（浙江專用）2020版高考數(shù)學新增分大一輪復習 第五章 三角函數(shù)、解三角形 5.3 三角函數(shù)的圖象與性質講義（含解析）.docx

5.3三角函數(shù)的圖象與性質最新考綱考情考向分析1.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的定義及其圖象與性質2.了解三角函數(shù)的周期性.以考查三角函數(shù)的圖象和性質為主，題目涉及三角函數(shù)的圖象及應用、圖象的對稱性、單調性、周期性、最值、零點考查三角函數(shù)性質時，常與三角恒等變換結合，加強數(shù)形結合思想、函數(shù)與方程思想的應用意識題型既有選擇題和填空題，又有解答題，中檔難度.1用五點法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖(1)在正弦函數(shù)ysinx，x0,2的圖象中，五個關鍵點是：(0,0)，(，0)，(2，0)(2)在余弦函數(shù)ycosx，x0,2的圖象中，五個關鍵點是：(0,1)，(，1)，(2，1)2正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(下表中kZ)函數(shù)ysinxycosxytanx圖象定義域RR值域1,11,1R周期性22奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)遞增區(qū)間2k，2k遞減區(qū)間2k，2k無對稱中心(k，0)對稱軸方程xkxk無概念方法微思考1正(余)弦曲線相鄰兩條對稱軸之間的距離是多少？相鄰兩個對稱中心的距離呢？提示正(余)弦曲線相鄰兩條對稱軸之間的距離是半個周期；相鄰兩個對稱中心的距離也為半個周期2思考函數(shù)f(x)Asin(x)(A0，0)是奇函數(shù)，偶函數(shù)的充要條件？提示(1)f(x)為偶函數(shù)的充要條件是k(kZ)；(2)f(x)為奇函數(shù)的充要條件是k(kZ)題組一思考辨析1判斷下列結論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)ysinx在第一、第四象限是增函數(shù)()(2)由sinsin知，是正弦函數(shù)ysinx(xR)的一個周期()(3)正切函數(shù)ytanx在定義域內是增函數(shù)()(4)已知yksinx1，xR，則y的最大值為k1.()(5)ysin|x|是偶函數(shù)()題組二教材改編2P35例2函數(shù)f(x)cos的最小正周期是_答案3P46A組T2y3sin在區(qū)間上的值域是_答案解析當x時，2x，sin，故3sin，即y3sin的值域為.4P47B組T2函數(shù)ytan的單調遞減區(qū)間為_答案(kZ)解析由k<2x<k(kZ)，得<x<(kZ)，所以ytan的單調遞減區(qū)間為(kZ)題組三易錯自糾5下列函數(shù)中最小正周期為且圖象關于直線x對稱的是()Ay2sinBy2sinCy2sinDy2sin答案B解析函數(shù)y2sin的最小正周期T，又sin1，函數(shù)y2sin的圖象關于直線x對稱6函數(shù)f(x)4sin的單調遞減區(qū)間是_答案(kZ)解析f(x)4sin4sin.所以要求f(x)的單調遞減區(qū)間，只需求y4sin的單調遞增區(qū)間由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)所以函數(shù)f(x)的單調遞減區(qū)間是(kZ)7cos23，sin68，cos97的大小關系是_答案sin68>cos23>cos97解析sin68cos22，又ycosx在0，180上是減函數(shù)，sin68>cos23>cos97.題型一三角函數(shù)的定義域1函數(shù)f(x)2tan的定義域是()A.B.C.D.答案D解析由正切函數(shù)的定義域，得2xk，kZ，即x(kZ)，故選D.2函數(shù)y的定義域為_答案(kZ)解析方法一要使函數(shù)有意義，必須使sinxcosx0.利用圖象，在同一坐標系中畫出0,2上ysinx和ycosx的圖象，如圖所示在0,2內，滿足sinxcosx的x為，再結合正弦、余弦函數(shù)的周期是2，所以原函數(shù)的定義域為.