（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)新增分大一輪復(fù)習(xí) 第三章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ3.1 函數(shù)及其表示講義（含解析）.docx

3.1函數(shù)及其表示最新考綱考情考向分析1.了解函數(shù)、映射的概念2.了解函數(shù)的定義域、值域及三種表示法(解析法、圖象法和列表法)3.了解簡單的分段函數(shù)，會(huì)用分段函數(shù)解決簡單的問題.以基本初等函數(shù)為載體，考查函數(shù)的表示法、定義域；分段函數(shù)以及函數(shù)與其他知識(shí)的綜合是高考熱點(diǎn)，題型既有選擇、填空題，又有解答題，中等偏上難度.1函數(shù)與映射函數(shù)映射兩個(gè)集合A，B設(shè)A，B是兩個(gè)非空數(shù)集設(shè)A，B是兩個(gè)非空集合對應(yīng)關(guān)系f：AB如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)如果按某一個(gè)確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)名稱稱f：AB為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)稱f：AB為從集合A到集合B的一個(gè)映射函數(shù)記法函數(shù)yf(x)，xA映射：f：AB2.函數(shù)的有關(guān)概念(1)函數(shù)的定義域、值域在函數(shù)yf(x)，xA中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)|xA叫做函數(shù)的值域(2)函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域(3)函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法3分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個(gè)不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的并集，分段函數(shù)雖由幾個(gè)部分組成，但它表示的是一個(gè)函數(shù)概念方法微思考請你概括一下求函數(shù)定義域的類型？提示(1)f(x)為分式型函數(shù)時(shí)，定義域?yàn)槭狗帜覆粸榱愕膶?shí)數(shù)集合；(2)f(x)為偶次根式型函數(shù)時(shí)，定義域?yàn)槭贡婚_方式非負(fù)的實(shí)數(shù)的集合；(3)f(x)為對數(shù)式時(shí)，函數(shù)的定義域是真數(shù)為正數(shù)、底數(shù)為正且不為1的實(shí)數(shù)集合；(4)若f(x)x0，則定義域?yàn)閤|x0；(5)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于0且不等于1；(6)正切函數(shù)ytanx的定義域?yàn)?題組一思考辨析1判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊被颉啊?(1)對于函數(shù)f：AB，其值域就是集合B.()(2)函數(shù)f(x)x22x與g(t)t22t是同一函數(shù)()(3)若兩個(gè)函數(shù)的定義域與值域相同，則這兩個(gè)函數(shù)相等()(4)函數(shù)f(x)的圖象與直線x1最多有一個(gè)交點(diǎn)()(5)若AR，Bx|x>0，f：xy|x|，其對應(yīng)是從A到B的映射()(6)分段函數(shù)是由兩個(gè)或幾個(gè)函數(shù)組成的()題組二教材改編2P74T7(2)函數(shù)f(x)log2(6x)的定義域是_答案3,6)3P25B組T1函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示，那么，f(x)的定義域是_；值域是_；其中只有唯一的x值與之對應(yīng)的y值的范圍是_答案3,02,31,51,2)(4,5題組三易錯(cuò)自糾4已知f(x)若f(a)2，則a的值為()A2B1或2C1或2D1或2答案B解析當(dāng)a0時(shí)，2a22，解得a2；當(dāng)a<0時(shí)，a232，解得a1.綜上，a的值為1或2.