（通用版）2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二篇 第27練 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用精準(zhǔn)提分練習(xí) 文.docx

第27練導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用明晰考情1.命題角度：函數(shù)與方程、不等式的交匯是考查的熱點(diǎn)，常以指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)為載體考查函數(shù)的零點(diǎn)(方程的根)、比較大小、不等式證明、不等式恒成立與能成立問(wèn)題.2.題目難度：偏難題.考點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)(方程的根)方法技巧求解函數(shù)零點(diǎn)(方程根)的個(gè)數(shù)問(wèn)題的基本思路(1)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與x軸(或直線yk)在該區(qū)間上的交點(diǎn)問(wèn)題.(2)利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)性、極值(最值)、端點(diǎn)值等性質(zhì)，進(jìn)而畫出其圖象.(3)結(jié)合圖象求解.1.設(shè)函數(shù)f(x)x3ax2bxc.(1)求曲線yf(x)在點(diǎn)(0，f(0)處的切線方程；(2)設(shè)ab4，若函數(shù)f(x)有三個(gè)不同零點(diǎn)，求c的取值范圍.解(1)由f(x)x3ax2bxc，得f(x)3x22axb.f(0)c，f(0)b，曲線yf(x)在點(diǎn)(0，f(0)處的切線方程為ybxc.(2)當(dāng)ab4時(shí)，f(x)x34x24xc，f(x)3x28x4.令f(x)0，得3x28x40，解得x2或x.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)與f(x)在區(qū)間(，)上的變化情況如下：x(，2)2f(x)00f(x)cc當(dāng)c>0且c<0時(shí)，f(4)c16<0，f(0)c>0，存在x1(4，2)，x2，x3，使得f(x1)f(x2)f(x3)0.由f(x)的單調(diào)性知，當(dāng)且僅當(dāng)c時(shí)，函數(shù)f(x)x34x24xc有三個(gè)不同零點(diǎn).2.(2018東莞模擬)已知函數(shù)f(x)ex2x1.(1)求曲線yf(x)在(0，f(0)處的切線方程；(2)設(shè)g(x)af(x)(1a)ex，若g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解(1)由題意知f(x)ex2，kf(0)121，又f(0)e02010，f(x)在(0，f(0)處的切線方程為yx.(2)g(x)ex2axa，g(x)ex2a.當(dāng)a0時(shí)，g(x)>0，g(x)在R上單調(diào)遞增，不符合題意.當(dāng)a>0時(shí)，令g(x)0，得xln(2a)，在(，ln(2a)上，g(x)<0，在(ln(2a)，)上，g(x)>0，g(x)在(，ln(2a)上單調(diào)遞減，在(ln(2a)，)上單調(diào)遞增，g(x)極小值g(ln(2a)2a2aln(2a)aa2aln(2a).g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，g(x)極小值<0，即a2aln(2a)<0，a>0，ln(2a)>，解得a>，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.3.(2018新余模擬)已知函數(shù)f(x)(x1)exax2，aR.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.解(1)f(x)ex(x1)ex2axx(ex2a).若a0，則當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>0；當(dāng)x<0時(shí)，f(x)<0.故函數(shù)f(x)在(，0)上單調(diào)遞減，在(0，)上單調(diào)遞增.當(dāng)a<0時(shí)，由f(x)0，解得x0或xln(2a).()若ln(2a)0，即a，則xR，f(x)x(ex1)0，故f(x)在(，)上單調(diào)遞增；()若ln(2a)<0，即<a<0，則當(dāng)x(，ln(2a)(0，)時(shí)，f(x)>0；當(dāng)x(ln(2a)，0)時(shí)，f(x)<0.故函數(shù)f(x)在(，ln(2a)，(0，)上單調(diào)遞增，在(ln(2a)，0)上單調(diào)遞減.()若ln(2a)>0，即a<，則當(dāng)x(，0)(ln(2a)，)時(shí)，f(x)>0；當(dāng)x(0，ln(2a)時(shí)，f(x)<0.故函數(shù)f(x)在(，0)，(ln(2a)，)上單調(diào)遞增，在(0，ln(2a)上單調(diào)遞減.(2)當(dāng)a>0時(shí)，由(1)知，函數(shù)f(x)在(，0)上單調(diào)遞減，在(0，)上單調(diào)遞增.因?yàn)閒(0)1<0，f(2)e24a>0，取實(shí)數(shù)b滿足b<2且b<lna，則f(b)>a(b1)ab2a(b2b1)>a(421)>0，所以f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)；若a0，則f(x)(x1)ex，故f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).