（全國通用版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 數(shù)列 課時分層作業(yè) 三十二 5.4 數(shù)列求和 文.doc

課時分層作業(yè) 三十二 數(shù) 列 求 和一、選擇題(每小題5分,共25分)1.數(shù)列1+2n-1的前n項和為()A.1+2n B.2+2nC.n+2n-1D.n+2+2n【解析】選C.由題意得an=1+2n-1,所以Sn=n+=n+2n-1.2.1-4+9-16+(-1)n+1n2等于()A.B.-C.(-1)n+1D.以上答案均不對【解析】選C.當(dāng)n為偶數(shù)時,1-4+9-16+(-1)n+1n2=-3-7-(2n-1)=-=-;當(dāng)n為奇數(shù)時,1-4+9-16+(-1)n+1n2=-3-7-2(n-1)-1+n2=-+n2=,綜上可得,原式=(-1)n+1.3.設(shè)直線nx+y=與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為an,則a1+a2+a2 017= ()A.B.C.D.【解析】選A.分別令x=0和y=0,得到直線nx+(n+1)y= (nN*)與兩坐標(biāo)軸的交點:,則an=-,然后分別代入1,2,2 017,則有a1+a2+a2 017=1-+-+-=1-=.【變式備選】已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn,a4=4,S4=10,則數(shù)列的前2 018項和為()A.B.C. D.【解析】選C.設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,則a4=a1+3d=4,S4=4a1+6d=10,聯(lián)立解得a1=d=1,所以an=a1+(n-1)d=n,=-,所以數(shù)列的前2 018項和為+=1-=.4.已知數(shù)列an的前n項和為Sn,通項公式an=n(-1)n+1,則S17=()A.10B.9C.8D.7【解析】選B.S17=1-2+3-4+5-6+15-16+17=1+(-2+3)+(-4+5)+(-14+15)+(-16+17)=1+1+1+1=9.【一題多解】解決本題還可以采用以下方法:選B.S17=1-2+3-4+5-6+15-16+17=(1+3+17)-(2+4+16)=81-72=9.【變式備選】在數(shù)列an中,a1=2,a2=2,an+2-an=1+(-1)n,nN*,則S60的值為()A.990B.1 000C.1 100D.99【解析】選A.n為奇數(shù)時,an+2-an=0,an=2;n為偶數(shù)時,an+2-an=2,an=n.故S60=230+(2+4+60)=990.5.定義為n個正數(shù)p1,p2,pn的“均倒數(shù)”.若已知正項數(shù)列an的前n項的“均倒數(shù)”為,又bn=,則+= ()A.B.C.D.【解析】選C.依題意有=,即數(shù)列an的前n項和Sn=n(2n+1)=2n2+n,當(dāng)n=1時,a1=S1=3;當(dāng)n2時,an=Sn-Sn-1=4n-1,a1=3滿足該式.則an=4n-1,bn=n.因為=-,所以+=1-+-+-=.二、填空題(每小題5分,共15分)6.已知數(shù)列2 017,2 018,1,-2 017,若這個數(shù)列從第二項起,每一項都等于它的前后兩項之和,則這個數(shù)列的前2 018項之和S2 018=_.【解析】由題意可知an+1=an+an+2,a1=2 017,a2=2 018,所以a3=1,a4=-2 017,a5=-2 018,a6=-1,a7=2 017,所以an+6=an,即數(shù)列an是以6為周期的數(shù)列,又a1+a2+a3+a4+a5+a6=0, 所以S2 018=336(a1+a2+a3+a4+a5+a6)+(a1+a2)=4 035.答案:4 0357.對于數(shù)列an,定義數(shù)列an+1-an為數(shù)列an的“差數(shù)列”,若a1=2,an的“差數(shù)列”的通項公式為2n,則數(shù)列an的前n項和Sn=_.【解析】因為an+1-an=2n,所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2+22+2+2=+2=2n-2+2=2n.所以Sn=2n+1-2.答案:2n+1-28.設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn,且Sn=nan+an-c(c是常數(shù), nN*),a2=6,又bn=,數(shù)列的前n項和為Tn,若2Tn>m-2對nN*恒成立,則正整數(shù)m的最大值是_.【解析】因為Sn=nan+an-c,當(dāng)n=1時, S1=a1+a1-c,解得a1=2c,當(dāng)n=2時,S2=a2+a2-c,即a1+a2=a2+a2-c,解得a2=3c,所以3c=6,解得c=2.