方法二利用三角函數(shù)線，畫出滿足條件的終邊范圍(如圖中陰影部分所示)所以定義域為.3函數(shù)ylg(sinx)的定義域為_答案解析要使函數(shù)有意義，則即解得所以2k<x2k(kZ)，所以函數(shù)的定義域為.思維升華三角函數(shù)定義域的求法求三角函數(shù)的定義域實際上是構造簡單的三角不等式(組)，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來求解題型二三角函數(shù)的值域(最值)例1(1)函數(shù)y2sin(0x9)的最大值與最小值之和為()A2B0C1D1答案A解析因為0x9，所以，所以sin1，則y2.所以ymaxymin2.(2)函數(shù)ycos2x2cosx的值域是()A1,3B.C.D.答案B解析ycos2x2cosx2cos2x2cosx122，因為cosx1,1，所以原式的值域為.(3)(2018全國)已知函數(shù)f(x)2sinxsin2x，則f(x)的最小值是_答案解析f(x)2cosx2cos2x2cosx2(2cos2x1)2(2cos2xcosx1)2(2cosx1)(cosx1)cosx10，當cosx<時，f(x)<0，f(x)單調遞減；當cosx>時，f(x)>0，f(x)單調遞增，當cosx時，f(x)有最小值又f(x)2sinxsin2x2sinx(1cosx)，當sinx時，f(x)有最小值，即f(x)min2.思維升華求解三角函數(shù)的值域(最值)常見到以下幾種類型：(1)形如yasinxbcosxc的三角函數(shù)化為yAsin(x)c的形式，再求值域(最值)；(2)形如yasin2xbsinxc的三角函數(shù)，可先設sinxt，化為關于t的二次函數(shù)求值域(最值)；(3)形如yasinxcosxb(sinxcosx)c的三角函數(shù)，可先設tsinxcosx，化為關于t的二次函數(shù)求值域(最值)(4)一些復雜的三角函數(shù)，可考慮利用導數(shù)確定函數(shù)的單調性，然后求最值跟蹤訓練1(1)(2017臺州模擬)已知函數(shù)f(x)sin，其中x，若f(x)的值域是，則實數(shù)a的取值范圍是_答案解析x，x，當x時，f(x)的值域為，由函數(shù)的圖象(圖略)知，a，a.(2)函數(shù)ysinxcosxsinxcosx的值域為_答案解析設tsinxcosx，則t2sin2xcos2x2sinxcosx，sinxcosx，且t.yt(t1)21，t，當t1時，ymax1；當t時，ymin.函數(shù)的值域為.題型三三角函數(shù)的周期性、奇偶性、對稱性命題點1三角函數(shù)的周期性例2(1)(2016浙江)設函數(shù)f(x)sin2xbsinxc，則f(x)的最小正周期()A與b有關，且與c有關B與b有關，但與c無關C與b無關，且與c無關D與b無關，但與c有關答案B解析因為f(x)sin2xbsinxcbsinxc，其中當b0時，f(x)c，f(x)的周期為；b0時，f(x)的周期為2.即f(x)的周期與b有關但與c無關，故選B.(2)若函數(shù)f(x)2tan的最小正周期T滿足1<T<2，則自然數(shù)k的值為_答案2或3解析由題意得，1<<2，k<<2k，即<k<，又k是自然數(shù)，k2或3.命題點2三角函數(shù)的奇偶性例3函數(shù)f(x)3sin，(0，)滿足f(|x|)f(x)，則的值為_答案解析由題意知f(x)為偶函數(shù)，關于y軸對稱，f(0)3sin3，k，kZ，又0<<，.命題點3三角函數(shù)圖象的對稱性例4(1)(2017溫州“十五校聯(lián)合體”期末聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)asinxbcosx(a，b為常數(shù)，a0，xR)在x處取得最小值，則函數(shù)g(x)f是()A偶函數(shù)且它的圖象關于點(，0)對稱B奇函數(shù)且它的圖象關于點(，0)對稱C奇函數(shù)且它的圖象關于點對稱D偶函數(shù)且它的圖象關于點對稱答案B解析已知函數(shù)f(x)asinxbcosx(a，b為常數(shù)，a0，xR)，所以f(x)sin(x)的周期為2，若函數(shù)在x處取得最小值，不妨設f(x)sin，則函數(shù)yfsinsinx，所以yf是奇函數(shù)且它的圖象關于點(，0)對稱(2)已知函數(shù)f(x)sin(x)，x為f(x)的零點，x為yf(x)圖象的對稱軸，且f(x)在上單調，則的最大值為_答案9解析因為x為f(x)的零點，x為f(x)的圖象的對稱軸，所以，即T，所以2k1(kN)，又因為f(x)在上單調，所以，即12，若11，又|，則，此時，f(x)sin，f(x)在上單調遞增，在上單調遞減，不滿足條件若9，又|，則，此時，f(x)sin，滿足f(x)在上單調的條件由此得的最大值為9.