若a<0，由(1)知，當(dāng)a時(shí)，則f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，又當(dāng)x0時(shí)，f(x)<0，故f(x)不存在兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a<時(shí)，則f(x)在(，0)，(ln(2a)，)上單調(diào)遞增；在(0，ln(2a)上單調(diào)遞減.又f(0)1，故不存在兩個(gè)零點(diǎn).綜上所述，a的取值范圍是(0，).考點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題方法技巧利用導(dǎo)數(shù)證明不等式f(x)>g(x)在區(qū)間D上恒成立的基本方法是構(gòu)造函數(shù)h(x)f(x)g(x)，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性或者函數(shù)的最值證明函數(shù)h(x)>0.其中找到函數(shù)h(x)f(x)g(x)的零點(diǎn)是解題的突破口.4.設(shè)函數(shù)f(x)lnxx1.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)x(1，)時(shí)，1<<x. (1)解由f(x)lnxx1(x>0)，得f(x)1.令f(x)0，解得x1.當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>1時(shí)，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減.因此，f(x)在(0,1)上為增函數(shù)，在(1，)上為減函數(shù).(2)證明當(dāng)x(1，)時(shí)，1<<x，即為lnx<x1<xlnx.結(jié)合(1)知，當(dāng)x>1時(shí)，f(x)<0恒成立，即f(x)在(1，)上單調(diào)遞減，可得f(x)<f(1)0，即有l(wèi)nx<x1；設(shè)F(x)xlnxx1，x>1，則F(x)1lnx1lnx，當(dāng)x>1時(shí)，F(xiàn)(x)>0，可得F(x)在(1，)上單調(diào)遞增，即有F(x)>F(1)0，即有xlnx>x1.綜上，原不等式得證.5.(2018全國(guó))已知函數(shù)f(x)aexlnx1.(1)設(shè)x2是f(x)的極值點(diǎn)，求a，并求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：當(dāng)a時(shí)，f(x)0.(1)解f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)aex.由題設(shè)知，f(2)0，所以a.從而f(x)exlnx1，f(x)ex.當(dāng)0x2時(shí)，f(x)0；當(dāng)x2時(shí)，f(x)0.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2).(2)證明當(dāng)a時(shí)，f(x)lnx1.設(shè)g(x)lnx1(x(0，)，則g(x).當(dāng)0x1時(shí)，g(x)0；當(dāng)x1時(shí)，g(x)0.所以x1是g(x)的最小值點(diǎn).故當(dāng)x0時(shí)，g(x)g(1)0.因此，當(dāng)a時(shí)，f(x)0.6.設(shè)函數(shù)f(x)e2xalnx.(1)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)證明：當(dāng)a>0時(shí)，f(x)2aaln.(1)解f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)2e2x(x>0).當(dāng)a0時(shí)，f(x)>0，f(x)沒有零點(diǎn)；當(dāng)a>0時(shí)，設(shè)u(x)e2x，v(x)，因?yàn)閡(x)e2x在(0，)上單調(diào)遞增，v(x)在(0，)上單調(diào)遞增，所以f(x)在(0，)上單調(diào)遞增.又f(a)>0，當(dāng)b滿足0<b<且b<時(shí)，f(b)<0，故當(dāng)a>0時(shí)，f(x)存在唯一零點(diǎn).(2)證明由(1)，可設(shè)f(x)在(0，)上的唯一零點(diǎn)為x0，當(dāng)x(0，x0)時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x(x0，)時(shí)，f(x)>0.故f(x)在(0，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)xx0時(shí)，f(x)取得最小值，最小值為f(x0).由于0，所以f(x0)alnx02ax02ax0alnx02ax0aln2aaln.當(dāng)且僅當(dāng)x0時(shí)，取等號(hào).故當(dāng)a>0時(shí)，f(x)2aaln.考點(diǎn)三不等式恒成立或有解問(wèn)題方法技巧不等式恒成立、能成立問(wèn)題常用解法(1)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求最值，不等式恒成立問(wèn)題在變量與參數(shù)易于分離的情況下，采用分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，形如a>f(x)max或a<f(x)min.(2)直接轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，在參數(shù)難于分離的情況下，直接轉(zhuǎn)化為含參函數(shù)的最值問(wèn)題，注意對(duì)參數(shù)的分類討論.(3)數(shù)形結(jié)合，構(gòu)造函數(shù)，借助函數(shù)圖象的幾何直觀性求解，一定要重視函數(shù)性質(zhì)的靈活應(yīng)用.7.已知函數(shù)f(x)exex2ax(aR).