（浙江專用）2020版高考數學新增分大一輪復習 第五章 三角函數、解三角形 5.5 函數y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及應用講義（含解析）.docx

5.5函數yAsin(x)的圖象及應用最新考綱考情考向分析了解函數yAsin(x)的實際意義，掌握yAsin(x)的圖象，了解參數A，對函數圖象變化的影響.以考查函數yAsin(x)的圖象的五點法畫圖、圖象之間的平移伸縮變換以及由圖象求函數解析式為主，常與三角函數的性質、三角恒等變換結合起來進行綜合考查，加強數形結合思想的應用意識題型為選擇題和填空題，中檔難度.1yAsin(x)的有關概念yAsin(x)(A>0，>0)，x0振幅周期頻率相位初相ATfx2.用五點法畫yAsin(x)(A>0，>0，xR)一個周期內的簡圖時，要找五個特征點如下表所示：xx02yAsin(x)0A0A03.函數ysinx的圖象經變換得到y(tǒng)Asin(x)(A>0，>0)的圖象的兩種途徑概念方法微思考1怎樣從ysinx的圖象變換得到y(tǒng)sin(x)(>0，>0)的圖象？提示向左平移個單位長度2函數ysin(x)圖象的對稱軸是什么？提示x(kZ)題組一思考辨析1判斷下列結論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)ysin的圖象是由ysin的圖象向右平移個單位長度得到的()(2)將函數ysinx的圖象向右平移(>0)個單位長度，得到函數ysin(x)的圖象()(3)函數yAcos(x)的最小正周期為T，那么函數圖象的兩個相鄰對稱中心之間的距離為.()(4)函數ysinx的圖象上各點縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的，所得圖象對應的函數解析式為ysinx.()題組二教材改編2P55T2為了得到函數y2sin的圖象，可以將函數y2sin2x的圖象向_平移_個單位長度答案右3P56T3y2sin的振幅、頻率和初相分別為_答案2，題組三易錯自糾4(2018嘉興第一中學期中考試)為了得到函數ysin的圖象，可以將函數ycos2x的圖象()A向右平移個單位長度B向右平移個單位長度C向左平移個單位長度D向左平移個單位長度答案A解析ysincoscoscos，故把函數ycos2x的圖象向右平移個單位長度得到函數ysin的圖象5將函數y2sin的圖象向右平移個周期后，所得圖象對應的函數為_答案y2sin解析函數y2sin的周期為，將函數y2sin的圖象向右平移個周期，即個單位長度，所得函數為y2sin2sin.6ycos(x1)圖象上相鄰的最高點和最低點之間的距離是_答案解析相鄰最高點與最低點的縱坐標之差為2，橫坐標之差恰為半個周期，故它們之間的距離為.7.若函數f(x)Asin(x)(A>0，>0，0<<)的部分圖象如圖所示，則f的值為_答案解析由題干圖象可知A2，T，T，2，當x時，函數f(x)取得最大值，22k(kZ)，2k(kZ)，又0<<，f(x)2sin，則f2sin2cos.題型一函數yAsin(x)的圖象及變換例1已知函數f(x)Asin(x)的最小正周期是，且當x時，f(x)取得最大值2.(1)求f(x)的解析式；(2)作出f(x)在0，上的圖象(要列表)解(1)因為函數f(x)的最小正周期是，所以2.又因為當x時，f(x)取得最大值2.所以A2，同時22k，kZ，2k，kZ，因為<<，所以，所以函數yf(x)的解析式為f(x)2sin.(2)因為x0，所以2x，列表如下：2x2x0f(x)120201描點、連線得圖象：引申探究在本例條件下，若將函數f(x)的圖象向右平移m(m>0)個單位長度后得到函數yg(x)的圖象，且yg(x)是偶函數，求m的最小值解由已知得yg(x)f(xm)2sin2sin是偶函數，所以2m(2k1)，kZ，m，kZ，又因為m>0，所以m的最小值為.