故選B.5已知函數(shù)f(x)x|x|，若f(x0)4，則x0的值為_答案2解析當(dāng)x0時(shí)，f(x)x2，f(x0)4，即x4，解得x02.當(dāng)x<0時(shí)，f(x)x2，f(x0)4，即x4，無解，所以x02.6若有意義，則函數(shù)yx26x7的值域是_答案1，)解析因?yàn)橛幸饬x，所以x40，即x4.又因?yàn)閥x26x7(x3)22，所以ymin(43)22121.所以其值域?yàn)?，)題型一函數(shù)的概念1若函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)镸x|2x2，值域?yàn)镹y|0y2，則函數(shù)yf(x)的圖象可能是()答案B解析A中函數(shù)的定義域不是2,2，C中圖象不表示函數(shù)，D中函數(shù)值域不是0,2，故選B.2有以下判斷：f(x)與g(x)表示同一函數(shù)；f(x)x22x1與g(t)t22t1是同一函數(shù)；若f(x)|x1|x|，則f0.其中正確判斷的序號是_答案解析對于，由于函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閤|xR且x0，而函數(shù)g(x)的定義域是R，所以二者不是同一函數(shù)，故不正確；對于，f(x)與g(t)的定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函數(shù)，故正確；對于，由于f0，所以ff(0)1，故不正確綜上可知，正確的判斷是.思維升華函數(shù)的值域可由定義域和對應(yīng)關(guān)系唯一確定；當(dāng)且僅當(dāng)定義域和對應(yīng)關(guān)系都相同的函數(shù)才是同一函數(shù)值得注意的是，函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系是就結(jié)果而言的(判斷兩個(gè)函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系是否相同，只要看對于函數(shù)定義域中的任意一個(gè)相同的自變量的值，按照這兩個(gè)對應(yīng)關(guān)系算出的函數(shù)值是否相同)題型二函數(shù)的定義域問題命題點(diǎn)1求函數(shù)的定義域例1 (1)(2018浙江名校協(xié)作體聯(lián)考)函數(shù)f(x)lg (1)的定義域?yàn)?)A(2,3) B(2,3 C2,3) D2,3答案C解析由得2x3，所以函數(shù)f(x)lg(1)的定義域?yàn)?,3)，故選C.(2)若函數(shù)yf(x)的定義域是0,2 018，則函數(shù)g(x)的定義域是()A1,2 017 B1,1)(1,2 017C0,2 018 D1,1)(1,2 018答案B解析使函數(shù)f(x1)有意義，則0x12018，解得1x2017，故函數(shù)f(x1)的定義域?yàn)?，2 017所以函數(shù)g(x)有意義的條件是解得1x1或1x2017.故函數(shù)g(x)的定義域?yàn)?,1)(1,2 017引申探究本例(2)中，若將“函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)?,2 018”，改為“函數(shù)f(x1)的定義域?yàn)?,2 018，”則函數(shù)g(x)的定義域?yàn)開答案2,1)(1,2 016解析由函數(shù)f(x1)的定義域?yàn)?,2 018得函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)?,2 017，令則2x2016且x1.所以函數(shù)g(x)的定義域?yàn)?,1)(1,2 016命題點(diǎn)2已知函數(shù)的定義域求參數(shù)范圍例2 (1)若函數(shù)y的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.B.C.D.答案D解析要使函數(shù)的定義域?yàn)镽，則mx24mx30恒成立，當(dāng)m0時(shí)，顯然滿足條件；當(dāng)m0時(shí)，由(4m)24m30，得0m，由得0m.(2)若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閤|1x2，則ab的值為_答案解析函數(shù)f(x)的定義域是不等式ax2abxb0的解集不等式ax2abxb0的解集為x|1x2，所以解得所以ab3.