思維升華 (1)對于函數(shù)yAsin(x)(A0，0)，其對稱軸一定經(jīng)過圖象的最高點或最低點，對稱中心的橫坐標一定是函數(shù)的零點(2)求三角函數(shù)周期的方法利用周期函數(shù)的定義利用公式：yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期為，ytan(x)的最小正周期為.跟蹤訓練2(1)函數(shù)y2sin的圖象()A關于原點對稱B關于點對稱C關于y軸對稱D關于直線x對稱答案B解析當x時，函數(shù)y2sin0，函數(shù)圖象關于點對稱(2)若直線x和x是函數(shù)ycos(x)(>0)圖象的兩條相鄰對稱軸，則的一個可能取值為()A.B.C.D.答案A解析由題意，函數(shù)的周期T22，1，ycos(x)，當x時，函數(shù)取得最大值或最小值，即cos1，可得k，kZ，k，kZ.當k2時，可得.題型四三角函數(shù)的單調性命題點1求三角函數(shù)的單調區(qū)間例5(1)函數(shù)f(x)sin的單調遞減區(qū)間為_答案(kZ)解析f(x)sinsinsin，由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.故所求函數(shù)的單調遞減區(qū)間為(kZ)(2)函數(shù)f(x)tan的單調遞增區(qū)間是_答案(kZ)解析由k<2x<k(kZ)，得<x<(kZ)，所以函數(shù)f(x)tan的單調遞增區(qū)間為(kZ)(3)函數(shù)ysinxcosx的單調遞增區(qū)間是_答案解析ysinxcosxsin，由2kx2k(kZ)，解得2kx2k(kZ)函數(shù)的單調遞增區(qū)間為(kZ)，又x，函數(shù)的單調遞增區(qū)間為.命題點2根據(jù)單調性求參數(shù)例6已知>0，函數(shù)f(x)sin在上單調遞減，則的取值范圍是_答案解析由<x<，>0，得<x<，又ysinx的單調遞減區(qū)間為，kZ，所以kZ，解得4k2k，kZ.又由4k0，kZ且2k>0，kZ，得k0，所以.引申探究本例中，若已知>0，函數(shù)f(x)cos在上單調遞增，則的取值范圍是_答案解析函數(shù)ycosx的單調遞增區(qū)間為2k，2k，kZ，則kZ，解得4k2k，kZ，又由4k0，kZ且2k>0，kZ，得k1，所以.思維升華 (1)已知三角函數(shù)解析式求單調區(qū)間求形如yAsin(x)或yAcos(x)(其中>0)的單調區(qū)間時，要視“x”為一個整體，通過解不等式求解但如果<0，可借助誘導公式將化為正數(shù)，防止把單調性弄錯(2)已知三角函數(shù)的單調區(qū)間求參數(shù)先求出函數(shù)的單調區(qū)間，然后利用集合間的關系求解跟蹤訓練3(1)已知函數(shù)f(x)2sin，則函數(shù)f(x)的單調遞減區(qū)間為()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)答案D解析函數(shù)的解析式可化為f(x)2sin.由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)，即函數(shù)f(x)的單調遞減區(qū)間為(kZ)(2)若函數(shù)g(x)sin在區(qū)間和上均單調遞增，則實數(shù)a的取值范圍是_答案解析由2k2x2k(kZ)，可得kxk(kZ)，g(x)的單調遞增區(qū)間為(kZ)又函數(shù)g(x)在區(qū)間和上均單調遞增，解得a<.