思維升華 (1)yAsin(x)的圖象可用“五點法”作簡圖得到，可通過變量代換zx計算五點坐標(2)由函數ysinx的圖象通過變換得到y(tǒng)Asin(x)的圖象有兩條途徑：“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”跟蹤訓練1(1)把函數ysinx的圖象上所有點的橫坐標都縮小到原來的一半，縱坐標保持不變，再把圖象向右平移個單位長度，所得圖象的函數解析式為_答案ysin解析把函數ysinx的圖象上所有點的橫坐標都縮小到原來的一半，縱坐標保持不變，得到函數ysin2x的圖象，再把該函數圖象向右平移個單位長度，得到函數ysin2sin的圖象(2)已知函數f(x)sin(0<<2)滿足條件：f0，為了得到函數yf(x)的圖象，可將函數g(x)cosx的圖象向右平移m(m>0)個單位長度，則m的最小值為()A1B.C.D.答案A解析由題意得sin0，即k(kZ)，則2k(kZ)，結合0<<2，得，所以f(x)sincoscos，所以只需將函數g(x)cosx的圖象向右至少平移1個單位長度，即可得到函數yf(x)的圖象，故選A.題型二由圖象確定yAsin(x)的解析式例2(1)若函數yAsin(x)的部分圖象如圖所示，則y_.答案2sin解析由題圖可知，A2，T2，所以2，由五點作圖法可知2，所以，所以函數的解析式為y2sin.(2)已知函數f(x)sin(x) 的部分圖象如圖所示，則yf取得最小值時x的集合為_答案解析根據所給圖象，周期T4，故，2，因此f(x)sin(2x)，另外圖象經過點，代入有22k(kZ)，再由|<，得，f(x)sin，fsin，當2x2k(kZ)，即xk(kZ)時，yf取得最小值思維升華yAsin(x)中的確定方法(1)代入法：把圖象上的一個已知點代入(此時要注意該點在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)或把圖象的最高點或最低點代入(2)五點法：確定值時，往往以尋找“五點法”中的特殊點作為突破口跟蹤訓練2已知函數f(x)Asin(x)B的部分圖象如圖所示，將函數f(x)的圖象向左平移m(m>0)個單位長度后，得到函數g(x)的圖象關于點對稱，則m的值可能為()A.B.C.D.答案D解析依題意得解得，故2，則f(x)sin(2x).又fsin，故2k(kZ)，即2k(kZ)因為|<，故，所以f(x)sin.將函數f(x)的圖象向左平移m個單位長度后得到g(x)sin的圖象，又函數g(x)的圖象關于點對稱，即h(x)sin的圖象關于點對稱，故sin0，即2mk(kZ)，故m(kZ)令k2，則m.題型三三角函數圖象、性質的綜合應用命題點1圖象與性質的綜合問題例3(2018浙江省知名重點中學聯考)已知函數f(x)Asin(x)h(A>0，>0,0<<)的部分圖象如圖所示(1)求函數f(x)的解析式；(2)若將函數f(x)的圖象向右平移個單位長度，得到函數g(x)的圖象，求函數g(x)的單調遞增區(qū)間解(1)由三角函數的圖象可知，得設函數f(x)的最小正周期為T，則由題意得，所以T，所以，解得2.因為函數f(x)的圖象過點，且0<<，所以2sin1，解得.所以函數f(x)的解析式為f(x)sin1.(2)由(1)知，f(x)sin1，因為將函數f(x)的圖象向右平移個單位長度，得到函數g(x)圖象，所以g(x)sin1sin1.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.所以函數g(x)的單調遞增區(qū)間為，kZ.命題點2函數零點(方程根)問題例4已知關于x的方程2sin2xsin2xm10在上有兩個不同的實數根，則m的取值范圍是_答案(2，1)解析方程2sin2xsin2xm10可轉化為m12sin2xsin2xcos2xsin2x2sin，x.設2xt，則t，題目條件可轉化為sint，t有兩個不同的實數根y1和y2sint，t的圖象有兩個不同交點，如圖：由圖象觀察知，的取值范圍是，故m的取值范圍是(2，1)引申探究本例中，若將“有兩個不同的實數根”改成“有實根”，則m的取值范圍是_答案2,1)解析由上例題知，的取值范圍是，2m<1，m的取值范圍是2,1)思維升華 (1)研究yAsin(x)的性質時可將x視為一個整體，利用換元法和數形結合思想進行解題(2)方程根的個數可轉化為兩個函數圖象的交點個數跟蹤訓練3(1)將函數f(x)sin(2x)的圖象向左平移個單位長度后關于原點對稱，則函數f(x)在上的最小值為()ABC.D.