思維升華(1)求給定函數(shù)的定義域往往轉(zhuǎn)化為解不等式(組)的問題，在解不等式(組)取交集時(shí)可借助于數(shù)軸，要特別注意端點(diǎn)值的取舍(2)求抽象函數(shù)的定義域若yf(x)的定義域?yàn)?a，b)，則解不等式a<g(x)<b即可求出yf(g(x)的定義域；若yf(g(x)的定義域?yàn)?a，b)，則求出g(x)在(a，b)上的值域即得f(x)的定義域(3)已知函數(shù)定義域求參數(shù)范圍，可將問題轉(zhuǎn)化成含參數(shù)的不等式，然后求解跟蹤訓(xùn)練1 (1)函數(shù)f(x)(a0且a1)的定義域?yàn)開答案(0,2解析由0x2，故所求函數(shù)的定義域?yàn)?0,2(2)已知函數(shù)yf(x21)的定義域?yàn)?，則函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)開答案1,2解析yf(x21)的定義域?yàn)?，x，x211,2，yf(x)的定義域?yàn)?,2(3)若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)橐磺袑?shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_答案0,4解析當(dāng)m0時(shí)，f(x)的定義域?yàn)橐磺袑?shí)數(shù)；當(dāng)m0時(shí)，由得0<m4，綜上，m的取值范圍是0,4題型三求函數(shù)解析式例3 (1)已知flgx，則f(x)的解析式為_答案f(x)lg(x1)解析換元法：令1t，由于x0，所以t1且x，所以f(t)lg，即f(x)lg(x1)(2)若f(x)為二次函數(shù)且f(0)3，f(x2)f(x)4x2，則f(x)的解析式為_答案f(x)x2x3解析待定系數(shù)法：設(shè)f(x)ax2bxc(a0)，又f(0)c3.所以f(x)ax2bx3，所以f(x2)f(x)a(x2)2b(x2)3(ax2bx3)4ax4a2b4x2.所以所以所以所求函數(shù)的解析式為f(x)x2x3.(3)函數(shù)f(x)滿足方程2f(x)f2x，xR且x0，則f(x)_.答案x(xR且x0)解析解方程組法：因?yàn)?f(x)f2x，將x換成，則換成x，得2ff(x).由消去f，得3f(x)4x.所以f(x)x(xR且x0)思維升華函數(shù)解析式的求法(1)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))，可用待定系數(shù)法(2)換元法：已知復(fù)合函數(shù)f(g(x)的解析式，可用換元法，此時(shí)要注意新元的取值范圍(3)配湊法：由已知條件f(g(x)F(x)，可將F(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達(dá)式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式(4)消去法：已知f(x)與f或f(x)之間的關(guān)系式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個(gè)等式組成方程組，通過解方程組求出f(x)跟蹤訓(xùn)練2 (1)已知f(1)x2，則f(x)的解析式為f(x)_.答案x21(x1)解析方法一設(shè)t1，則x(t1)2(t1)；代入原式有f(t)(t1)22(t1)t22t12t2t21.故f(x)x21(x1)方法二因?yàn)閤2()2211(1)21，所以f(1)(1)21(11)，即f(x)x21(x1)(2)設(shè)yf(x)是二次函數(shù)，方程f(x)0有兩個(gè)相等實(shí)根，且f(x)2x2，則f(x)的解析式為f(x)_.答案x22x1解析設(shè)f(x)ax2bxc(a0)，則f(x)2axb2x2，所以a1，b2，f(x)x22xc.又因?yàn)榉匠蘤(x)0有兩個(gè)相等的實(shí)根，所以44c0，c1，故f(x)x22x1.(3)函數(shù)f(x)滿足方程2f(x)f(x)2x，則f(x)的解析式為_答案f(x)2x解析因?yàn)?f(x)f(x)2x，將x換成x得2f(x)f(x)2x，由消去f(x)，得3f(x)6x，所以f(x)2x.題型四分段函數(shù)命題點(diǎn)1求分段函數(shù)的函數(shù)值例4 (2018臺(tái)州期末)已知函數(shù)f(x)則f(0)_，f(f(0)_.答案10解析由題意得f(0)201，則f(f(0)f(1)log310.