三角函數(shù)的圖象與性質縱觀近年高考中三角函數(shù)的試題，其有關性質幾乎每年必考，題目較為簡單，綜合性的知識多數(shù)為三角函數(shù)本章內的知識，通過有效地復習完全可以對此類題型及解法有效攻破，并在高考中拿全分例(1)(2018浙江十校聯(lián)盟適應性考試)下列四個函數(shù)中，以為最小正周期，在上單調遞減且為偶函數(shù)的是()Aysin|x|Bycos|x|Cy|tanx|Dyln|sinx|答案D解析由題意知函數(shù)ysin|x|在上單調遞增，ycos|x|的最小正周期為2，y|tanx|在上單調遞增因為f(x)|sinx|為偶函數(shù)，且當x時單調遞增，所以yln|sinx|為偶函數(shù)，且當x時單調遞減，又g(x)sinx的最小正周期為2，所以f(x)|sinx|的最小正周期為，則函數(shù)yln|sinx|的最小正周期為，故選D.(2)設函數(shù)f(x)cos，則下列結論錯誤的是()Af(x)的一個周期為2Byf(x)的圖象關于直線x對稱Cf(x)的一個零點為xDf(x)在上單調遞減答案D解析A項，因為f(x)cos的周期為2k(kZ，且k0)，所以f(x)的一個周期為2，A項正確；B項，因為f(x)cos的圖象的對稱軸為直線xk(kZ)，所以yf(x)的圖象關于直線x對稱，B項正確；C項，f(x)cos.令xk(kZ)，得xk(kZ)，當k1時，x，所以f(x)的一個零點為x，C項正確；D項，因為f(x)cos的單調遞減區(qū)間為(kZ)，單調遞增區(qū)間為(kZ)，所以f(x)在上單調遞減，在上單調遞增，D項錯誤故選D.(3)函數(shù)f(x)cos(x)(>0)的部分圖象如圖所示，則f(x)的單調遞減區(qū)間為_答案，kZ解析由圖象知，周期T22，2，.由2k，kZ，不妨取，f(x)cos.由2k<x<2k，kZ，得2k<x<2k，kZ，f(x)的單調遞減區(qū)間為，kZ.(4)設函數(shù)f(x)Asin(x)(A，是常數(shù)，A>0，>0)若f(x)在區(qū)間上具有單調性，且fff，則f(x)的最小正周期為_答案解析記f(x)的最小正周期為T.由題意知，又fff，且，可作出示意圖如圖所示(一種情況)：x1，x2，x2x1，T.1(2018浙江六校協(xié)作體期末聯(lián)考)“k(kZ)”是“函數(shù)f(x)cos(x)是奇函數(shù)”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件答案C解析若k(kZ)，則f(x)cos(x)cossinx，函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，所以充分性成立；反之，若函數(shù)f(x)cos(x)是奇函數(shù)，則0k(kZ)，即k(kZ)，因此必要性成立所以“k(kZ)”是“函數(shù)f(x)cos(x)是奇函數(shù)”的充要條件，故選C.2函數(shù)f(x)sin在區(qū)間上的最小值為()A1BC.D0答案B解析由已知x，得2x，所以sin，故函數(shù)f(x)sin在區(qū)間上的最小值為.故選B.3(2019舟山模擬)函數(shù)ysinx2的圖象是()答案D解析函數(shù)ysinx2為偶函數(shù)，排除A，C；又當x時函數(shù)取得最大值，排除B，故選D.4函數(shù)ycos2x2sinx的最大值與最小值分別為()A3，1B3，2C2，1D2，2答案D解析ycos2x2sinx1sin2x2sinxsin2x2sinx1，令tsinx，則t1,1，yt22t1(t1)22，所以ymax2，ymin2.5已知函數(shù)f(x)2sin(2x)的圖象過點(0，)，則f(x)圖象的一個對稱中心是()A.B.C.D.答案B解析函數(shù)f(x)2sin(2x)的圖象過點(0，)，則f(0)2sin，sin，又|<，則f(x)2sin，令2xk(kZ)，則x(kZ)，當k0時，x，是函數(shù)f(x)的圖象的一個對稱中心6已知函數(shù)f(x)sin(2x)，其中為實數(shù)，若f(x)對任意xR恒成立，且f>0，則f(x)的單調遞減區(qū)間是()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)答案C解析由題意可得函數(shù)f(x)sin(2x)的圖象關于直線x對稱，故有2k，kZ，即k，kZ.又fsin>0，所以2n，nZ，所以f(x)sin(2x2n)sin2x.