答案A解析將函數f(x)sin(2x)的圖象向左平移個單位長度得到y(tǒng)sinsin的圖象，該圖象關于原點對稱，即為奇函數，則k(kZ)，又|<，所以，即f(x)sin.當x時，2x，所以當2x，即x0時，f(x)取得最小值，最小值為.(2)若函數f(x)sin(>0)滿足f(0)f，且函數在上有且只有一個零點，則f(x)的最小正周期為_答案解析f(0)f，x是f(x)圖象的一條對稱軸，f1，k，kZ，6k2，kZ，T(kZ)又f(x)在上有且只有一個零點，<，<T，<(kZ)，k<，又kZ，k0，T.三角函數圖象與性質的綜合問題例(14分)已知函數f(x)2sincossin(x)(1)求f(x)的最小正周期；(2)若將f(x)的圖象向右平移個單位長度，得到函數g(x)的圖象，求函數g(x)在區(qū)間0，上的最大值和最小值規(guī)范解答解(1)f(x)2sincossin(x)cosxsinx3分2sin，5分于是T2.6分(2)由已知得g(x)f2sin，9分x0，x，sin，12分g(x)2sin1,213分故函數g(x)在區(qū)間0，上的最大值為2，最小值為1.14分解決三角函數圖象與性質的綜合問題的一般步驟第一步：(化簡)將f(x)化為asinxbcosx的形式；第二步：(用輔助角公式)構造f(x)；第三步：(求性質)利用f(x)sin(x)研究三角函數的性質1(2018嘉興基礎測試)由函數ycos2x的圖象變換得到函數ycos的圖象，這個變換可以是()A向左平移個單位長度B向右平移個單位長度C向左平移個單位長度D向右平移個單位長度答案B解析由于函數ycoscos2，因此該函數的圖象是由函數ycos2x的圖象向右平移個單位長度得到的，故選B.2若將函數f(x)sin2xcos2x的圖象向右平移個單位長度，所得圖象關于y軸對稱，則的最小正值是()A.B.C.D.答案C解析f(x)sin2xcos2xcos，將函數f(x)的圖象向右平移個單位長度后所得圖象對應的函數為ycos，且該函數為偶函數，故2k(kZ)，所以的最小正值為.3函數f(x)cos(>0)的最小正周期是，則其圖象向右平移個單位長度后對應函數的單調遞減區(qū)間是()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)答案B解析由題意知2，將函數f(x)的圖象向右平移個單位長度后得到函數g(x)coscossin2x的圖象，由2k2x2k(kZ)，解得所求函數的單調遞減區(qū)間為(kZ)4函數f(x)sin(x)的部分圖象如圖所示，則f(x)的單調遞增區(qū)間為()A14k，14k(kZ)B38k，18k(kZ)C14k,14k(kZ)D38k,18k(kZ)答案D解析由題圖知，T4(31)8，所以，所以f(x)sin.把(1,1)代入，得sin1，即2k(kZ)，又|<，所以，所以f(x)sin.由2kx2k(kZ)，得8k3x8k1(kZ)，所以函數f(x)的單調遞增區(qū)間為8k3,8k1(kZ)5若函數ysin(x)在區(qū)間上的圖象如圖所示，則，的值分別是()A2，B2，C，D，答案A解析由題圖可知，T2，所以2，又sin0，所以2k(kZ)，即2k(kZ)，又|<，所以，故選A.6將函數f(x)sin(x)的圖象向左平移個單位長度后是奇函數，則函數f(x)在上的最小值為()ABC.D.答案A解析將函數f(x)sin(x)的圖象向左平移個單位長度得到y(tǒng)sin的圖象，該函數為奇函數，則k(kZ)，又|<，所以，即f(x)sin.當x時，x，所以當x，即x0時，f(x)取得最小值，最小值為.7已知函數f(x)Atan(x)的部分圖象如圖所示，則f_.答案解析由題干圖象知2，所以2.因為2k(kZ)，所以k(kZ)，又|<，所以，這時f(x)Atan.又函數圖象過點(0,1)，代入上式得A1，所以f(x)tan.所以ftan.8.已知函數f(x)sin(x)的部分圖象如圖所示，又x1，x2，且f(x1)f(x2)，則f(x1x2)_.答案解析由題圖可知，則T，2，又，所以f(x)的圖象過點，即sin1，所以22k，kZ，又|<，可得，所以f(x)sin.