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(江蘇專用)2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第三篇 第31練 幾何證明選講、不等式選講試題 理.docx

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(江蘇專用)2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第三篇 第31練 幾何證明選講、不等式選講試題 理.docx

第31練幾何證明選講、不等式選講明晰考情1.命題角度:三角形及相似三角形的判定與性質(zhì);圓的相交弦定理,切割線定理;圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定;含絕對(duì)值的不等式解法、不等式證明的基本方法、利用不等式性質(zhì)求最值以及幾個(gè)重要不等式的應(yīng)用.2.題目難度:中檔難度.考點(diǎn)一三角形相似的判定及應(yīng)用方法技巧證明三角形相似可以結(jié)合圓的某些性質(zhì)、定理,要注意等量的代換.1.(2016江蘇)如圖,在ABC中,已知ABC90,BDAC,D為垂足,E是BC的中點(diǎn),求證:EDCABD.證明在ADB和ABC中,因?yàn)锳BC90,BDAC,A為公共角,所以ADBABC,所以ABDC.在RtBDC中,因?yàn)镋是斜邊BC的中點(diǎn),所以EDEC,從而EDCC,所以EDCABD.2.(2017江蘇)如圖,AB為半圓O的直徑,直線PC切半圓O于點(diǎn)C,APPC,P為垂足.(1)求證:PACCAB;(2)求證:AC2APAB.證明(1)因?yàn)镻C切半圓O于點(diǎn)C,所以PCACBA.因?yàn)锳B為半圓O的直徑,所以ACB90.因?yàn)锳PPC,所以APC90,因此PACCAB.(2)由(1)知,APCACB,故,即AC2APAB.3.(2018蘇州模擬)如圖,AB,AC與圓O分別切于點(diǎn)B,C,點(diǎn)P為圓O上異于點(diǎn)B,C的任意一點(diǎn),PDAB于點(diǎn)D,PEAC于點(diǎn)E,PFBC于點(diǎn)F.求證:PF2PDPE.證明連結(jié)PB,PC,因?yàn)镻CF,PBD分別為圓弧BP上的圓周角和弦切角,所以PCFPBD.因?yàn)镻DBD,PFFC,所以PDBPFC,故.同理,PBFPCE,又PEEC,PFFB,所以PFBPEC,故,所以,即PF2PDPE.4.如圖,AB,AC是O的切線,ADE是O的割線,求證:BECDBDCE.證明因?yàn)锳B是O的切線,所以ABDAEB.又因?yàn)锽ADEAB,所以BADEAB,所以.同理,.因?yàn)锳B,AC是O的切線,所以ABAC.因此,即BECDBDCE.考點(diǎn)二圓有關(guān)定理、性質(zhì)的應(yīng)用方法技巧和圓有關(guān)的計(jì)算證明問題,要靈活運(yùn)用圓和三角形的性質(zhì),以目標(biāo)為導(dǎo)向,根據(jù)需要找角、線段長(zhǎng)度的關(guān)系,適時(shí)進(jìn)行等量代換.5.(2018江蘇)如圖,圓O的半徑為2,AB為圓O的直徑,P為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),過P作圓O的切線,切點(diǎn)為C.若PC2,求BC的長(zhǎng).證明如圖,連結(jié)OC.因?yàn)镻C與圓O相切,所以O(shè)CPC.又因?yàn)镻C2,OC2,所以O(shè)P4.又因?yàn)镺B2,從而B為RtOCP斜邊的中點(diǎn),所以BC2.6.(2018南京模擬)如圖,CD是圓O的切線,切點(diǎn)為D,CA是過圓心O的割線且交圓O于點(diǎn)B,DADC,求證:CA3CB.證明如圖,連結(jié)OD,因?yàn)镈ADC,所以DAOC.在圓O中,AODO,所以DAOADO,所以DOC2DAO2C.因?yàn)镃D為圓O的切線,所以O(shè)DC90,從而DOCC90,即2CC90,故C30,所以O(shè)C2OD2OB,所以CBOB,所以CA3CB.7.(2018蘇州模擬)如圖,圓O的直徑AB4,C為圓周上一點(diǎn),BC2,過C作圓O的切線l,過點(diǎn)A作l的垂線AD,AD分別與直線l和圓O交于點(diǎn)D,E,求線段AE的長(zhǎng).解在RtABC中,因?yàn)锳B4,BC2,所以ABC60.因?yàn)閘為過點(diǎn)C的切線,所以DCAABC60.因?yàn)锳DDC,所以DAC30.連結(jié)OE,在AOE中,因?yàn)镋AODACCAB60,且OEOA,所以AEAOAB2.8.如圖,AB切O于點(diǎn)B,直線AO交O于D,E兩點(diǎn),BCDE,垂足為C.(1)證明:CBDDBA;(2)若AD3DC,BC,求O的直徑.(1)證明因?yàn)镈E為O的直徑,所以BEDEDB90,又BCDE,所以CBDEDB90,從而CBDBED.又AB切O于點(diǎn)B,所以DBABED,所以CBDDBA,(2)解由(1)知BD平分CBA,則3,又BC,從而AB3.所以AC4,所以AD3.由切割線定理得AB2ADAE,即AE6,故DEAEAD3,即O的直徑為3.