（浙江專(zhuān)用）2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)精準(zhǔn)提分 第二篇 重點(diǎn)專(zhuān)題分層練中高檔題得高分 第13練 數(shù)列的綜合問(wèn)題試題.docx

第13練數(shù)列的綜合問(wèn)題明晰考情1.命題角度：考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定與證明；以an，Sn的關(guān)系為切入點(diǎn)，考查數(shù)列的通項(xiàng)、前n項(xiàng)和等；數(shù)列和不等式的綜合應(yīng)用.2.題目難度：中檔難度或偏難考點(diǎn)一等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定與證明方法技巧判斷等差(比)數(shù)列的常用方法(1)定義法：若an1and，d為常數(shù)，則an為等差(比)數(shù)列(2)中項(xiàng)公式法(3)通項(xiàng)公式法1已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中為常數(shù)(1)證明：an2an；(2)是否存在，使得an為等差數(shù)列？并說(shuō)明理由(1)證明由題設(shè)知，anan1Sn1，an1an2Sn11，兩式相減得an1(an2an)an1，由于an10，所以an2an.(2)解由題設(shè)知，a11，a1a2S11，可得a21.由(1)知，a31.令2a2a1a3，解得4.故an2an4，由此可得數(shù)列a2n1是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，a2n14n3；數(shù)列a2n是首項(xiàng)為3，公差為4的等差數(shù)列，a2n4n1.所以an2n1，an1an2，因此存在4，使得數(shù)列an為等差數(shù)列2已知數(shù)列an滿(mǎn)足a12，且an12an2n1，nN*.(1)設(shè)bn，證明：bn為等差數(shù)列，并求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(2)在(1)的條件下，求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn.解(1)把a(bǔ)n2nbn代入到an12an2n1，得2n1bn12n1bn2n1，兩邊同除以2n1，得bn1bn1，即bn1bn1，bn為等差數(shù)列，首項(xiàng)b11，公差為1，bnn(nN*)(2)由bnn，得ann2n，Sn121222323n2n，2Sn122223324(n1)2nn2n1，兩式相減，得Sn2122232nn2n1(1n)2n12，Sn(n1)2n12(nN*)3已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足Sn2an(1)n(nN*)(1)求數(shù)列an的前三項(xiàng)a1，a2，a3；(2)求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出an的通項(xiàng)公式(1)解在Sn2an(1)n(nN*)中分別令n1,2,3，得解得(2)證明由Sn2an(1)n(nN*)，得Sn12an1(1)n1(n2)，兩式相減，得an2an12(1)n(n2)，an2an1(1)n(1)n2an1(1)n1(1)n(n2)，an(1)n2(n2)故數(shù)列是以a1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列an(1)n2n1，an2n1(1)n(1)n(nN)*.考點(diǎn)二數(shù)列的通項(xiàng)與求和方法技巧(1)根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)的常用方法累加(乘)法形如an1anf(n)的數(shù)列，可用累加法；形如f(n)的數(shù)列，可用累乘法構(gòu)造數(shù)列法形如an1，可轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造等差數(shù)列；形如an1panq(pq0，且p1)，可轉(zhuǎn)化為an1p構(gòu)造等比數(shù)列.(2)數(shù)列求和的常用方法倒序相加法；分組求和法；錯(cuò)位相減法；裂項(xiàng)相消法4已知數(shù)列an的首項(xiàng)a11，前n項(xiàng)和為Sn(nN*)，且數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若bn(1)nan，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.解(1)由已知得1(n1)22n1，所以Sn2n2n.當(dāng)n2時(shí)，anSnSn12n2n2(n1)2(n1)4n3.而a11413滿(mǎn)足上式，所以an4n3，nN*.(2)由(1)可得bn(1)nan(1)n(4n3)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Tn(15)(913)(4n7)(4n3)42n；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，n1為偶數(shù)，TnTn1bn12(n1)(4n1)2n1.