(1)若f(x)在(0,1)上單調(diào)，求a的取值范圍；(2)若函數(shù)yf(x)exlnx的圖象恒在x軸上方，求a的最小整數(shù)解.解(1)由題意知，f(x)ex2exa，令h(x)ex2exa，則h(x)ex2e，當(dāng)x(0,1)時(shí)，h(x)<0，h(x)單調(diào)遞減，即f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減.若f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，則f(1)0，即ae；若f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，則f(0)0，即a1.綜上可知，a的取值范圍為(，1e，).(2)由題意知，yf(x)exlnxex>0恒成立，令g(x)xlnx(x>0)，g(x)，令t(x)ex1x，t(x)ex11，當(dāng)x>1時(shí)，t(x)>0，t(x)單調(diào)遞增，當(dāng)0<x<1時(shí)，t(x)<0，t(x)單調(diào)遞減，t(x)t(1)0，ex1x0.當(dāng)x1時(shí)，g(x)單調(diào)遞增，當(dāng)0<x<1時(shí)，g(x)單調(diào)遞減，g(x)g(1)，結(jié)合題意，知a>0，故a的最小整數(shù)解為1.8.已知函數(shù)f(x)lnx.(1)若函數(shù)g(x)f(x)axx2有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若關(guān)于x的方程f(x)m(x1)(mZ)有實(shí)數(shù)解，求整數(shù)m的最大值.解(1)g(x)lnxaxx2(x>0)，則g(x)，由題意得方程x2ax10有兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)根，設(shè)兩根為x1，x2，則即a的取值范圍為(2，).(2)方程lnxm(x1)，即m，設(shè)h(x)(x>0)，則h(x)，令(x)lnx(x>0)，則(x)<0, (x)在(0，)上單調(diào)遞減，h(e)>0，h(e2)<0，存在x0(e，e2)，使得h(x0)0，即lnx0，當(dāng)x(0，x0)時(shí)，h(x)>0，h(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x(x0，)時(shí)，h(x)<0，h(x)單調(diào)遞減，h(x)max，即mh(x)max(mZ)，故m0，經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)m0時(shí)滿足題意，整數(shù)m的最大值為0.9.(2017全國(guó))設(shè)函數(shù)f(x)(1x2)ex.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)x0時(shí)，f(x)ax1，求a的取值范圍.解(1)f(x)(12xx2)ex.令f(x)0得x1或x1.當(dāng)x(，1)時(shí)，f(x)0；當(dāng)x(1，1)時(shí)，f(x)0；當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)0.所以f(x)在(，1)，(1，)上單調(diào)遞減，在(1，1)上單調(diào)遞增.(2)f(x)(1x)(1x)ex.當(dāng)a1時(shí)，設(shè)函數(shù)h(x)(1x)ex，則h(x)xex<0(x>0)，因此h(x)在0，)上單調(diào)遞減.而h(0)1，故h(x)1，所以f(x)(x1)h(x)x1ax1.當(dāng)0<a<1時(shí)，設(shè)g(x)exx1，則g(x)ex1>0(x>0)，所以g(x)在0，)上單調(diào)遞增.而g(0)0，故exx1.當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)>(1x)(1x)2，(1x)(1x)2ax1x(1axx2)，取x0，則x0(0,1)，(1x0)(1x0)2ax010，故f(x0)>ax01.當(dāng)a0時(shí)，取x0，則x0(0,1)，f(x0)>(1x0)(1x0)21ax01.綜上，a的取值范圍是1，).典例(12分)已知函數(shù)f(x)lnxmxm，mR.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)0在x(0，)上恒成立，求實(shí)數(shù)m的值；(3)在(2)的條件下，對(duì)任意的0ab，求證：.審題路線圖(1)(2)(3)規(guī)范解答評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)(1)解f(x)m(x(0，).當(dāng)m0時(shí)，f(x)0恒成立，則函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞增；當(dāng)m0時(shí)，由f(x)m0，可得x，則f(x)在上單調(diào)遞增，由f(x)m0，可得x，則f(x)在上單調(diào)遞減.4分(2)解由(1)知，當(dāng)m0時(shí)顯然不成立；當(dāng)m0時(shí)，f(x)maxfln1mmlnm1，只需mlnm10即可，令g(x)xlnx1，則g(x)1，函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增，所以g(x)ming(1)0.故f(x)0在x(0，)上恒成立時(shí)，m1.8分(3)證明11，由0ab，得1，由(2)得0<ln1，則11，則原不等式成立.12分構(gòu)建答題模板第一步求導(dǎo)數(shù).第二步看性質(zhì)：根據(jù)導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等性質(zhì).