考點(diǎn)三不等式的證明方法技巧證明不等式常用的方法有比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法等;依據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征,也可以直接使用柯西不等式進(jìn)行證明.9.已知m,n是正數(shù),證明:m2n2.證明m2n2,又m,n均為正數(shù),m2n20,m2n2.10.設(shè)a,b,c均為正數(shù),abc1.求證:.證明由a,b,c為正數(shù),根據(jù)算術(shù)幾何平均不等式,得, .將此三式相加,得2,即.由abc1,則有1.所以,當(dāng)且僅當(dāng)abc1時(shí)等號(hào)成立.11.已知a,b,c均為正數(shù),且abc1.求證:8.證明要證8成立,只需證8成立.abc1,只需證8成立,即8,又a,b,c>0,只需證8成立,而8顯然成立,8成立.12.已知a,b,c都是實(shí)數(shù),求證:a2b2c2(abc)2abbcca.證明a,b,cR,a2b22ab,b2c22bc,c2a22ca.將以上三個(gè)不等式相加,得2(a2b2c2)2(abbcca),即a2b2c2abbcca.在不等式的左右兩端同時(shí)加上a2b2c2,得3(a2b2c2)(abc)2,即a2b2c2(abc)2.在不等式的左右兩端同時(shí)加上2(abbcca),得(abc)23(abbcca),即(abc)2abbcca.由得a2b2c2(abc)2abbcca.考點(diǎn)四柯西不等式方法技巧利用柯西不等式證明不等式或求最值時(shí),要先根據(jù)柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征對(duì)式子變形,使之與柯西不等式有相似的結(jié)構(gòu).13.(2017江蘇)已知a,b,c,d為實(shí)數(shù),且a2b24,c2d216,證明:acbd8.證明由柯西不等式,得(acbd)2(a2b2)(c2d2),因?yàn)閍2b24,c2d216,所以(acbd)264,因此acbd8.14.(2018鹽城模擬)已知正數(shù)x,y,z滿足x2y3z2,求x2y2z2的最小值.解由柯西不等式,可得(122232)(x2y2z2)(x2y3z)2,因?yàn)閤2y3z2,所以x2y2z2,當(dāng)且僅當(dāng)x,y,z時(shí)等號(hào)成立,所以x2y2z2的最小值為.15.已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足a2bc1,a2b2c21,求證:c1.證明因?yàn)閍2bc1,a2b2c21,所以a2b1c,a2b21c2.由柯西不等式知(1222)(a2b2)(a2b)2,當(dāng)且僅當(dāng),即b2a時(shí)等號(hào)成立.即5(1c2)(1c)2,整理得3c2c20,解得c1.所以c1.16.(2018蘇州模擬)已知a,b,cR,a2b2c21,若|x1|x1|(abc)2對(duì)一切實(shí)數(shù)a,b,c成立,求實(shí)數(shù)x的取值范圍.解因?yàn)閍,b,cR,a2b2c21,由柯西不等式得(abc)2(a2b2c2)(111)3,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.因?yàn)閨x1|x1|(abc)2對(duì)一切實(shí)數(shù)a,b,c恒成立,所以|x1|x1|3.當(dāng)x<1時(shí),2x3,解得x;當(dāng)1x1時(shí),23不成立;當(dāng)x>1時(shí),2x3,解得x.綜上,實(shí)數(shù)x的取值范圍為.1.如圖,AB是O的直徑,C是O外一點(diǎn),且ACAB,BC交O于點(diǎn)D.已知BC4,AD6,AC交O于點(diǎn)E,求四邊形ABDE的周長(zhǎng).解AB是O的直徑,ADBC,又ABAC,D為BC的中點(diǎn),BC4,AD6,ABAC2,cos C,由ACCECDCB,得CE,AE,DE2CE2CD22CECDcos C4,DE2.四邊形ABDE的周長(zhǎng)l4.2.(2018南京、鹽城模擬)如圖,已知AB為O的直徑,直線DE與O相切于點(diǎn)E,AD垂直DE于點(diǎn)D,若DE4,求切點(diǎn)E到直徑AB的距離.解如圖,過點(diǎn)E作EFAB交AB于點(diǎn)F,連結(jié)AE,OE,因?yàn)橹本€DE與O相切于點(diǎn)E,所以DEOE,因?yàn)锳DDE交DE于點(diǎn)D,所以ADOE,所以DAEOEA.在O中,OEOA,所以O(shè)EAOAE.由得DAEOAE,即DAEFAE,又ADEAFE,AEAE,所以ADEAFE,所以DEFE,又DE4,所以FE4,即點(diǎn)E到直徑AB的距離為4.3.已知x,y,x均為正數(shù),求證:.證明x,y,z都是正數(shù),.同理可得,.將上述三個(gè)不等式兩邊分別相加,并除以2,得(當(dāng)且僅當(dāng)xyz時(shí),等號(hào)成立).4.(2108江蘇七市聯(lián)考)已知a,b,c是正實(shí)數(shù),且abc5,求證:a22b2c210.證明由柯西不等式得a2(b)2c2(abc)2,因?yàn)閍bc5,所以(a22b2c2)25.所以a22b2c210,當(dāng)且僅當(dāng)a2bc>0時(shí)取等號(hào).

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