由f(x1)f(x2)，x1，x2，可得x1x2，所以f(x1x2)fsinsin.9(2018“七彩陽光”聯盟期初聯考)已知函數f(x)sin(x)的圖象過點，若f(x)f對xR恒成立，則的值為_；當最小時，函數g(x)f在區(qū)間0,22上的零點個數為_答案112k(kN)8解析由題意得，且當x時，函數f(x)取得最大值，故2k，kZ，解得112k，kZ，又>0，所以112k，kN，則的最小值為1.因此g(x)fsinx，又7<22<8，所以函數g(x)在區(qū)間0,22上的零點個數是8.10已知函數f(x)sinxcosx(>0)，xR.若函數f(x)在區(qū)間(，)內單調遞增，且函數yf(x)的圖象關于直線x對稱，則的值為_答案解析f(x)sinxcosxsin，因為f(x)在區(qū)間(，)內單調遞增，且函數圖象關于直線x對稱，所以f()必為一個周期上的最大值，所以有2k，kZ，所以22k，kZ.又()，即2，即2，所以.11已知函數f(x)2sin(其中0<<1)，若點是函數f(x)圖象的一個對稱中心(1)求的值，并求出函數f(x)的單調遞增區(qū)間；(2)先列表，再作出函數f(x)在區(qū)間，上的圖象解(1)因為點是函數f(x)圖象的一個對稱中心，所以k(kZ)，3k(kZ)，因為0<<1，所以當k0時，可得.所以f(x)2sin.令2kx2k(kZ)，解得2kx2k(kZ)，所以函數的單調遞增區(qū)間為(kZ)(2)由(1)知，f(x)2sin，x，列表如下：x0xf(x)120201作出函數部分圖象如圖所示：12(2018浙江五校聯考)已知函數f(x)asin2xbcos2x(其中a，b為非零常數)的圖象經過點，.(1)求函數f(x)的單調遞增區(qū)間；(2)若x，f(x)，求cos2x的值解(1)由題意得得故f(x)sin2xcos2x2sin.由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)，函數f(x)的單調遞增區(qū)間為(kZ)(2)由f(x)2sin，得sin，x，2x，cos.cos2xcoscoscossinsin.13(2018浙江省六校協(xié)作體期末聯考)已知函數f(x)3sin(x)的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，將函數f(x)3sin(x)的圖象向右平移(>0)個單位長度后得到函數g(x)的圖象，若f(x)，g(x)的圖象都經過點P，則的一個可能值是()A.B.C.D.答案D解析由函數f(x)3sin(x)的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，得函數f(x)的最小正周期為，則，所以2，函數f(x)3sin(2x)的圖象向右平移個單位長度，得到g(x)3sin(2x2)的圖象，因為f(x)，g(x)的圖象都經過點P，所以sin，sin(2)，又<<，所以，所以sin，所以22k(kZ)或22k(kZ)，所以k(kZ)或k(kZ)，因為>0，所以結合選項知的一個可能值是，故選D.14已知函數f(x)sinxcosx(>0)，xR.在曲線yf(x)與直線y1的交點中，若相鄰交點距離的最小值為，則f(x)的最小正周期為_答案解析f(x)sinxcosx2sin(>0)由2sin1，得sin，x2k或x2k(kZ)令k0，得x1，x2，x10，x2.由|x1x2|，得，2.故f(x)的最小正周期T.15已知函數yMsin(x)(M>0，>0,0<<)的圖象關于直線x對稱該函數的部分圖象如圖所示，ACBC，C90，則f的值為_答案解析依題意知，ABC是直角邊長為的等腰直角三角形，因此其邊AB上的高是，函數f(x)的最小正周期是2，故M，2，f(x)sin(x)又f(x)的圖象關于直線x對稱，fsin.k，kZ，又0<<，fsin.16已知函數f(x)Asin(2x)的圖象在y軸上的截距為1，且關于直線x對稱，若存在x，使m23mf(x)成立，則實數m的取值范圍為_答案(，12，)解析函數f(x)Asin(2x)的圖象在y軸上的截距為1，Asin1，即Asin.函數f(x)Asin(2x)的圖象關于直線x對稱，2k，kZ，又0<<，Asin，A，f(x)sin.當x時，2x，當2x，即x時，f(x)min2.令m23m2，解得m2或m1.