命題點(diǎn)2分段函數(shù)與方程、不等式問題例5 (1)(2018浙江十校聯(lián)盟高考適應(yīng)性考試)已知函數(shù)f(x)若f(a)f(1)0，則實(shí)數(shù)a的值為_答案3解析方法一當(dāng)a0時(shí)，由f(a)f(1)0得2a20，無解當(dāng)a0時(shí)，由f(a)f(1)0得a120，解得a3.方法二由題意知f(1)20，故由f(a)f(1)0，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知a0，且f(a)a12，解得a3.(2)設(shè)函數(shù)f(x)則滿足f(x)f>1的x的取值范圍是_答案解析由題意知，可對不等式分x0,0x，x三段討論當(dāng)x0時(shí)，原不等式為x1x1，解得x，x0.當(dāng)0x時(shí)，原不等式為2xx1，顯然成立當(dāng)x時(shí)，原不等式為2x1，顯然成立綜上可知，x的取值范圍是.思維升華(1)分段函數(shù)的求值問題的解題思路求函數(shù)值：先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當(dāng)出現(xiàn)f(f(a)的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值；求自變量的值：先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值，切記要代入檢驗(yàn)(2)分段函數(shù)與方程、不等式問題的求解思路依據(jù)不同范圍的不同段分類討論求解，最后將討論結(jié)果并起來跟蹤訓(xùn)練3 (1)(2018寧波期末)函數(shù)f(x)則f(f(2)等于()A2B1C212D0答案B解析f(f(2)ff(0)2021，故選B.(2)已知函數(shù)f(x)若f(f(1)3a2，則a的取值范圍是_答案(1,3)解析由題意知，f(1)213，f(f(1)f(3)326a，若f(f(1)3a2，則96a3a2，即a22a30，解得1a3.1函數(shù)y的定義域是()A1,0)(0,1) B1,0)(0,1C(1,0)(0,1 D(1,0)(0,1)答案D解析由題意得解得1x0或0x1.所以原函數(shù)的定義域?yàn)?1,0)(0,1)2(2018浙江嘉興一中月考)下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的一組是()Af(x)lgx2，g(x)2lgxBf(x)，g(x)Cf(x)x0，g(x)1Df(x)2x，g(t)t答案D解析A，B，C中函數(shù)的定義域不同，故選D.3(2018浙江五校第二次聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)則f(2)f(4)等于()A.B.C87D.答案B解析由題意可得，f(2)f(4)3244.故選B.4已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?1,0)，則函數(shù)f(2x1)的定義域?yàn)?)A(1,1) B.C(1,0) D.答案B解析由已知得12x10，解得1x，所以函數(shù)f(2x1)的定義域?yàn)?5(2019浙江部分重點(diǎn)中學(xué)調(diào)研)已知函數(shù)f(x)則函數(shù)f(x)的值域?yàn)?)A1，) B(1，)C.DR答案B解析當(dāng)x1時(shí)，f(x)x22(1，)；當(dāng)x1時(shí)，f(x)2x1.綜上可知，函數(shù)f(x)的值域?yàn)?1，)故選B.6(2018浙江知名重點(diǎn)中學(xué)考前熱身聯(lián)考)設(shè)函數(shù)f(x)若f(f(0)4，則b等于()A2B1C2D1答案C解析f(0)b，當(dāng)b1，即b1時(shí)，f(b)3b4，得b(舍去)，當(dāng)b1，即b1時(shí)，2b4，得b2.7.如圖，AOD是一直角邊長為1的等腰直角三角形，平面圖形OBD是四分之一圓的扇形，點(diǎn)P在線段AB上，PQAB，且PQ交AD或交弧DB于點(diǎn)Q，設(shè)APx(0<x<2)，圖中陰影部分表示的平面圖形APQ(或APQD)的面積為y，則函數(shù)yf(x)的大致圖象是()答案A解析觀察可知陰影部分的面積y的變化情況為：(1)當(dāng)0<x1時(shí)，y隨x的增大而增大，而且增加的速度越來越快(2)當(dāng)1<x<2時(shí)，y隨x的增大而增大，而且增加的速度越來越慢分析四個(gè)答案中的圖象，只有選項(xiàng)A符合條件，故選A.8設(shè)函數(shù)f(x)若f(a)<1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(，3) B(1，)C(3,1) D(，3)(1，)答案C解析若a<0，則f(a)<1等價(jià)于a7<1等價(jià)于a<8，解得a>3，故3<a<0；若a0，則f(a)<1等價(jià)于<1，解得a<1，故0a<1.