（江蘇專用）2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第三篇 第31練 幾何證明選講、不等式選講試題 理.docx

第31練幾何證明選講、不等式選講明晰考情1.命題角度：三角形及相似三角形的判定與性質(zhì)；圓的相交弦定理，切割線定理；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定；含絕對(duì)值的不等式解法、不等式證明的基本方法、利用不等式性質(zhì)求最值以及幾個(gè)重要不等式的應(yīng)用.2.題目難度：中檔難度.考點(diǎn)一三角形相似的判定及應(yīng)用方法技巧證明三角形相似可以結(jié)合圓的某些性質(zhì)、定理，要注意等量的代換.1.(2016江蘇)如圖，在ABC中，已知ABC90，BDAC，D為垂足，E是BC的中點(diǎn)，求證：EDCABD.證明在ADB和ABC中，因?yàn)锳BC90，BDAC，A為公共角，所以ADBABC，所以ABDC.在RtBDC中，因?yàn)镋是斜邊BC的中點(diǎn)，所以EDEC，從而EDCC，所以EDCABD.2.(2017江蘇)如圖，AB為半圓O的直徑，直線PC切半圓O于點(diǎn)C，APPC，P為垂足.(1)求證：PACCAB；(2)求證：AC2APAB.證明(1)因?yàn)镻C切半圓O于點(diǎn)C，所以PCACBA.因?yàn)锳B為半圓O的直徑，所以ACB90.因?yàn)锳PPC，所以APC90，因此PACCAB.(2)由(1)知，APCACB，故，即AC2APAB.3.(2018蘇州模擬)如圖，AB，AC與圓O分別切于點(diǎn)B，C，點(diǎn)P為圓O上異于點(diǎn)B，C的任意一點(diǎn)，PDAB于點(diǎn)D，PEAC于點(diǎn)E，PFBC于點(diǎn)F.求證：PF2PDPE.證明連結(jié)PB，PC，因?yàn)镻CF，PBD分別為圓弧BP上的圓周角和弦切角，所以PCFPBD.因?yàn)镻DBD，PFFC，所以PDBPFC，故.同理，PBFPCE，又PEEC，PFFB，所以PFBPEC，故，所以，即PF2PDPE.4.如圖，AB，AC是O的切線，ADE是O的割線，求證：BECDBDCE.證明因?yàn)锳B是O的切線，所以ABDAEB.又因?yàn)锽ADEAB，所以BADEAB，所以.同理，.因?yàn)锳B，AC是O的切線，所以ABAC.因此，即BECDBDCE.考點(diǎn)二圓有關(guān)定理、性質(zhì)的應(yīng)用方法技巧和圓有關(guān)的計(jì)算證明問題，要靈活運(yùn)用圓和三角形的性質(zhì)，以目標(biāo)為導(dǎo)向，根據(jù)需要找角、線段長(zhǎng)度的關(guān)系，適時(shí)進(jìn)行等量代換.5.(2018江蘇)如圖，圓O的半徑為2，AB為圓O的直徑，P為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過P作圓O的切線，切點(diǎn)為C.若PC2，求BC的長(zhǎng).證明如圖，連結(jié)OC.因?yàn)镻C與圓O相切，所以O(shè)CPC.又因?yàn)镻C2，OC2，所以O(shè)P4.又因?yàn)镺B2，從而B為RtOCP斜邊的中點(diǎn)，所以BC2.6.(2018南京模擬)如圖，CD是圓O的切線，切點(diǎn)為D，CA是過圓心O的割線且交圓O于點(diǎn)B，DADC，求證：CA3CB.證明如圖，連結(jié)OD，因?yàn)镈ADC，所以DAOC.在圓O中，AODO，所以DAOADO，所以DOC2DAO2C.因?yàn)镃D為圓O的切線，所以O(shè)DC90，從而DOCC90，即2CC90，故C30，所以O(shè)C2OD2OB，所以CBOB，所以CA3CB.7.(2018蘇州模擬)如圖，圓O的直徑AB4，C為圓周上一點(diǎn)，BC2，過C作圓O的切線l，過點(diǎn)A作l的垂線AD，AD分別與直線l和圓O交于點(diǎn)D，E，求線段AE的長(zhǎng).解在RtABC中，因?yàn)锳B4，BC2，所以ABC60.因?yàn)閘為過點(diǎn)C的切線，所以DCAABC60.因?yàn)锳DDC，所以DAC30.連結(jié)OE，在AOE中，因?yàn)镋AODACCAB60，且OEOA，所以AEAOAB2.8.如圖，AB切O于點(diǎn)B，直線AO交O于D，E兩點(diǎn)，BCDE，垂足為C.(1)證明：CBDDBA；(2)若AD3DC，BC，求O的直徑.(1)證明因?yàn)镈E為O的直徑，所以BEDEDB90，又BCDE，所以CBDEDB90，從而CBDBED.又AB切O于點(diǎn)B，所以DBABED，所以CBDDBA，(2)解由(1)知BD平分CBA，則3，又BC，從而AB3.所以AC4，所以AD3.由切割線定理得AB2ADAE，即AE6，故DEAEAD3，即O的直徑為3.考點(diǎn)三不等式的證明方法技巧證明不等式常用的方法有比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法等；依據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征，也可以直接使用柯西不等式進(jìn)行證明.9.