則a1=4,數(shù)列an的公差d=a2-a1=2,所以an=a1+(n-1)d=2n+2.因為bn=,由錯位相減可得: Tn=2-,則Tn+1-Tn=-=>0所以數(shù)列Tn單調(diào)遞增,T1最小,最小值為,所以2>m-2,所以m<3,故正整數(shù)m的最大值為2.答案:2【題目溯源】本考題源于教材人教A版必修五P61習(xí)題A組T4“求和:1+2x+3x2+nxn-1”.三、解答題(每小題10分,共20分)9.(2018武邑模擬)已知數(shù)列an的前n項和為Sn,且a1=2,a2=8,a3=24,an+1-2an為等比數(shù)列.(1)求數(shù)列an的通項公式.(2)求Sn.【解析】(1)因為a2-2a1=4,a3-2a2=8,所以an+1-2an=42n-1=2n+1,所以-=1,所以是以1為首項,1為公差的等差數(shù)列.所以=1+(n-1)=n,所以an=n2n.(2)由(1)可得an=n2n,所以Sn=12+222+323+n2n,2Sn=122+223+324+n2n+1,由-及整理得Sn=(n-1)2n+1+2.10.已知函數(shù)g(x)=(a+1)x-2+1(a>0)的圖象恒過定點A,且點A又在函數(shù)f(x)=lo(x+a)的圖象上.(1)求實數(shù)a的值.(2)當(dāng)方程|g(x+2)-2|=2b有兩個不等實根時,求b的取值范圍.(3)設(shè)an=g(n+2),bn=,nN*,求證,b1+b2+b3+bn<,(nN*).【解析】(1)函數(shù)g(x)的圖象恒過定點A,A點的坐標(biāo)為(2,2),又因為A點在f(x)上,則f(2)=(2+a)=2,即2+a=3,所以a=1.(2)=2b,即=2b,所以=2b,由圖象可知:0<2b<1,故b的取值范圍為.(3)an=2n+1,bn=-,所以b1+b2+b3+bn=-<,nN*.1.(5分)(2018合肥模擬)已知數(shù)列an滿足a1=2,4a3=a6,是等差數(shù)列,則數(shù)列(-1)nan的前10項的和S10=()A.220B.110C.99D.55【解析】選B.設(shè)等差數(shù)列的公差為d,則=a1+5d,=+3d,將已知值和等量關(guān)系代入,計算得d=2,所以=a1+(n-1)d=2n,an=2n2,所以S10=-a1+a2-a3+a10=2(-12+22-32+102)=110.2.(5分)已知在正項等比數(shù)列an中,a1=1,a2a4=16,則|a1-12|+|a2-12|+|a8-12|= ()A.224B.225C.226D.256【解析】選B.設(shè)正項等比數(shù)列an的公比為q且q>0,因為a1=1,a2a4=16,所以q4=16,解得q=2.所以an=12n-1=2n-1,由2n-112,解得n4.所以|a1-12|+|a2-12|+|a8-12|=12-a1+12-a2+12-a3+12-a4+a5-12+a8-12=-2(a1+a2+a3+a4)+(a1+a2+a8)=-2+=-2(24-1)+28-1=225.【變式備選】已知數(shù)列an的通項公式為an=(-1)n+1(3n-2),則前100項和S100等于_.【解析】因為a1+a2=a3+a4=a5+a6=a99+a100=-3,所以S100=-350=-150.答案:-1503.(5分)設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn,且an=sin ,nN*,則S2 018=_.【解析】an=sin ,nN*,顯然每連續(xù)四項的和為0.S2 018=S4504+2=1+0=1.答案:14.(12分)已知數(shù)列an的前n項和為Sn,且Sn=n2-n(nN*).(1)求數(shù)列an的通項公式.(2)設(shè)bn=,求數(shù)列的前n項和Tn.【解析】(1) 當(dāng)n=1時, a1=S1=-=-2,當(dāng)n2時, an=Sn-Sn-1=n2-n-(n-1)2-(n-1)=3n-5,將n=1代入上式驗證顯然適合,所以an=3n-5(nN*).(2)bn=,所以Tn=b1+b2+bn=+(-)=-.5.(13分)數(shù)列an的前n項和為Sn,已知Sn+1=Sn+an+2,a1,a2,a5成等比數(shù)列. (1)求數(shù)列的通項公式.(2)若數(shù)列bn滿足=,求數(shù)列bn的前n項和Tn.【解析】(1)因為Sn+1=Sn+an+2, 所以an+1-an=2,所以數(shù)列an是公差為2的等差數(shù)列,因為a1,a2,a5成等比數(shù)列, 所以=a1a5,所以=a1 (a1+8),解得a1=1.所以an=1+2(n-1)=2n-1.(2)因為數(shù)列bn滿足=,所以bn=(2n-1) =(2n-1)2n.所以數(shù)列bn的前n項和Tn=2+322+523+(2n-1)2n,所以2Tn=22+323+(2n-3)2n+(2n-1)2n+1,所以Tn=6+(2n-3)2n+1.