綜上可得3<a<1.故選C.9已知f，則f(x)_.答案x2x1(x1)解析f21，令t(t1)，則f(t)t2t1，即f(x)x2x1(x1)10(2016浙江)設(shè)函數(shù)f(x)x33x21，已知a0，且f(x)f(a)(xb)(xa)2，xR，則實(shí)數(shù)a_，b_.答案21解析由已知可得：f(x)f(a)x33x21a33a21x33x2a33a2.而(xb)(xa)2x3(2ab)x2(a22ab)xa2b，則結(jié)合a0解得a2，b1.11定義新運(yùn)算“”：當(dāng)mn時(shí)，mnm；當(dāng)m<n時(shí)，mnn2.設(shè)函數(shù)f(x)(2x)x(4x)，x1,4，則函數(shù)f(x)的值域?yàn)開答案2,0(4,60解析由題意知，f(x)當(dāng)x1,2時(shí)，f(x)2,0；當(dāng)x(2,4時(shí)，f(x)(4,60，故當(dāng)x1,4時(shí)，f(x)2,0(4,6012(2018浙江名校新高考研究聯(lián)盟四聯(lián))已知函數(shù)f(x)若存在x1x2，使得f(x1)f(x2)，求x1f(x2)的取值范圍解函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，若存在x1x2，使得f(x1)f(x2)，由圖象可得x11,2f(x2)，所以1x1f(x2).13(2018浙江溫州中學(xué)月考)將函數(shù)y1的圖象繞原點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角得到曲線C.若對于每一個(gè)旋轉(zhuǎn)角，曲線C都是一個(gè)函數(shù)的圖象，則的取值范圍是_答案解析畫出函數(shù)y1的圖象如圖，結(jié)合圖象可以看出當(dāng)該函數(shù)的圖象繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角大于或等于0而小于時(shí)所得曲線都是一個(gè)函數(shù)的圖象，故應(yīng)填.14(2018寧波模擬)定義maxa，b已知函數(shù)f(x)max|2x1|，ax2b，其中a0，bR，若f(0)b.(1)求實(shí)數(shù)b的取值范圍；(2)若f(x)的最小值為1，求ab的值解(1)由題意得f(0)max1，b，若f(0)b，則b1.(2)解不等式|2x1|1，得x1或x0.所以若f(x0)1，x00,1，當(dāng)x0,1時(shí)，要使f(x)的最小值為1，只需ax2b的最小值為1，因?yàn)閍0，所以由函數(shù)yax2b的圖象(圖略)知ax2b在x1時(shí)取得最小值1，即ab1.15(2015浙江)存在函數(shù)f(x)滿足：對于任意xR，都有()Af(sin2x)sinxBf(sin2x)x2xCf(x21)|x1|Df(x22x)|x1|答案D解析在A中，令x0，得f(0)0；令x，得f(0)1，與函數(shù)的定義不符，故A錯(cuò)在B中，令x0，得f(0)0；令x，得f(0)，與函數(shù)的定義不符，故B錯(cuò)在C中，令x1，得f(2)2；令x1，得f(2)0，與函數(shù)的定義不符，故C錯(cuò)在D中，變形為f(|x1|21)|x1|，令|x1|21t，得t1，|x1|，從而有f(t)，顯然這個(gè)函數(shù)關(guān)系在定義域1，)上是成立的，故選D.16(2018浙江名校(諸暨中學(xué))聯(lián)考)f(x)是定義在R上的函數(shù)，若f(1)504，對任意的xR，滿足f(x4)f(x)2(x1)及f(x12)f(x)6(x5)，求的值解f(x4)f(x)2(x1)，f(x8)f(x4)2(x5)，f(x12)f(x8)2(x9)，上述三個(gè)式子相加得到f(x12)f(x)6(x5)，結(jié)合條件可知，f(x12)f(x)6(x5)，于是f(2017)f(1)f(2 017)f(2 005)f(2 005)f(1 993)f(1 993)f(1 981)f(13)f(1)30168650405042006，2017.