已知m，n是正數(shù)，證明：m2n2.證明m2n2，又m，n均為正數(shù)，m2n20，m2n2.10.設(shè)a，b，c均為正數(shù)，abc1.求證：.證明由a，b，c為正數(shù)，根據(jù)算術(shù)幾何平均不等式，得， .將此三式相加，得2，即.由abc1，則有1.所以，當(dāng)且僅當(dāng)abc1時(shí)等號(hào)成立.11.已知a，b，c均為正數(shù)，且abc1.求證：8.證明要證8成立，只需證8成立.abc1，只需證8成立，即8，又a，b，c>0，只需證8成立，而8顯然成立，8成立.12.已知a，b，c都是實(shí)數(shù)，求證：a2b2c2(abc)2abbcca.證明a，b，cR，a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca.將以上三個(gè)不等式相加，得2(a2b2c2)2(abbcca)，即a2b2c2abbcca.在不等式的左右兩端同時(shí)加上a2b2c2，得3(a2b2c2)(abc)2，即a2b2c2(abc)2.在不等式的左右兩端同時(shí)加上2(abbcca)，得(abc)23(abbcca)，即(abc)2abbcca.由得a2b2c2(abc)2abbcca.考點(diǎn)四柯西不等式方法技巧利用柯西不等式證明不等式或求最值時(shí)，要先根據(jù)柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征對(duì)式子變形，使之與柯西不等式有相似的結(jié)構(gòu).13.(2017江蘇)已知a，b，c，d為實(shí)數(shù)，且a2b24，c2d216，證明：acbd8.證明由柯西不等式，得(acbd)2(a2b2)(c2d2)，因?yàn)閍2b24，c2d216，所以(acbd)264，因此acbd8.14.(2018鹽城模擬)已知正數(shù)x，y，z滿足x2y3z2，求x2y2z2的最小值.解由柯西不等式，可得(122232)(x2y2z2)(x2y3z)2，因?yàn)閤2y3z2，所以x2y2z2，當(dāng)且僅當(dāng)x，y，z時(shí)等號(hào)成立，所以x2y2z2的最小值為.15.已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足a2bc1，a2b2c21，求證：c1.證明因?yàn)閍2bc1，a2b2c21，所以a2b1c，a2b21c2.由柯西不等式知(1222)(a2b2)(a2b)2，當(dāng)且僅當(dāng)，即b2a時(shí)等號(hào)成立.即5(1c2)(1c)2，整理得3c2c20，解得c1.所以c1.16.(2018蘇州模擬)已知a，b，cR，a2b2c21，若|x1|x1|(abc)2對(duì)一切實(shí)數(shù)a，b，c成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.解因?yàn)閍，b，cR，a2b2c21，由柯西不等式得(abc)2(a2b2c2)(111)3，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.因?yàn)閨x1|x1|(abc)2對(duì)一切實(shí)數(shù)a，b，c恒成立，所以|x1|x1|3.當(dāng)x<1時(shí)，2x3，解得x；當(dāng)1x1時(shí)，23不成立；當(dāng)x>1時(shí)，2x3，解得x.綜上，實(shí)數(shù)x的取值范圍為.1.如圖，AB是O的直徑，C是O外一點(diǎn)，且ACAB，BC交O于點(diǎn)D.已知BC4，AD6，AC交O于點(diǎn)E，求四邊形ABDE的周長(zhǎng).解AB是O的直徑，ADBC，又ABAC，D為BC的中點(diǎn)，BC4，AD6，ABAC2，cos C，由ACCECDCB，得CE，AE，DE2CE2CD22CECDcos C4，DE2.四邊形ABDE的周長(zhǎng)l4.2.(2018南京、鹽城模擬)如圖，已知AB為O的直徑，直線DE與O相切于點(diǎn)E，AD垂直DE于點(diǎn)D，若DE4，求切點(diǎn)E到直徑AB的距離.解如圖，過點(diǎn)E作EFAB交AB于點(diǎn)F，連結(jié)AE，OE，因?yàn)橹本€DE與O相切于點(diǎn)E，所以DEOE，因?yàn)锳DDE交DE于點(diǎn)D，所以ADOE，所以DAEOEA.在O中，OEOA，所以O(shè)EAOAE.由得DAEOAE，即DAEFAE，又ADEAFE，AEAE，所以ADEAFE，所以DEFE，又DE4，所以FE4，即點(diǎn)E到直徑AB的距離為4.3.已知x，y，x均為正數(shù)，求證：.證明x，y，z都是正數(shù)，.同理可得，.將上述三個(gè)不等式兩邊分別相加，并除以2，得(當(dāng)且僅當(dāng)xyz時(shí)，等號(hào)成立).4.(2108江蘇七市聯(lián)考)已知a，b，c是正實(shí)數(shù)，且abc5，求證：a22b2c210.證明由柯西不等式得a2(b)2c2(abc)2，因?yàn)閍bc5，所以(a22b2c2)25.所以a22b2c210，當(dāng)且僅當(dāng)a2bc>0時(shí)取等號(hào).