩式相減得x2-y2a2=x2-y2b2,因?yàn)閍b,所以x2=y2=a2b2a2+b2.所以四邊形ABCD為正方形,4a2b2a2+b2=163,(*)又由題意知a2=b2+2,將其代入(*)式整理得3b4-2b2-8=0,所以b2=2,則a2=4.所以橢圓C的離心率e=22.8.設(shè)P為橢圓x24+y23=1上一點(diǎn),F為橢圓的右焦點(diǎn),A(2,2),則|PA|-|PF|的最小值為.答案13-4解析設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F(-1,0),則|PA|-|PF|=|PA|-(2a-|PF|)=|PA|+|PF|-2a|AF|-2a=13-4,當(dāng)且僅當(dāng)A,P,F三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立,且P在A,F之間時(shí)達(dá)到,故|PA|-|PF|的最小值為13-4.能力提升組9.過(guò)橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)左焦點(diǎn)F,且斜率為1的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),向量OA+OB與向量a=(3,-1)共線,則該橢圓的離心率為()A.33B.63C.34D.23答案B解析設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F(-c,0),A(x1,y1),B(x2,y2),則OA+OB=(x1+x2,y1+y2),直線AB的方程為y=x+c,代入橢圓方程并整理得(a2+b2)x2+2a2cx+a2c2-a2b2=0.由韋達(dá)定理得x1+x2=-2a2ca2+b2,所以y1+y2=x1+x2+2c=2b2ca2+b2.根據(jù)OA+OB與a=(3,-1)共線,得x1+x2+3(y1+y2)=0,即-2a2ca2+b2+32b2ca2+b2=0,解得b2a2=13,所以e=1-b2a2=63,故選B.10.已知F1,F2是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),以F1F2為直徑的圓與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為P,過(guò)點(diǎn)P向x軸作垂線,垂足為H,若|PH|=a2,則此橢圓的離心率為()A.5-12B.32C.17-14D.22-2答案C解析F1,F2是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),以F1F2為直徑的圓與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為P,過(guò)點(diǎn)P向x軸作垂線,垂足為H,|PH|=a2,x2a2+a24b2=1,解得x2=4a2b2-a44b2,c2=4a2b2-a44b2+a2b24b2=5a2b2-a44b2,4c2(a2-c2)=5a2(a2-c2)-a4,4a2c2-4c4=4a4-5a2c2,4e2-4e4=4-5e2,4e4-9e2+4=0,0<e<1,e2=9-178,e=17-14.故選C.11.(2017課標(biāo)高考)設(shè)A,B是橢圓C:x23+y2m=1長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn).若C上存在點(diǎn)M滿(mǎn)足AMB=120,則m的取值范圍是()A.(0,19,+)B.(0,39,+)C.(0,14,+)D.(0,34,+)答案A解析由題意,可知當(dāng)點(diǎn)M為短軸的端點(diǎn)時(shí),AMB最大.當(dāng)0<m<3時(shí),橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上,要使橢圓C上存在點(diǎn)M滿(mǎn)足AMB=120,則abtan60=3,即3m3,解得0<m1;當(dāng)m>3時(shí),橢圓C的焦點(diǎn)在y軸上,要使橢圓C上存在點(diǎn)M滿(mǎn)足AMB=120,則abtan60=3,即m33,解得m9,綜上m的取值范圍為(0,19,+),故選A.12.已知直線l:y=kx+2過(guò)橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上頂點(diǎn)B和左焦點(diǎn)F,且被圓x2+y2=4截得的弦長(zhǎng)為L(zhǎng),若L455,則橢圓離心率e的取值范圍是()A.0,55B.0,255C.0,355D.0,455答案B解析依題意,知b=2,kc=2.設(shè)圓心到直線l的距離為d,則L=24-d2455,解得d2165.又因?yàn)閐=21+k2,所以11+k245,解得k214.于是e2=c2a2=c2b2+c2=11+k2,所以0<e245,解得0<e255.故選B.13.(2018浙江杭二中模擬)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F2,O為坐標(biāo)原點(diǎn),M為y軸上一點(diǎn),A是直線MF2與橢圓C的一個(gè)交點(diǎn),且|OA|=|OF2|=2|OM|,則橢圓C的離心率為()A.13B.25C.55D.53答案D解析(方法一)|OA|=|OF2|=2|OM|,點(diǎn)M在橢圓C的短軸上.設(shè)橢圓C的左焦點(diǎn)為F1,連接AF1,|OA|=|OF2|,|OA|=12|F1F2|.AF1AF2,從而AF1F2OMF2,|AF1|AF2|=|OM|OF2|=12.又|AF1|2+|AF2|2=(2c)2,|AF1|=255c,|AF2|=455c.又|AF1|+|AF2|=2a,655c=2a,即ca=53.故選D.(方法二)|OA|=|OF2|=2|OM|,點(diǎn)M在橢圓C的短軸上.在RtMOF2中,tanMF2O=|OM|OF2|=12,設(shè)橢圓C的左焦點(diǎn)為F1,連接AF1,|OA|=|OF2|,|OA|=12|F1F2|.AF1AF2.tanAF2F1=|AF1|AF2|=12.