綜上，Tn5已知數(shù)列an，bn滿(mǎn)足a1，anbn1，bn1.(1)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)Sna1a2a2a3a3a4anan1，求Sn.解(1)bn1.a1，b1，因?yàn)閎n111，所以1，所以數(shù)列是以4為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以4(n1)n3，所以bn1(nN*)(2)因?yàn)閍n1bn，所以Sna1a2a2a3a3a4anan1(nN*)6已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若an3Sn4，bnlog2an1.(1)求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式；(2)令cn，其中nN*，若數(shù)列cn的前n項(xiàng)和為T(mén)n，求Tn.解(1)由a13S143a14，得a11，由an3Sn4，知an13Sn14，兩式相減并化簡(jiǎn)得an1an，數(shù)列an是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，ann1，nN*，bnlog2an1log2n2n(nN*)(2)由題意知，cn.令Hn，則Hn，得，Hn1.Hn2.又Mn11，TnHnMn2(nN*)考點(diǎn)三數(shù)列與不等式方法技巧數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題把數(shù)列知識(shí)與不等式的內(nèi)容整合在一起，形成了關(guān)于證明不等式、求不等式中的參數(shù)取值范圍、求數(shù)列中的最大(小)項(xiàng)、比較數(shù)列中項(xiàng)的大小等問(wèn)題，而數(shù)列的條件可能是等差數(shù)列、等比數(shù)列，甚至是一個(gè)遞推公式等，求解方法既要用到不等式知識(shí)(如比較法、放縮法、基本不等式法等)，又要用到數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)7已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足Snan(1)n2(nN*)(1)證明an(1)n為等比數(shù)列，并求出an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為T(mén)n，證明：Tn<(nN*)(1)解由得an1an1an(1)n1(1)n，即an13an2(1)n12(1)n，3，an(1)n為等比數(shù)列對(duì)于Snan(1)n2，令n1，解得a12，an(1)n是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，an(1)n3n，即an3n(1)n(nN*)(2)證明方法一當(dāng)k為正偶數(shù)時(shí)，<，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Tn<<，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，n1為奇數(shù)，Tn<Tn1<，Tn<(nN*)方法二當(dāng)n3時(shí)，<，Tn<<<.8各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿(mǎn)足：Snaan(nN*)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為T(mén)n，證明：對(duì)一切正整數(shù)n，都有Tn.(1)解由Snaan，當(dāng)n2時(shí)，Sn1aan1，由化簡(jiǎn)得(anan1)(anan12)0，又?jǐn)?shù)列an的各項(xiàng)為正數(shù)，當(dāng)n2時(shí)，anan12，故數(shù)列an成等差數(shù)列，公差為2，a1S1aa1，解得a11，an2n1(nN*)(2)證明Tn.當(dāng)n1時(shí)，T11<，當(dāng)n2時(shí)，Tn<111.綜上，對(duì)一切正整數(shù)n，都有Tn.9已知數(shù)列an滿(mǎn)足a10，an1(nN*)求證：(1)an1>an，nN*；(2)an1，nN*；(3)當(dāng)n2時(shí)，an.證明(1)an1an，an11an1，(an11)(an1)(an1)21>0，故an11與an1同號(hào)又a111>0，an1>0，an1an>0，故an1>an，nN*.(2)ak11ak1，kN*，(ak11)2(ak1)22>(ak1)22，kN*，當(dāng)n2時(shí)，(an1)2(an1)2(an11)2(an11)2(an21)2(a21)2(a11)2(a11)2>2(n1)12n1，又an1>0，故當(dāng)n2時(shí)，an1>.即當(dāng)n2時(shí)，an>1.又當(dāng)n1時(shí)，a110，所以an1，nN*.