令2k2x2k，kZ，求得kxk，kZ，故函數(shù)f(x)的單調遞減區(qū)間為，kZ.7函數(shù)y的定義域為_答案解析要使函數(shù)有意義必須有tan0，則所以x，kZ，所以x，kZ，所以原函數(shù)的定義域為.8設函數(shù)f(x)3sin，若存在這樣的實數(shù)x1，x2，對任意的xR，都有f(x1)f(x)f(x2)成立，則|x1x2|的最小值為_答案2解析|x1x2|的最小值為函數(shù)f(x)的半個周期，又T4，|x1x2|的最小值為2.9(2018浙江溫州中學模擬)函數(shù)f(x)2cos2xcos1，則函數(shù)的最小正周期為_，在0，內的對稱軸方程是_答案x和x解析因為f(x)1cos2xcos2xsin2x1sin2xcos2xsin，所以最小正周期T.解sin1，得f(x)的對稱軸方程為x(kZ)由于x0，所以在0，內的對稱軸方程是x和x.10已知函數(shù)f(x)，則下列說法正確的是_(填序號)f(x)的周期是；f(x)的值域是y|yR，且y0；直線x是函數(shù)f(x)圖象的一條對稱軸；f(x)的單調遞減區(qū)間是，kZ.答案解析函數(shù)f(x)的周期為2，錯；f(x)的值域為0，)，錯；當x時，x，kZ，x不是f(x)的對稱軸，錯；令k<xk，kZ，可得2k<x2k，kZ，f(x)的單調遞減區(qū)間是，kZ，正確11(2018溫州市適應性測試)已知f(x)sin2sin2，求：(1)f的值；(2)f(x)在上的取值范圍解(1)因為f(x)sin2sin2coscoscos2xsin2xsin2xcos2xsin2xsin，所以fsin.(2)當x時，2x，所以f(x)，所以f(x)在上的取值范圍是.12已知函數(shù)f(x)2sina1.(1)求函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間；(2)當x時，f(x)的最大值為4，求a的值；(3)在(2)的條件下，求滿足f(x)1，且x的x的取值集合解(1)令2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，所以f(x)的單調遞增區(qū)間為，kZ.(2)因為當x時，f(x)取得最大值，即f2sina1a34.解得a1.(3)由f(x)2sin21，可得sin，則2x2k，kZ或2x2k，kZ，即xk，kZ或xk，kZ，又x，可解得x，所以x的取值集合為.13定義運算：a*b例如例如1*2=1，則函數(shù)f（x）=sinx*cosx的值域為()A.B1,1C.D.答案D解析根據(jù)三角函數(shù)的周期性，我們只看兩函數(shù)在一個最小正周期內的情況即可，設x0,2，當x時，sinxcosx，此時f(x)cosx，f(x)，當0x<或<x2時，cosx>sinx，此時f(x)sinx，f(x)1,0綜上知f(x)的值域為.14已知函數(shù)f(x)2cos(x)1，其圖象與直線y3相鄰兩個交點的距離為，若f(x)>1對任意x恒成立，則的取值范圍是()A.B.C.D.答案B解析由題意可得函數(shù)f(x)2cos(x)1的最大值為3.f(x)的圖象與直線y3相鄰兩個交點的距離為，f(x)的周期T，解得3，f(x)2cos(3x)1.f(x)>1對任意x恒成立，2cos(3x)1>1，即cos(3x)>0對任意x恒成立，2k且2k，kZ，解得2k且2k，kZ，即2k2k，kZ.結合|<可得，當k0時，的取值范圍為.15已知函數(shù)f(x)cos(2x)在上單調遞增，若fm恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為_答案0，)解析f(x)cos(2x)，當x時，2x，由函數(shù)f(x)在上是增函數(shù)得kZ，則2k2k(kZ)又0，0，fcos，又，fmax0，m0.16設函數(shù)f(x)2sinm的圖象關于直線x對稱，其中0<<.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期(2)若函數(shù)yf(x)的圖象過點(，0)，求函數(shù)f(x)在上的值域解(1)由直線x是yf(x)圖象的一條對稱軸，可得sin1，2k(kZ)，即(kZ)又0<<，函數(shù)f(x)的最小正周期為3.(2)由(1)知f(x)2sinm，f()0，2sinm0，m2，f(x)2sin2，當0x時，x，sin1.3f(x)0，故函數(shù)f(x)在上的值域為.