設(shè)|AF1|=x(x>0),則|AF2|=2x,|F1F2|=5x.e=2c2a=|F1F2|AF1|+|AF2|=5xx+2x=53.故選D.14.已知橢圓C:x2a2+y22=1(a>2)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,離心率為e,直線l:y=ex+a,P為點(diǎn)F1關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)的點(diǎn),若PF1F2為等腰三角形,則a的值為.答案3解析由題意可得c=a2-2,e=a2-2a,F1(-c,0)到直線l的距離為d=|a-ec|1+e2,由題意可得|PF1|=|F1F2|,即為2d=2c,即有a-a2-2a21+a2-2a2=a2-2,化簡(jiǎn)可得a4-3a2=0,解得a=3.15.(2018浙江衢州二中二模)已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)短軸的端點(diǎn)為P(0,b),Q(0,-b),長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)為M,AB為經(jīng)過(guò)橢圓中心且不在坐標(biāo)軸上的一條弦,若PA,PB的斜率之積等于-14,則點(diǎn)P到直線QM的距離為.答案455b解析設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0,y0),則B點(diǎn)的坐標(biāo)為(-x0,-y0),根據(jù)題意可知y0-bx0-y0-b-x0=-14,即y02-b2x02=-14,因?yàn)閤02a2+y02b2=1,所以y02-b2x02=-b2a2.故-b2a2=-14,則ba=12,不妨取點(diǎn)M(a,0),則直線QM的方程為bx-ay-ab=0.故點(diǎn)P到直線QM的距離為d=|2ab|a2+b2=2b1+ba2=455b.16.已知F1(-c,0),F2(c,0)為橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn),P為橢圓上一點(diǎn),且PF1PF2=c2,則此橢圓離心率的取值范圍是.答案33,22解析設(shè)P(x,y),則PF1PF2=(-c-x,-y)(c-x,-y)=x2-c2+y2=c2,將y2=b2-b2a2x2代入式解得x2=(2c2-b2)a2c2=(3c2-a2)a2c2,又x20,a2,2c2a23c2,e=ca33,22.17.已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,離心率為32,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(4,1),直線l:y=x+m交橢圓于不同的兩點(diǎn)A,B.(1)求橢圓的方程;(2)求m的取值范圍;(3)若直線l不過(guò)點(diǎn)M,求證:直線MA,MB的斜率互為相反數(shù).(1)解設(shè)橢圓的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),因?yàn)閑=32,所以a2=4b2,又因?yàn)镸(4,1)在橢圓上,所以16a2+1b2=1,解得b2=5,a2=20,故橢圓方程為x220+y25=1.(2)解將y=x+m代入x220+y25=1并整理得5x2+8mx+4m2-20=0,=(8m)2-20(4m2-20)>0,解得-5<m<5.(3)證明設(shè)直線MA,MB的斜率分別為k1和k2,只要證明k1+k2=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-8m5,x1x2=4m2-205.k1+k2=y1-1x1-4+y2-1x2-4=(y1-1)(x2-4)+(y2-1)(x1-4)(x1-4)(x2-4),分子=(x1+m-1)(x2-4)+(x2+m-1)(x1-4)=2x1x2+(m-5)(x1+x2)-8(m-1)=2(4m2-20)5-8m(m-5)5-8(m-1)=0,所以直線MA,MB的斜率互為相反數(shù).18.過(guò)橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左頂點(diǎn)A作斜率為2的直線,與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為B,與y軸的交點(diǎn)為C,已知AB=613BC.(1)求橢圓的離心率;(2)設(shè)動(dòng)直線y=kx+m與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P,且與直線x=4相交于點(diǎn)Q,若x軸上存在一定點(diǎn)M(1,0),使得PMQM,求橢圓的方程.解(1)A(-a,0),設(shè)直線方程為y=2(x+a),B(x1,y1).令x=0,則y=2a,C(0,2a),AB=(x1+a,y1),BC=(-x1,2a-y1).AB=613BC,x1+a=613(-x1),y1=613(2a-y1),整理,得x1=-1319a,y1=1219a.B點(diǎn)在橢圓上,13192+12192a2b2=1,b2a2=34,a2-c2a2=34,即1-e2=34,e=12.(2)b2a2=34,可設(shè)b2=3t,a2=4t,橢圓的方程為3x2+4y2-12t=0.由3x2+4y2-12t=0,y=kx+m,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12t=0.動(dòng)直線y=kx+m與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P,=0,即64k2m2-4(3+4m2)(4m2-12t)=0,整理得m2=3t+4k2t.設(shè)P(x1,y1),則有x1=-8km2(3+4k2)=-4km3+4k2,y1=kx1+m=3m3+4k2,P-4km3+4k2,3m3+4k2.又M(1,0),Q(4,4k+m),若x軸上存在一定點(diǎn)M(1,0),使得PMQM,1+4km3+4k2,-3m3+4k2(-3,-(4k+m)=0恒成立.整理,得3+4k2=m2,3+4k2=3t+4k2t恒成立.故t=1,所求橢圓方程為x24+y23=1.