第三步用性質(zhì)：將題中條件或要證結(jié)論轉(zhuǎn)化，如果成立或有解問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值，證明不等式可利用函數(shù)單調(diào)性和放縮法.第四步得結(jié)論：審視轉(zhuǎn)化過(guò)程的合理性.第五步再反思：回顧反思，檢查易錯(cuò)點(diǎn)和步驟規(guī)范性.1.設(shè)函數(shù)f(x)klnx，k>0.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)證明：若f(x)存在零點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間(1，上僅有一個(gè)零點(diǎn).(1)解函數(shù)的定義域?yàn)?0，).由f(x)klnx(k>0)，得f(x)x.由f(x)0，解得x(負(fù)值舍去).f(x)與f(x)在區(qū)間(0，)上隨x的變化情況如下表：x(0，)(，)f(x)0f(x)所以，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0，)，單調(diào)遞增區(qū)間是(，).f(x)在x處取得極小值f()，無(wú)極大值.(2)證明由(1)知，f(x)在區(qū)間(0，)上的最小值為f().因?yàn)閒(x)存在零點(diǎn)，所以0，從而ke，當(dāng)ke時(shí)，f(x)在區(qū)間(1，上單調(diào)遞減且f()0，所以x是f(x)在區(qū)間(1，上的唯一零點(diǎn)；當(dāng)k>e時(shí)，f(x)在區(qū)間(1，上單調(diào)遞減且f(1)>0，f()<0，所以f(x)在區(qū)間(1，上僅有一個(gè)零點(diǎn).綜上可知，若f(x)存在零點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間(1，上僅有一個(gè)零點(diǎn).2.(2017全國(guó))已知函數(shù)f(x)lnxax2(2a1)x.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)a<0時(shí)，證明f(x)2.(1)解f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)2ax2a1.若a0，則當(dāng)x(0，)時(shí)，f(x)>0，故f(x)在(0，)上單調(diào)遞增.若a<0，則當(dāng)x時(shí)，f(x)>0；當(dāng)x時(shí)，f(x)<0.故f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)a0，f(x)在(0，)上單調(diào)遞增；當(dāng)a<0時(shí)，f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.(2)證明由(1)知，當(dāng)a<0時(shí)，f(x)在x處取得最大值，最大值為fln1，所以f(x)2等價(jià)于ln12，即ln10.設(shè)g(x)lnxx1(x>0)，則g(x)1.當(dāng)x(0,1)時(shí)，g(x)>0；當(dāng)x(1，)時(shí)，g(x)<0.所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減.故當(dāng)x1時(shí)，g(x)取得最大值，最大值為g(1)0.所以當(dāng)x>0時(shí)，g(x)0.從而當(dāng)a<0時(shí)，ln10，即f(x)2.3.已知函數(shù)f(x)lnx.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求函數(shù)f(x)在上的最大值和最小值(其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))；(3)求證：ln.(1)解f(x)lnx1lnx，f(x)的定義域?yàn)?0，).f(x)，由f(x)>0，得0<x<1，由f(x)<0，得x>1，f(x)1lnx在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減.f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，).(2)解由(1)得f(x)在上單調(diào)遞增，在(1，e上單調(diào)遞減，f(x)在上的最大值為f(1)1ln10.又f1eln2e，f(e)1lne，且f<f(e)，f(x)在上的最小值為f2e.綜上，f(x)在上的最大值為0，最小值為2e.(3)證明要證ln，即證2lnx1，即證1lnx0.由(1)可知，f(x)1lnx在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減，f(x)在(0，)上的最大值為f(1)11ln10，即f(x)0，1lnx0恒成立.故原不等式得證.4.已知函數(shù)f(x)alnx1(a>0).(1)設(shè)(x)f(x)1a，求(x)的最小值；(2)若在區(qū)間(1，e)上f(x)>x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解(1)(x)f(x)1aalnxa(x>0)，則(x)，令(x)0，得x1.當(dāng)0<x<1時(shí)，(x)<0；當(dāng)x>1時(shí)，(x)>0.(x)在(0,1)上是減函數(shù)，在(1，)上是增函數(shù).故(x)在x1處取得極小值，也是最小值.(x)min(1)0.(2)由f(x)>x，得alnx1>x，即a>.令g(x)(1<x<e)，則g(x).令h(x)lnx(1<x<e)，則h(x)>0.故h(x)在區(qū)間(1，e)上單調(diào)遞增，所以h(x)>h(1)0.因?yàn)閔(x)>0，所以g(x)>0，即g(x)在區(qū)間(1，e)上單調(diào)遞增，則g(x)<g(e)e1，即<e1，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為e1，).