(3)由(2)知ak1ak，kN*，所以當(dāng)n2時(shí)，ana1(a2a1)(a3a2)(an1an2)(anan1)，即當(dāng)n2時(shí)，an1.當(dāng)n3時(shí)，<，所以當(dāng)n3時(shí)，an1<1(1)()()，又a21，所以n2時(shí)，an.例(15分)已知在數(shù)列an中，a13，2an1a2an4.(1)證明：an1an；(2)證明：an2n1；(3)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，求證：1nSn1.審題路線圖(1)(2)(3)規(guī)范解答評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)證明(1)2an12ana4an4(an2)20，2分an1an3，(an2)20，an1an.4分(2)2an14a2anan(an2)，6分，an2(an12)2(an22)n1(a12)n1，an2n1.9分(3)2(an12)an(an2)，10分，12分Sn1.13分an12n，0n，1nSn11.15分構(gòu)建答題模板第一步辨特征：認(rèn)真分析所給數(shù)列的遞推式，找出其結(jié)構(gòu)特征第二步巧放縮：結(jié)合要證結(jié)論，對(duì)遞推式進(jìn)行變換、放縮，利用作差、作商、數(shù)學(xué)歸納法、反證法等技巧逐步向欲證不等式靠近第三步得結(jié)論：消滅目標(biāo)不等式和放縮到的不等式間的差別，得出結(jié)論1(2018浙江)已知等比數(shù)列an的公比q1，且a3a4a528，a42是a3，a5的等差中項(xiàng)數(shù)列bn滿(mǎn)足b11，數(shù)列(bn1bn)an的前n項(xiàng)和為2n2n.(1)求q的值；(2)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式解(1)由a42是a3，a5的等差中項(xiàng)，得a3a52a44，所以a3a4a53a4428，解得a48.由a3a520，得820，解得q2或q.因?yàn)閝1，所以q2.(2)設(shè)cn(bn1bn)an，數(shù)列cn的前n項(xiàng)和為Sn.由cn解得cn4n1.由(1)可得an2n1，所以bn1bn(4n1)n1，故bnbn1(4n5)n2，n2，bnb1(bnbn1)(bn1bn2)(b3b2)(b2b1)(4n5)n2(4n9)n373.設(shè)Tn37112(4n5)n2，n2，則Tn372(4n9)n2(4n5)n1，n2，得Tn34424n2(4n5)n1，n2，因此Tn14(4n3)n2，n2.又b11，所以bn15(4n3)n2，n2，當(dāng)n1時(shí)，b11也滿(mǎn)足上式，所以bn15(4n3)n2.2設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知S24，an12Sn1，nN*.(1)求通項(xiàng)公式an；(2)求數(shù)列|ann2|的前n項(xiàng)和解(1)由題意得得又當(dāng)n2時(shí)，由an1an(2Sn1)(2Sn11)2an，得an13an，又a23a1，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an3n1，nN*.(2)設(shè)bn|3n1n2|，nN*，b12，b21，當(dāng)n3時(shí)，由于3n1n2，故bn3n1n2，n3.設(shè)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為T(mén)n，則T12，T23，當(dāng)n3時(shí)，Tn3，經(jīng)驗(yàn)證T2符合上求Tn3已知數(shù)列an，bn滿(mǎn)足a11，b12，an1，bn1.(1)求證：當(dāng)n2時(shí)，an1anbnbn1；(2)設(shè)Sn為數(shù)列|anbn|的前n項(xiàng)和，求證：Sn<.證明(1)當(dāng)n2時(shí)，bnan0，故有bnan(n2且nN*)，所以anan1，bnbn1.綜上，an1anbnbn1.(2)由(1)知<，23()()，故|anbn|，故Sn1<.4(2017浙江)已知數(shù)列xn滿(mǎn)足：x11，xnxn1ln(1xn1)(nN*)證明：當(dāng)nN*時(shí)，(1)0xn1xn；(2)2xn1xn；(3)xn.證明(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明xn0.當(dāng)n1時(shí)，x110.假設(shè)nk(kN*)時(shí)，xk0，那么nk1時(shí)，若xk10，則0xkxk1ln(1xk1)0，與假設(shè)矛盾，故xk10，因此xn0(nN*)所以xnxn1ln(1xn1)xn1，因此0xn1xn(nN*)(2)由xnxn1ln(1xn1)得，xnxn14xn12xnx2xn1(xn12)ln(1xn1)記函數(shù)f(x)x22x(x2)ln(1x)(x0)f(x)ln0(x0)，函數(shù)f(x)在0，)上單調(diào)遞增，所以f(x)f(0)0，因此x2xn1(xn12)ln(1xn1)f(xn1)0，故2xn1xn(nN*)(3)因?yàn)閤nxn1ln(1xn1)xn1xn12xn1，所以xn.由2xn1xn得20，所以22n12n2，故xn.綜上，xn(nN*)